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1. 개요
본 문서는 2015 개정 교육과정 등의 최근 교육과정 등에서 심화되고 있는 대한민국 수학교육의 누적된 문제점을 제기, 비판하고 그 해결방안에 대한 내용을 포함하고 있다.2. 교과목 명칭 개정 논의
2015 개정 교육과정 5.1.1. 참조. 본래 적은 권수로 통일되었던 수학 교과서가 개정을 거듭하면서 단원 수만 낮춰 여러 개로 쪼개지고 있는데, 이것이 교육 현장에 혼란을 부추기고 입시 과목 선정 과정에서 누락되는 문제점까지 야기하였다. 원래는 수학Ⅰ, 수학Ⅱ와 같이 기존엔 '수학' 뒤에 로마 숫자가 붙는 것이 원칙이었다. 그러나 어느 순간 교과서를 분리하면서부터 '수학' 외에 '미적분', '확률과 통계', '기하', '벡터', '고급' 등 개별적인 작명이 붙기 시작하였다.[1]
<영역별 교과 분리의 문제점>
* 2015 개정 교육과정 고등학교 수학과에는 ' 미적분', ' 기하', ' 확률과 통계'와 같은 교과서가 존재한다. 이는 수학의 5대 영역에 준거하여 나눈 것으로 보인다. 그런데 나머지 2개의 ' 이산수학'이나 ' 대수'라는 교과서는 따로 만들지 않았다. 이 내용들은 기존의 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 고등학교 1학년 수학에 녹여놓곤 있으나, 심화된 내용은 그저 탈락이라는 고배를 맞이할 수밖에 없었다. 실례로 2009 개정 교육과정 개편 과정에서 ' 행렬과 그래프', '분수방정식, 무리방정식, 분수부등식', ' 연산 법칙(닫혀있다, 항등원, 역원, 이중근호 등)' 등 기존 2학년 과정에서 배웠던 대수학, 이산수학과 밀접한 파트가 삭제되었다.
* 2015 개정 교육과정 고등학교 수학과에는 ' 미적분', ' 기하', ' 확률과 통계'와 같은 교과서가 존재한다. 이는 수학의 5대 영역에 준거하여 나눈 것으로 보인다. 그런데 나머지 2개의 ' 이산수학'이나 ' 대수'라는 교과서는 따로 만들지 않았다. 이 내용들은 기존의 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 고등학교 1학년 수학에 녹여놓곤 있으나, 심화된 내용은 그저 탈락이라는 고배를 맞이할 수밖에 없었다. 실례로 2009 개정 교육과정 개편 과정에서 ' 행렬과 그래프', '분수방정식, 무리방정식, 분수부등식', ' 연산 법칙(닫혀있다, 항등원, 역원, 이중근호 등)' 등 기존 2학년 과정에서 배웠던 대수학, 이산수학과 밀접한 파트가 삭제되었다.
- 이런 식으로 '교과'에는 어떠한 특수한 '작명' 위주로 개편을 하다 보면 점차 '작명'에 '교과 내용'을 맞춰가려는 나머지 기존의 필수 개념까지 탈락되는 방향이 될 수밖에 없는데 이는 완벽한 본말전도이다. 이게 가장 극명하게 나타난 것이 기하 없는 기하 교과이다.(자세한 건 기하 문서 참고.)
- 2007 개정 교육과정에서는 이러한 문제점을 과도기적으로 보여준 바가 있다. 영역별로 교과 내용을 나누다 보면 필수 내용까지 탈락하게 되니, 당시 미적분과 통계 기본, 적분과 통계, 기하와 벡터 같은 이질적인 작명을 탄생시킨 것이다. 가장 먼저 적분과 통계의 경우, '적분'과 '통계'만 배우는 과목이며 '미분'은 배우지 않는 과목일 것이라는 오해를 사기 십상이지만 미분은 따로 수학Ⅱ에서 배우는 구조였으며 무려 이과 전용 과정이었다. 덕분에 당시 문과생 중 상당수가 이과생은 미분을 안 배우냐는 오해를 품기도 하였다. 또한 미적분과 통계 기본은 당시 문과 과정으로, 이름이 맥없이 긴 것도 문제지만 '기본'이 수식되는 단어가 '통계'뿐만 아니라 '미적분'도 속한다는 것을 인지하지 못할 수도 있을 만하다. 기하와 벡터도 마찬가지인데, 원래 벡터는 기하 파트가 아니며, 대학교 수학에서의 벡터는 행렬과 묶어 대수 파트로 놓는 경향이 있다. 고등학교 수준상 벡터와 기하를 각각의 교과서 한 권으로 만들기에는 내용이 턱없이 부족해 두 개념을 불가피하게 합쳐 '기하와 벡터'라는 괴상한 교과서가 만들어진 것이다.
- 2009 개정 교육과정에서는 미적분을 Ⅰ, Ⅱ로 나누기도 하였다. 그런데 당시 미적분Ⅱ의 단원이었던 '지수함수와 로그함수' 및 '삼각함수'는 단순히 미적분을 위한 과정이 아니고, 순수 함수만을 다룰 수도 있는 내용들이다. 이 때문에 간단한 지수법칙으로 해결할 수 있는 문제를 '중2 시험에 미적분'이라는 오보를 내게 된 적도 있다. KBS 그러나 지수법칙(지수방정식)은 미적분 분류는 절대 아니며, 오히려 대수에 가까운 과정이다. 또한 2009 개정 교육과정 개편 과정에서 행렬과 일차변환이 삭제된 적이 있었다. 본래는 '행렬과 벡터(가칭)'로 구성하려다가 마땅한 교과에 편성할 수 없었는지 기존 고급 수학Ⅰ로 편성하는 일이 벌어졌다. 이에 따라 '고급 수학'에 전례 없던 로마숫자가 붙어버린 최초의 교육과정이 되었다.
- 2015 개정 교육과정에서는 미적분학 관련 내용이 수학Ⅱ와 미적분으로 바뀌었다. 기존의 미적분Ⅰ(공통)이 수학Ⅱ로, 기존의 미적분Ⅱ(이과용)가 미적분으로 바뀌었는데 과거 구 7차 교육과정 때의 작명을 의식한 것으로 보인다. 이상한 점을 느꼈겠지만, 같은 미적분임에도 불구하고 작명이 다르다. 차라리 '수학Ⅱ'를 '미적분Ⅰ'로, '미적분'을 '미적분Ⅱ' 그대로 가고, '기하'를 '수학Ⅱ'로 계승했어야 더 걸맞은 작명이 되었을 것이다.
- 작명에 따른 교과서 분권 탓에 2015 개정 교육과정 기준 ‘수학Ⅰ’+‘확률과 통계’, ‘수학Ⅱ’+‘기하’ 같은 식으로 두 권씩만 합쳐도 7차 교육과정의 한 권 분량을 뽑아내지 못하는 상황이다.
{{{#!folding [해결안]
① 수학 Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ으로 단순화작명에 따른 교과서 분권 탓에 오히려 필수 개념들이 탈락하고, 교과서 또한 쪼개져 교육 현장 간 '이름 혼란'을 부추기는 오점을 낳았으므로 이를 다시 정상적으로 회귀시키는 방안이 제시될 수 있다.
② 영역별 작명을 유지한 채 분량 증대
'미적분', '확률과 통계', '기하' 외에도 '대수', '이산수학'을 추가하여 분량을 증대할 수도 있다. 다만, 이 경우엔 영역 교과 간의 단위수에 차이가 날 수 있다는 단점이 있다. (이에 대한 자세한 내용은 '개편안' 문단을 참조.)
}}}
3. 분량에 관한 논쟁
3.1. 교과 내용 축소 측
중등학교에서 많은 내용을 무리없이 가르칠 수 있다면 두말할 나위 없이 좋겠지만 현재 고등학교에서는 3년간 가르칠 내용을 2년만에 다 가르치며 3학년 때에는 교과서는 버리고 수능특강이 그 자리를 대신하여 EBS 연계문제와 고난도 수능 문제를 푸는 수업을 하는 학급이 대부분이다. 따라서 선행학습을 하지 않으면 수학 수업은 졸속하게 이루어지고 있는게 현실이고 이 문제를 해결하려면 중등학교에서는 전공에 필요하거나 유용한 내용을 모두 가르쳐야 하는게 아니라 대학에서 꼭 필요한 내용만을 선별해 가르치고 나머지는 대학에서 가르쳐야 한다는 것이 교과 내용을 축소하자는 측의 주장이다.교육론자 측에서는 수학 자체를 학문적으로 가르치기보다, 사고력을 확장시키는 것이 궁극적인 목표라고 본다. 비록 수학적 엄밀함이 떨어지더라도, 수리력 확장이라는 목적을 달성시키고자 '수학'이라는 학문을 교육학적으로 개발·정제된 과목(학문이 아닌 교과)으로 보아야 한다고 주장하는 측이다. 쉽게 말해 학문을 교육용으로 빌린다는 개념에 가깝다.
수학교육 측에서는 동일한 아이디어가 사용되는 수학 개념에 대해서는 차라리 중복을 최소화하는 것이 그나마 효율적이라고 보고 있다. 즉 핵심적인 내재 역량이 있으면, 심화 내용에서도 유사하게 사용되는 패턴에 대해 금세 적응할 수 있다는 논리이다.
이를 구실로, 가급적 교과 명칭에 '-학'을 붙이는 것을 웬만하면 자제하는 게 불문율이었다. 미적분, 기하, 경제, 지리 과목 명칭이 각각 미적분학, 기하학, 경제학, 지리학이 아닌 것도 이러한 이유이다. 반면, 과학 쪽은 어째선지 '-학'자 돌림이 생겨났으나, 이쪽은 위 같은 사실을 모르고 개정했을 가능성이 더 높다.
3.2. 교과 내용 확대 측
반대로 확대 측에서는, 어느 정도 대학 생활에 연관되는 전공적 지식은 필수로 포함해야 하며, 현 교육과정의 수학 교과는 필요 이상으로 지나치게 축소되었다고 비판한다. 특히 대한민국에서는 수학 교육과정이 바뀔 때마다 내용이 엄청나게 줄어들고 있다. 그밖에 정치 논리로 엮이고 있다는 점에 크게 불만을 드러내는 사람도 많다.-
첫째.
비판 문서에 의하면 ''진로선택과목' 신설 의도는 결국
특정
단체의
정치적인 물밑작업에 의한 것으로 기정사실화되었다는 것이다. 악용된 수학 교육 체제를 다시 정상적으로 회귀시켜야 한다. 자세한 건 링크 참조.
( 대학교 교육과 다르게) 고등학교는 가장 생산적인 학습을 할 수 있는 기관이다. 가능한 한 수학 교육을 최대로 허용해야 한다고 생각한다. 한국 정부나 시민단체가 수학 학습 과정에 ' 정치적인 물타기'를 하는 것은 지지할 수 없다.
해외 전문가들도 이 사실을 아는 모양이며 이 같은 행보를 거세게 비판했다.나라 망신
- 둘째. 기하와 미적분은 전통적으로 모든 자연과학, 공학 계열 지망 학생 입장에서는 양자택일의 개념이 아닌 필수였다. 실제로도 이 둘을 수험 과목이나 시험 과목으로 강제되지 않으면 대학 수업에 여파가 상당할 것으로 예측하고 있다. 그러나 대부분의 고등학교에서는 2중 1택으로 딜레마를 제시하고 있고, 수능 시험에서는 확률과 통계와 합쳐 3중 1택을 제시하고 있다.[2]
[B]
고1 범위이므로 전통적으로 수능 미출제 범위이자 간접 출제 범위였음.
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[C]
2009 개정 교육과정 기준. 각주 C 표기가 되어있지 않은 것은 모두 2007 개정 교육과정 기준.
[B]
[A]
심화 수학Ⅰ 혹은
심화 수학Ⅱ에서 다시 이동·부활하였지만 이는 수능 미출제 과목인데다 일반계 고등학교에서 편성해주지 않는 교과이다.
[A]
[A]
[C]
[C]
[C]
[A]
[C]
[A]
[C]
[A]
[C]
[B]
[C]
[A]
[C]
[A]
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- 셋째. '단순히 분량이 적어져서'만 갖고 문제를 제기하는 게 아니라 그 결과가 가져온 후폭풍이 생겼기 때문이다. 비판 문서에 의하면 수학 분량 감소로 인하여 이공계열의 국가경쟁력 또한 하락할 것으로 예측하고 있다. 게다가 주요국의 수학 교육과정은 오히려 강화하는 추세로 볼 때 대한민국만 역행하고 있다. 또한 비판 문서에 의하면 입시에서의 수포자는 분량과 유의미하게 비례하지 않는다는 것이 입증되었다. 오히려 학업 분량과 수학 학업 성취도가 반비례하는 통계가 제시되기도 하였다. 자세한 건 각 링크 참고.
3.3. 해결안
필수 과목과 내용을 늘리되, 기초 내용에 대한 문제를 어렵게 공부하고, 심화 내용을 ( 한국사 영역처럼) 쉽게 가는 것이 하나의 중첩점이 될 수도 있겠다.예를 들어, 대학수학능력시험 입시에서 고등학교 1학년 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ를 공통 범위로 놓되 문제 수준을 다소 어렵게 유지하고, 미적분·기하·확률과 통계 등에 대해서는 선택이 아닌 전 과목 필수로 지정해놓되, 문제 수준을 낮춰 자격고사-절대평가 형식으로 전환하거나, 상대평가에 국한해도 배점이 낮은 문항에만 한하자는 것이다.
심화 과목에 한해서만 따로 공인자격증 시험으로 분리하는 등 제3의 방안을 제안해볼 수 있다. 이것은 미국의 AP와도 비슷한데, 중하위권 학생들에게 부담을 주지 않으면서도 계열과 수준에 따라 심화학습을 할 수 있도록 할 수 있다는 장점이 있다.[3]
4. 세부 개정에 앞선 기본적인 틀
4.1. 암묵지적 개념 일부를 다시 명시지로 환원
명시지란 교과서에 그 내용을 대놓고 드러내어 눈에 보이는 지식이다. 즉 써있어서 어떻게든 보게 되어있는 '개념'이다. 반대로 암묵지란, 굳이 명시하지 않아도 행동 영역(문제 연습)을 통해 구체화되는 지식을 말한다. 학생들 입장에서 공감할 수 있는 쉬운 예가 있다면, 수능 시험의 국어 영역의 문제 풀이 실력은 대부분 이러한 암묵지에 의해서 길러진다.- 명시지의 장점은 알아야 할 것들을 단적으로 나타내주기 때문에, 눈과 직관으로 그것을 체감하면서 받아들일 수 있다. 다만, 단점이 있다면 그 개념에 대한 '특정화', 용어화 작업이 이루어지기 때문에 '정보량'에 대한 부담감이 커지고, 관련 문제를 출제하는 사람 입장에서도 해당 지식을 강요하는 꼴이 될 수 있다.
- (위에 이어서) 그래서 암묵지를 이용하기도 하는데, 암묵지의 장점은 앞서 말했다시피 '배우는 사람 입장'에서 선뜻 무언가를 어려워 보이게 만드는 '용어화'를 생략할 수 있다. 2009 개정 교육과정, 2015 개정 교육과정을 거듭하며 이 방법을 꾸준히 써서 어려워 보일 법한 용어들을 죄다 탈락시켰다. 하지만 그 암묵지를 토대로 만들어진 문제를 학습하는 학습자 입장에서는 실제 이론 수업에서 배웠던 개념과 '굉장한 괴리감'이 생겨버린다는 크나큰 단점이 있다.
명시지였다가 암묵지로 차출된 수학 교과 과정은 '지수방정식', '삼각방정식', '로그방정식', '항등원', '역원', '집합의 분할' 등이 있다. 본래 정식 용어로 쓰였지만 현재는 '활용'으로 대체하거나 아예 '문제 풀이'에서만 접할 수 있게 바뀐 것들이 있다.
현재도 암묵지고, 과거에도 암묵지였던 개념에는 ' 1학년의 꿈', ' 부호 함수', ' 상승 계승', ' 합성함수의 극한', 함수의 연속 학습 전 '불연속 함수'의 등장이 있다. 최대 정수 함수(가우스 기호)도 꾸준히 이 목록에 있었으나, 2015 개정 교육과정부터 암묵지로도 주어질 수 없도록 가우스 기호 관련 문제 설명에 (단, [ [math(x)] ]는 [math(x)]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)라고 서술하는 등으로 반(反)명시지화 되었다. [4]
이 사안 갖고 여러 가지 불만들이 나오자, 차라리 '암묵지를 모두 제거'하거나 기존 '암묵지들을 모두 명시지화' 하라는 목소리가 큰 편이다. 암묵지들은 심지어 학교 선생님들조차 인지하지 못하는 경우가 많다. 만약 기존 암묵지들을 명시지화해버리면 여러 가지 '특수함수'를 모두 다뤄야 하는 일이 벌어지는데, 일단 수학교육과 측에서는 이를 달갑지 않게 받아들일 것이다. '수학교육과' 측은 적은 분량(핵심)으로 최대의 교육 효과를 이끌어내자는 쪽으로 트랜드를 회선했지만, '수학과' 측에서는 그냥 어떻게든 많이 가르치자는 입장이기 때문. '수학교육과' 측 입장처럼 적은 분량으로 최대 효과를 내는 것은 물론 좋다. 그러나 교육 현장과 선생님들에 대한 기대치를 너무 과하게 잡고 자행한다면, 오히려 역효과가 날 것이다. 이것이 실제로 반영돼서 역효과가 난 교육과정은 2009 개정 교육과정과 2015 개정 교육과정이다. 또 정책 확정안을 최종 공표할 땐 수학과보단 수학교육과의 손을 들어줄 확률이 높다는 점도 한 몫한다. 물론 여기엔 특정 비영리(?) 단체의 정치질도 어느 정도 수반되었다.
4.1.1. ‘항등원’과 ‘역원’ (그 외 실용적 구성)
| [math(8 \times 15)] |
위 두 자연수 간 곱셈식은 따로 외우지 않는 이상 하나의 논리 과정을 거쳐야 한다. 우리가 정규 교육과정에서 암기하고 있는 부분은 (한 자리 수)×(한 자리 수)의 곱셈이기 때문이다.
| [math(8 {\color{Blue} \div 2} \times 15 {\color{Blue} \times 2})] |
이때 [math(8)]을 [math(2)] 나눠주고 [math(15)]엔 [math(2)]를 곱하여 [math({\color{Blue} 4} \times {\color{Blue} 30}=120)]으로 쉽게 계산이 가능해진다.[5]
|
[math(8 \times 15 |
이는 같은 수끼리 곱하고 나누어도 어차피 1이 되어 실제 결과와는 달라지지 않기 때문이다. 이를 굳이 명시지화한 것은 '곱셈에 대한 역원'이다.
이러한 액션은 2007 개정 교육과정(7차 교육과정 직후 교육과정) 고1 과정에 항등원과 역원을 포함해둠으로써 직접적으로 가르쳤으나 2009 개정 교육과정 이래로 폐지되었다. 실제로도 학생들 입장에서 별 연계 효과를 느끼진 못 하였는데, 이는 연산자를 덧셈, 곱셈으로 한정한 것이 아닌 이항연산 전체로 확대했었기 때문으로 보인다.
하지만 이 같은 결정은 득보다 실인 경우가 훨씬 많았다. 차라리 '이항연산'이 문제가 되면 그것만 삭제하면 될 문제였다. 한 편 '곱셈', '덧셈'에 대한 항등원, 역원은 충분히 남겨야 할 명분이 더 컸었다. 왜냐하면 이것들은 문제를 푸는 과정(암묵지)에서 사용될 뿐만 아니라, 차후에 익힐 미분계수, 몫미분, 곱미분 등과 같은 기타 대수학 센스가 요구되는 미적분 증명 파트에서도 활용할 수 있어야 하기 때문이다. 아래 쉽고 간단한 예시 설명을 이해해보자.
만일 모든 함수에 대하여 [math(x=a+h)]일 때 함숫값에서 [math(x=a)]일 때의 함숫값을 뺀 값이 일정한 [math(k)]에 대응된다고 가정하자. 두 번째로 아래와 같은 '조건식'이 주어졌다고 가정하자.
| [math(-f(a)+g(a)=0)] |
이제 위 '조건식'으로
| [math(f(a+h)-g(a+h))] |
라는 식 i)의 값을 알아볼 것이다.
먼저 아래 식처럼 '조건식'에 식 i)를 더해준다.
| [math(f(a+h)+{\color{Blue} \{-f(a)+g(a) \}}-g(a+h))] |
일단 [math(-f(a)+g(a))]이 더해져도 조건식에서 그 값이 0이라고 알려줬으므로 식 전체에 전혀 영향을 주지 않는다.[6]
식을 적절하게 정리하면 아래와 같아진다.
| [math({f(a+h)-f(a)}-\{ g(a+h)-g(a) \})] |
초기 가정 조건에서 [math(x=a+h)]일 때 함숫값에서 [math(x=a)]일 때의 함숫값을 뺀 값이 일정한 [math(k)]에 대응된다고 하였으므로 답은 [math(k-k)]을 계산한 [math(0)]이다.
이렇듯이 항등원과 역원은 문제 학습뿐만 아니라 후속 과정의 증명 과정( 몫미분, 삼각함수 항등식 등)에서도 활용되기 때문에 선택 옵션이 아니며, 학생들이 필연적으로 마주할 수밖에 없다. 그런데도 대한민국 교육부는 2009 개정 교육과정에서 이를 일괄 삭제한 것이다. [7]
이외에도 추가해야 할 내용으로 멱등원(Idempotent element)이 있다. 연산 횟수에 상관없이 결과값이 동일한 원소로, 이를 이용해 계산량을 줄이는 것에 도움이 될 수 있다. 다만 항등원과 멱등원이 같지만은 않다는 것을 주의해야 한다.[8]
4.1.2. 시행착오법 직접 서술
시행착오법이란, 예컨대 미지수에 [math(1)], [math(2)], [math(3)], ... 등 적당한 정수를 대입해서 해결해보고, 실패하면 근처 상수를 대입하게끔 유도하는 교육 방식이다. 그런데 이 과정은 교과서에 따로 직접 명시된 적은 없고 문제 풀이 해설에만 있는 경우가 있다. 만일 시행착오법을 교과서에 명시해준다면 창의적인 수학 교육의 발판이 될 수 있을 것이다. 과거 한 인터넷 강의 강사가 이러한 교육의 필요성을 강조하기도 하였다.실제로 학력평가 기출문제 중에는 최종적으로 방정식 [math(2^a = a+12)]의 양수해를 구해야 하는 것이 있었는데 [math(a=1)]부터 대입해보고 안 되면 [math(a=2)]를 대입해보는 식으로 풀었어야 하는 문제가 있다. 이 문제는 [math(a=4)]에 와서야 답에 이를 수 있었다. 일단 교육부 출제 지침상 해당 문제처럼 지나친 횟수를 거듭하지 않도록 하고 있다.
현 교육과정에서 이 '시행착오법'을 '암묵지'('행동 영역', 즉 문제 풀이를 말함)로 녹여놓고 있는 부분은 '수열의 귀납적 정의', '[math(i^{n})]의 순환성', '나눗셈에서의 나머지의 순환' 등이 있다.
시행착오법을 쓰는 상황에 대한 '감'을 잡기는 여간 쉬운 게 아니다. 특히나 교과서에 명시적으로 언급한 것도 아니고 암묵지로 익히는 부분이다 보니, 학생들이 이 유형의 문제 풀이 과정 중에서도 시행착오법을 부정하고, 어영부영 '공식이 있을 거라는 편견'만 내면에 깔고 일방정도만 찾기 일쑤가 된다. 여담으로 [math(2^a = a+12)]의 양수해를 시행착오법이 아닌 방법으로 풀기 위해서는 람베르트 W 함수라는 특수함수를 써야 한다.
| [math(2^a = a+12)]의 대수적인 풀이 | ||
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{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px" |
양변에 [math(2^{12})]를 곱하면 [math(2^{a+12} = 2^{12}(a+12))] 양변에 역수를 취하면 [math(\displaystyle 2^{-(a+12)} = \frac{1}{2^{12}(a+12)})] 모든 양수 [math(k)]에 대해 [math(k=e^{ \mathrm{ln} k})]이므로 [math(\displaystyle e^{- \mathrm{ln} 2 (a+12)} = \frac{1}{2^{12}(a+12)})] 양변에 [math(- \mathrm{ln} 2 (a+12))]를 곱하면 [math(\displaystyle - \mathrm{ln} 2 (a+12) e^{- \mathrm{ln} 2 (a+12)} = -\frac{\mathrm{ln} 2}{2^{12}})] 이때, [math(\displaystyle -\frac{1}{e} \leq -\frac{\mathrm{ln} 2}{2^{12}} < 0)]이므로 [math(- \mathrm{ln} 2 (a+12))]의 실수해는 [math(\displaystyle W_0(-\frac{\mathrm{ln} 2}{2^{12}}))]과 [math(\displaystyle W_{-1}(-\frac{\mathrm{ln} 2}{2^{12}}))] 의 두 개가 존재하고, 이를 정리하면 [math(\displaystyle a = -\frac{W_0(-\frac{\mathrm{ln} 2}{2^{12}})}{\mathrm{ln} 2}-12,~-\frac{W_{-1}(-\frac{\mathrm{ln} 2}{2^{12}})}{\mathrm{ln} 2}-12~(=4))] 가 된다. |
}}}}}}}}} |
시행착오법을 교과상에서 명시적으로 다룰 수 있는 예로 삼차방정식이 있다. 유리계수 삼차방정식은 세 실근이 유리근이 아닐 경우 환원 불능이 되는데, 유리근이 있는지를 유추하는 유리근 정리를 이용해 시행착오법으로나마 유리근의 존재성을 보일 수 있다.
4.1.3. 부족한 ‘행동 영역’ 항목의 명시지화
수학 교육과정에서의 행동 영역은 크게 '연산', '문제 해결력', '추론', '이해'로 나뉜다. 2017년에 치러진 대한민국 국가수준 학업성취도 평가의 성적 분석 결과 총 네 영역의 평균 점수는 57점으로, 이 중 '연산' 영역은 무려 70점으로 압도적으로 높게 나타났다.[9] 그밖에 평균보다 우세에 있는 '이해' 영역이 60점, 열세에 있는 '추론' 영역이 55점이었다. 가장 우려스러운 점은 '문제 해결력'이 44점이라는 것. 즉 대한민국 수학 교육은 이 '문제 해결력'과 '추론'을 좀 더 보충하는 방향으로 개정되어야 할 것이다.이 작업에 약간 위험한 부분은 있다. 형식적으로는 이러한 방법을 구성하기엔 교육 개편자들의 불확실한 창의성이 요구되는데다, 국제적으로 없는 과정[10]이 포함될 수 있기 때문이다.
- [대안: ‘수학 연습’ 정규 단위수 편성]
- 기존 암묵지를 명시지로 바꾸는 데에 큰 부담이 든다면, 예전처럼
수학익힘책을 부활시키는 방법도 고려될 수 있다. 이는 위에서 제기한 '문제 해결력' 낙제 현상에 대해서도 대처할 수 있는 방안이 될 것이다. 연습 수업 시간을 따로 편성하여 '문제 해결력' 관련 문항을 기초부터 천천히 높일 수 있게끔 확보해주는 것이다.
학교 현장에서는 정규 수업 시간에 개념 진도만 빼기 바쁘고, 예제나 예시 문항 몇 개만으로 설명하는 경우가 대부분이므로, 정작 학생들이 직접 체험해볼 기회가 적다. 당연히 학생들 입장에선 개념을 공부하는 과정과 문제를 직접 풀어보는 과정 사이의 괴리를 낯설게 여기기 때문에, 이 간극을 메워주는 역할이 필요하다.
학습 분량도 줄었거니와 이참에 교사와 함께 수학 문제를 연습해볼 시간을 두는, 전형적인 사교육식 수업 방식을 도입하자는 것.
이 방식은 이전에 수학익힘책 제도로 대체한 바가 있다. 하지만 교사의 역량에 따라 진도 시간을 크게 잡아 먹는 경우가 많이 생겨 2007 개정 교육과정을 종점으로 폐지되었다. 따라서 진도 수업, 연습 수업을 따로 편성하는 제도적 절차가 이루어져야 할 것이다. 그리고 여기서 파생될 수 있는 여러 가지 부작용을 미연에 예상하고 이를 금지해야 할 것이다.
개념을 배우는 시간과 문제집을 풀며 고민할 수 있는 시간의 비율은 보통 1:3, 사람에 따라서는 1:7 정도까지 늘어난다. 개념을 습득하는 시간이 문제집을 푸는 시간보다 적으면 적었지 많지 않다는 것이다.
4.2. 명시지적 개념 일부를 다시 암묵지로 환원
그 반대로, 기존 명시지적 개념을 암묵지로 되돌려야 할 부분도 있다. 대표적으로 '부분집합의 개수' 구하기가 있다(이하 참고).4.2.1. 부분집합의 개수 찾기
근본적인 집합 이론과는 별 관계가 없으며, 이를 구하는 기본 원리는 확률과 통계(이산수학 영역)에 나오는 경우의 수의 '곱의 법칙'의 활용 문제 파트이다. 특정 원소를 '포함' 또는 '제외'가 확실할 경우 경우의 수 자체 하나로 정해져있으므로 1을 곱해나가면 되지만, 그게 부정(정해지지 않음)될 경우 경우의 수가 둘이므로 2를 곱해나가는 식이다.이렇게 탄생한 부분 집합의 개수 공식 2n-k은 사실상 1k×2n-k으로 가르쳐야 직관적이기도 하다. 즉 주입식으로 가르치던 것이 엄밀하게는 '이산수학' 파트와 더 밀접한 셈. 이렇듯이 수학적 센스 자체가 '집합' 이론과는 직접적으로 연관이 없으므로 기조를 유지하더라도 경우의 수의 행동 영역으로 편입하는 것이 올바른 것으로 보인다.
4.3. 영역 구분에서 자유로워질 것
예를 들어 '집합', '함수'는 여러 영역에 응용될 뿐, 꼭 이산수학인 것은 아니며 또 해석학에 타당한 것도 아니다. 다시 말해 타 영역의 공유되는 단원이라는 것이지 어느 한 부분에만 엮이는 것이 아니다.이런 식으로 특정 단원 하나를 어느 한 카테고리에 엮으려고 하다 보니, 그 안에 있는 부속 내용들은 꼭 해당 사항이 없다는 문제도 자주 발생한다. 나무위키에서는 '수열'의 경우 유한수열을 이산수학으로, 무한수열을 해석학으로 다루어야 한다는 주장 대치가 일어나기도 하였다.
4.3.1. '확률과 통계'로부터 '이산수학'의 독립 필요성
< 기본 수학> 연구진의 논문에 의하면 '경우의 수' 단원이 필연적으로 '확률과 통계'로 묶이는 것에 의아함을 표출하였다. 타국 교육과정과 비교했을 때도 우리나라만 이런 괴상한 구성방식을 따른다고 지적할 정도. 실제로 이를 눈여겨보고 기본 수학 첫 단원에 '경우의 수'를 배치하기도 하였다(전문가 결정 인용). 덧붙여 이 구성 방법은 학생들의 학업 성취도를 높일 수 있다고 공언하였다.앞서 연구진들은 '확률과 통계'라는 모호함 때문에 '경우의 수' 같은 기초 단원이 매번 끝단원에 배치되는 불문율에 난색을 표하기도 하였다. 실제로도 '경우의 수', '순열과 조합'은 확률과 통계보다 이산수학에 엮이는 전공 서적이 훨씬 많다. 즉 공유 파트라는 것이다. 그 중에서도 '수학적 확률', '이산확률변수'까지도 가볍게 이산수학으로 공유하기도 한다.
집합으로서 함수를 정의하는 부분도 '이산수학'에 가깝지 해석학이 이를 빌려쓰는 것에 지나지 않는다.
이산수학을 독립시켜야 하는 논거는 이말고도 여럿 있다. 현장에서 수학적 사고력을 기르는 영역은 보통 경우의 수(합의 법칙, 곱의 법칙)와 같은 이산수학(그 중 조합론)쪽 영역이다. 실제로 고난도 수학 문제집에서는 이 경우의 수 갖고 장난치는 문제가 많다. 이런 점에서 볼 때 차라리 수학 교육에서 이산수학을 강조하는 방향으로 틀어서, 실질적인 수리력을 도모할 수 있는 근간을 세우는 게 나을 수도 있다.
통계학을 분리하려는 시도는 실제로 2015 개정 교육과정 논의 당시 이루어진 바가 있다. 통계를 경우의 수로부터 독립시켜 진로선택과목으로 빼려고 한 것. 이 논의에서는, 통계 교과서 초반에 아주 단순한 조합론만 소단원 하나 분량으로 서술해 끝내버리고, 대부분의 분량을 추정, 분석 등 같은 전문적인 내용을 다루거나 컴퓨터 프로그램을 활용하게끔 진로선택과목으로 독립시키는 실용안으로 구성하는 것이었다.
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5. 세부 내용 개정 사항
5.1. 서술 방식 및 단원 배치 변경
5.1.1. 초등학교
5.1.2. 중학교 · 고등학교
- 중학교 과정에서 다시 '집합'으로 '함수'를 연계 서술한다.
- 논거 1: 원래 함수는 집합론을 이용하여 엄밀하게 정의해야 하지만, 중학 수학 단계에서는 그냥 함수의 평면좌표 상의 기하학적 그래프를 동원하여 정의하고 끝낸다. 즉 중학교 수학 과정에서 '함수'에 관한 정의는 사실상 엄밀하지 못한 정의를 먼저 배운다.
- 논거 2: '함숫값'에 대한 오개념을 가지게 할 수 있다. '함수'는 '방정식'처럼 관계(수학용어)의 개념이 아니기 때문에, 함숫값은 오로지 하나에만 대응된다. 예를 들어 '[math(f(a)=b)] 그리고 [math(f(a)=c)]이다'를 만족하는 [math(f)]는 함수라고 할 수 없다는 것이다.[11] 이를 중학 과정에서 가르쳐주지 않고 넘어가면, 후속 과정에서 배우게 될 도형의 방정식 그래프 파트에서 혼동을 일으킬 수 있다.
- 논거 3: 이 마저도 '실수의 연속성'을 배우지 않고 정의하는 것이다.
- 논거 4: 실제로 교육부가 꾸린 < 기본 수학> 연구진이 재차 제기한 문제점이기도 하다(전문가의 발언 인용).
- 보충 의견1: 고1 수학의 '함수'의 정의 부분은 주로 셀 수 있는 집합을 정의역으로 하기 때문에 수준이 그렇게 높지 않다.
- 보충 의견2: 단, 일대일함수, 일대일대응, 역함수, 합성함수, 유리함수, 무리함수 등은 수준이 높으므로 이를 제외하여 내려보낸다.
- 발단: 본래는 중학 과정에서도 집합을 통해 함수를 정의하였다. 그런데 2007 개정 교육과정에서 2009 개정 교육과정으로 개정되면서, <집합과 명제>가 중1 과정에서 삭제되고, 관련 내용이 모두 고등 과정으로 흡수되었다. 당시 집합 단원을 삭제하고 고등 과정으로 통합한 이유는 황당하게도 '정의역'과 '치역', '공역'이라는 용어가 그저 생소하다는 이유였다.[12][13]
- 보충 의견3: 처음에 배워서 각인된 정의는 쉽게 고칠 수 없는 부분이다. 당장 대학 미적분학 맨 처음에 나오는 엡실론-델타 논법을 어려워하는 이유가 이때문. 엄밀함을 둘째치고 추론 교육에도 악영향을 미칠 수가 있다.
- 보충 의견4: 다변수함수에 대해서도 가르칠 필요가 있으며, 그 예시를 최대공약수/ 최소공배수로 한다. 실제로 이 둘은 [math(\gcd(x,\,y), \mathrm{lcm}(x,\,y))]로 표기되는 엄연한 '이변수 함수'다.
- [중1, 고1] 중학교·고등학교 전 과정에서 <경우의 수>를 '첫 단원'에 배치한다.
- 논거 1: < 기본 수학> 연구진의 논문에 의하면 경우의 수 단원이 필연적으로 '확률과 통계'로 묶이는 것에 의아함을 표출하였고, 실제로 '경우의 수' 단원을 1단원에 배치하기도 하였다(전문가 결정 인용). 더불어 이 방법은 학업 성취도를 높일 수 있다고 공언하였다.
- 논거 2: 합의 법칙과 (특히) 곱의 법칙은 거의 모든 수학적 사고의 원천이자 기반이 되는 것이며, 문제 해결에서도 자주 쓰는 '주요 아이디어'이다.[14]
- 보충 의견1: 확률과 통계(2009) 교과 내용을 그대로 중 1, 중 2, 중 3, 고 1, 선택 과정으로 적절히 분산시키는 방법이 고려될 수 있다. 아래는 그 예시이다.
- 중1: '합의 법칙', '곱의 법칙'
- 중2: '순열', '조합'
- 중3: '중복 순열', '원순열', '같은 것이 있는 순열'
- 고1: '중복 조합', '이항정리'
- 보충 의견2: 조금 더 엄밀하게 가르치려면 '집합'부터 선행한 뒤에 배치하는 것도 고려될 수 있다. 먼저 '데카르트 곱'이라는 '곱집합'의 개념이 '곱의 법칙'에서 나오는 원소이기 때문이기도 하다. 그리고 경우의 수가 '어떤 표본공간의 부분집합의 크기'라는 점을 감안한다면 집합 뒤에 편성되는 게 옳을 것이다. '시행'과 '사건'이라는 용어는 확률론에 먼저 등장하는데, 실제 교과 구성은 확률보다 경우의 수를 먼저 배운다. 경우의 수가 바로 확률에서 정의하는 '사건'의 크기이다. 즉 시행, 사건을 서술하지 않고 '경우의 수'부터 배우는 것이다. 이 두 용어만이라도 땡겨오는 것이 바람직해보인다.
- [전반] 중·고등학교 ‘기하’(중학교 수학(1~3학년), 기하2015 개정 교과의 내용) 관련 단원의 불균형을 해소할 것(재분산)
- 논거 1: 한 KCI 논문[15]에서도 중학교 3학년에 편제된 ‘논증 기하’ 또는 ‘문제 풀이 역량’이 해당 학년 과정에 지나치게 집중되어 있거나 불균형이 심하다는 점을 지적했다.
- 논거 2: 2015 개정 교육과정 추가 교과인 기본 수학 개발진들의 2015 개정 교육과정에 따른 기초(기본) 수학 과목 시안 개발연구 최종보고서.pdf에 따르면 논증 기하와 해석 기하의 편중성을 분산시키거나 다시 다루는 노력이 필요하다고 시사하였다.(연구 보고서 참조 76p.)
- 논거 3: 고등학교 1학년에 배우는 '수학' 과목은 논증 기하 관련 단원이 생략되어 있다. (주로 해석기하로 편성됨)
- [전반] '경우의 수' 단원 명칭을 '선택과 배열'과 같이 직관적인 명칭으로 변경
- 논거 1: 7차 교육과정 이산수학에서 'Ⅰ. 선택과 배열'이라는 단원 명칭을 쓴 적이 있다. 경우의 수, 순열, 조합 같은 '용어'를 처음 접하는 학생 입장에선 생소해 할 수 있다. 선택과 배열이라는 단원 명칭은 단순 '구해야 하는 것'에서 '쓰임새'로 포커스가 좀 더 직관적으로 맞춰지게 된다.
- [중1] 통계학에서의 '변량'과 '도수'라는 용어는 '집합'과 '함수'를 선행하고 나서 다뤄야 한다.
- 논거 1: 현행 교육과정에서는 중학교 1학년 때 '자료의 정리'를 다루는데, 함수의 정의도 모르면서 변량을 가르치는 건 문제가 있어보인다. 변량은 자룟값과 엄연히 구분되는데 이에 대한 해석 차이를 가르치려면 집합과 함수의 개념이 필요하다. 가령, '4, 5, 5, 3, 2, 2, 2, 2, 2'라는 자룟값이 주어져있다면, 변량은 '2, 3, 4, 5'가 끝이다. 즉, '변량'은 함수에서 '정의역'인즉 집합이기 때문에 중복 없이 나열하는 것이 원칙이다. 여담으로 이 '변량에 관한 각 도수'가 치역의 '각 원소'라고 할 수 있다.
- 보충 의견: 사족으로 정의역의 원소의 형태가 집합으로 나타내어지는 경우도 있는데, 연속변량이나 계급이 여기에 속한다. 2015 개정 교육과정부터는 계급값을 통해 평균 구하기 행동 영역이 삭제되었으나 '계급값' 자체는 여전히 남아있다. 계급값을 아예 삭제하거나, 평균을 구할 때 실제 자룟값에 의한 평균과 계급값에 의한 평균 사이에서 발생하는 차이를 명시해줄 필요가 있다. 계급값을 사용하여 평균을 구해버리면 실제 자료의 값으로 구해낸 평균과 차이가 반드시 발생하기 때문이다.(각 계급의 크기가 0이 아닌 이상 반드시 발생한다.)
- [중1, 중3] 중학교 3학년 때 배우는 대푯값 일부(평균, 중앙값, 최빈값)를 중학교 1학년 과정과 통합한다.
- 논거 1: '대푯값'엔 '평균' 외에도 '중앙값', '최빈값' 등이 있다. 이 둘만큼은 '자료의 정리' 파트에 구성되어야 할 정도로 기초적인 내용인데 이를 중1 과정으로부터 분리하는 게 과연 옳은 구성인가라는 점이다. 물론 '표준편차', '분산'은 제곱근이 필요하므로 이 둘만큼은 제곱근 이후 구성이 바람직하다.
- [고1] '함수의 정의(기초 이론)'과 '초등함수' 파트를 분리한다.
- 논거 1: 보통고중수학과정표준/필수1, 미국 SAT Level 1, 일본 수학 등 선진국 수학 교육과정에서는 '함수 이론(함수의 정의, 표기, 종류, 역함수와 합성함수 등)'과 초등함수(지수함수, 로그함수, 유리함수, 무리함수, 삼각함수) 관련 내용을 분리하여 다루고 있으나, 한국은 함수라는 큰 단원 안에 '함수의 정의'과 '초등함수'를 모두 다루고 있다. 그것도 유리함수와 무리함수만. 이는 A라는 큰 틀을 소개하기 위해서는 a, b, c, d 같은 여러 사례를 나열해야 하는데, a 하나만 제시해서 A=a라는 결론으로 호도할 수 있는 문제점을 야기할 수 있다. 즉 자칫하다가 학생들에게 필요조건을 지나치게 협소화시킬 수 있어 교육적으로 좋지 못한 구성이라는 것이다. 물론 함수라는 중영역 안에 함수이론과 초등함수를 모두 다루는 게 잘못은 아니지만, 초등함수에 '유리함수와 무리함수'만 다루는 게 문제점이다. 원래는 한국에서도 5 ~ 6차 교육과정 당시엔 유리함수와 무리함수 외에도 지수함수, 로그함수, 삼각함수도 후속 중단원으로 배치되어있었다. 그러나 7차 교육과정에선 지수함수, 로그함수가 분리되더니 2009 개정 교육과정부터는 삼각함수가 분리되었고, 지금은 대수적 함수(유리함수, 무리함수)만이 남아있다. 그러다 보니, 애초에 함수의 정의 단원 내에 유리함수랑 무리함수만 다루는 건 사실상 의미가 없어졌는데, 그 이질감을 유지시킨 것이다. 이는 후속 개편자들이 교육과정 개정으로 인해 점차 부분 단원들이 찢겨나간 흔적을 전혀 눈치채지 못했다는 것을 방증한다.
- 논거 2: 한국과학창의재단에서 제안된 연구보고서에 따르면, 실제로 함수의 극한, 연속을 먼저 다루고 '무리함수, 유리함수' 등을 뒷단원으로 빼는 안이 제시되기도 하였다.
- 보충 의견1: '불연속함수'을 평면 좌표 위의 그래프와 개구간, 폐구간의 개념을 도입하여 가르친다.
- 보충 의견2: 고등학교 '함수의 극한'이 '엡실론-델타 논법'으로 엄밀하게 정의하지 않고 배우는 것과 유사한 방식이다. 이미 중학 과정부터 함수를 엄밀하게 정의하지 않는 이상 이 같은 방법을 마다할 이유가 없다.
- 보충 의견3: 부호 함수 [math(\mathrm{sgn}\left(x\right))], 소수 계량 함수 [math(\pi\left(x\right))]를 예로 들 수 있다. 이 두 특수함수는 각각 '부호를 나타내는 표지', '소수의 개수'를 뜻하므로 불연속인 함수이면서 교과과정을 벗어나지 않으므로 다뤄도 무방하다. 지시함수까지 배웠다면 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}(x))] 같은 완전 불연속 함수(모든 실수에서 불연속)까지 다룰 수 있다.
- 보충 의견4: 만일 유리함수, 무리함수 단원을 분리시킨다면, 기존에 탈락했던 '무리방정식과 분수부등식'을 부활하여 통합 단원을 이루게 할 수도 있다.
- [중1~고1 전반] 함수의 기하학적이고 연속적인 그래프만 ‘함수의 그래프’라고 호도되지 않도록 바로잡는다.
- 논거 1: 막연히 '함수의 그래프'라고 하면 좌표 평면상에 곡선, 직선 같은 것이 그려져있는 것만을 떠올리게 할 수 있다. 하지만 사실 '순서쌍'만으로도 함수의 그래프라고 할 수 있으며, 해석기하학적 그래프만을 함수의 그래프라고 하지 않는다.[16]
- 논거 2: 중학교 ~ 고등학교 1학년 및 미적분을 배우지 않은 예비 학습자들의 경우, '함수의 연속성'을 배우지 않기도 하고, 다항함수 같은 연속함수에만 굉장히 익숙해져 있기 때문에 '수열' 같은 불연속함수[17]를 함수로 받아들이는 데 시간이 걸리는 현실이다. 상위 문단에서 언급했듯이 그래프 자체를 함수라고 인식하는 학생들도 적지 않다.
- [중·고등 전반] 대수학을 꼭 첫 단원으로 다룰 필요가 없다.
- 발단: 매번 교육과정 개편 때마다 '함수'를 비교적 뒷단원에, '방정식과 부등식', '다항식' 등을 비교적 맨 앞 단원에 구성하려고 하는 편인데, 이는 바로 <집합과 명제> 관련 문제들에 '식에 관한 문제'가 응용되기 때문이다. 혹은 다항함수의 정의와의 연계를 위해서로 보인다.
- 논거 1: (<발단>에 이어서) 이는 문제풀이 학습상의 관점에서 볼 때는 일리가 있으나 수학적 관점에서 볼 때는 상당히 이질적으로 느껴질 수 있는 사안이다. 또한 어차피 중학교 때 배운 기본적인 일차, 이차식만으로도 응용 문제는 충분히 출제가 가능하기 때문에 <집합과 명제>를 뒤에 배치한 부분은 다소 합당성이 떨어진다.
- 논거 2: 함수의 정의는 집합만으로 충분히 가능하기 때문에 다항식과는 근본적으로 큰 관련이 없게 배치할 수 있다. 다시 말해 <함수> 단원을 <다항식과 나머지정리> 단원보다 앞단원으로 구성해도 문제가 없다는 걸 인지할 필요가 있다는 것이다.[18]
- 논거 3: 2021학년도 신입생에게 적용되는 < 기본 수학> 연구진들의 논문 속 '국가수준 학업성취도 평가' 통계를 살펴보면 의외로 학생들은 대수학에서 학업성취도가 크게 떨어지는 것으로 나타났다. 실제로 기본 수학에서도 이를 반영하여 '경우의 수'를 가장 앞단원으로 배치하였다.
- [고1] 고등학교 과정에서 집합과 함수, 경우의 수, 사건(확률) 관련 용어를 가까이 구성할 필요가 있다.
- 논거 1: 상기했듯이 경우의 수는 집합 단원과 관련이 짙기 때문이다(둘 다 이산수학 분류).
- 논거 2: ‘함수의 개수를 찾으시오.’ 같은 문제가 기존의 함수 단원과 중복되어 등장하는 것을 방지할 수 있다.
- 제시 1-1안: 집합을 먼저 다루고, 함수와 경우의 수를 다룬다. 수형도, 합의 법칙, 곱의 법칙(기존 집합에서 다루던 '부분집합의 개수' 내용을 곱의 법칙의 활용으로써 이동를 다루는 방안도 고려될 수 있다.
- 제시 1-2안: '확률' 파트에 있던 '표본공간'과 '사건' 용어를 대안적으로 빌려 쓴다. 실제로 어떤 사건(부분집합)의 크기가 정확히 '경우의 수'를 의미한다. 전사건, 여사건, 배반사건(교집합이 공집합) 등도 연계해서 다루면 이해가 엄밀해질 것이다.
- 보충 의견: 2009 개정 교육과정부터 '집합과 명제'가 고등학교 1학년 2학기 과정으로 빠지는 바람에 수 체계를 정의할 수 없게 되었는데, 이 상태로 복소수를 학습하는 것은 문제가 있어보인다. 특히 '실수 전체의 집합' 등의 용어로 실함수를 정의하는 데 무리가 발생한다.
- [고1~고2] 고등학교 과정에서 <곱의 법칙>을 선행하고, '다항식' 파트를 다루는 구조라면, <다항식의 전개>를 <이항정리>와 연계할 수도 있다.
- 논거 1: '경우의 수'를 선수 과정으로 다루었다면, 곱의 법칙을 이용하여 '이항정리'를 다룰 수 있다. 실제로 교육현장에선 (a+b)4이나 (a+b+c)2의 전개식을 그냥 외우게 한다. 차라리 이항정리를 통해 다항식이 전개되는 원리를 이해시키는 게 훨씬 더 연계 가치가 높아보인다. 근본적으로 '지수'가 뽑는 횟수(=조합)를 의미한다.
- 보충 의견: 시그마를 갖고 이의제기를 할 수도 있겠으나, 이항정리 식은 시그마를 쓰지 않고도 나타낼 수 있다. 애초에 이항정리 식에 시그마가 쓰이는 이유는 그저 용이하게 '표기'하기 위해서 나타낼 뿐이지 시그마가 이항정리의 필수요소라는 것은 전혀 아니다. 실제로 2015 개정 교육과정에서 수학Ⅰ을 배우지 않은 학생도 확률과 통계를 배울 수 있게 되면서 교과서의 이항정리 표기에서도 시그마가 사라졌다.
- [고1] '이차방정식과 이차함수를 분리하고, 이차방정식을 이차함수보다 나중에 다룬다.
- 논거 1: < 기본 수학> 연구진들이 실제로 반영하려고 했다가 엎어진 방안.
- 논거 2: 이차함수를 배우려면 이차방정식이 먼저 선행되어야 한다는 발상을 많이들 하지만, 엄밀히 말하면 그 선행 대상은 ‘이차방정식’이 아니라 ‘이차식’일 뿐이다. 이차식의 인수분해나 전개 같은 부분만 배우고 이차함수로 넘어가도 무방하다. 게다가 지수/로그/삼각함수는 전통적으로 '함수'를 먼저 배우고 그 뒤에 '방정식과 부등식'을 '활용' 단원으로 구성해 놓았다.
- [고교 전반] <함수>의 활용 단원에서 나오는 <방정식과 부등식>을 철저하게 분리한다.
- 논거 1: 과거 삼각방정식, 지수방정식 등의 용어를 2009 개정 교육과정부터 교과서에 다루지 못하도록 지침을 내린 바가 있다.(단, 시중 참고서에서는 다루고 있다.) 그런데 여기에 대해서 대체 명칭을 갖다가 '삼각함수에 관한 방정식'으로 해놨다. 그러나 이런 명칭은 오히려 더 전문적으로 성립할 수도 없는 비문에 가깝다.[19]
- 논거 2: 같은 교육 과정인 심화 수학Ⅰ의 '방정식과 부등식' 단원만 봐도 '분수방정식', '무리방정식'은 '분수함수에 관한 방정식', '무리함수에 관한 방정식'으로 쓰이지 않는다. 일관성이 전혀 없다는 뜻이다.
- 제안 1: 대수 관련 후속 단원을 하나 신설하여 삼각방정식, 지수방정식, 로그방정식 등으로 명칭을 회귀시키는 게 올바르다.
- 제안 2: 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 활용 (○○함수에 관한 방정식과 부등식) → 지수방정식, 지수부등식, 로그방정식, 로그부등식, 삼각방정식, 삼각부등식으로 그 용어를 엄밀히 할 것.
- [고2] 호도법에 대해서 설명을 명확하게 해야 한다.
- 논거: 호도법과 관련해서 가장 빈도가 많은 질문이 '호도법을 쓸 때 왜 단위를 쓰지 않는가?'이다. 이는 교과서에서 라디안을 명쾌하게 설명하지 않아서 생긴 것으로, 본래 정의대로 '부채꼴의 호와 반지름이 같을 때 그 호의 길이를 1로 정의'하되, 수학에서는 그 수치만을 취함이라는 것을 강조할 필요가 있다. 이미 몇몇 학자들이 국제단위계의 각도 정의 부분에서 문제점을 지적한 바 있다. 관련 논설문
- 보충 의견 1: 과학과에서는 수학과와는 달리 단위를 명시하는 쪽으로 방향성을 잡을 필요가 있다.
- 보충 의견 2: 삼각함수의 그래프 파트에서 [math(x)]를 [math(x/{\rm rad})]로 변경한다.
- [고1] <원의 방정식> 파트와 <삼각함수> 단원을 붙여놓는다.
- 논거: 삼각함수 파트가 사실 '삼각형'보다는 '원'과 더 밀접하기 때문이고, 실제로 이를 이용해 삼각함수를 정의한다. [math(\boldsymbol{x^2+y^2=1})]인 단위원 위의 한 점으로부터 [math(\boldsymbol{x})]축, [math(\boldsymbol{y})]축에 내린 수선의 발과 원점 사이의 거리는 각각 코사인과 사인의 정의이다. [math([\cos \theta]^2 + [\sin \theta]^2 = 1)]이라는 공식이 나오는 이유가 이 때문이다. 실제로 삼각비와 삼각함수의 차이점을 모르는 학생들이 실로 넘쳐나는데, 위 같이 구성하게 된다면 직각삼각형으로만 지도하던 삼각비와는 명확히 구분할 수 있을 것이다. (실제 삼각함수의 이명은 '원함수'(circular function)이기도 하다.)
- 보충 의견1: 문과가 배울 필요가 없다는 주장이 있는데, 여기에서는 삼각함수의 정의와 그래프까지만 다룬다. 애당초 이 부분은 전통적으로 고1 과정이었기 때문에 수준 논쟁은 불필요하다.
- 보충 의견2: 이과용 삼각함수 파트인 '덧셈정리나 여러 가지 공식, 반각/배각 공식' 등은 이과용 삼각함수에서 별도로 다룬다. 이 부분만 후속 과정으로 분리하면 삼각함수는 문과가 배워도 무방하다. 그런데 일단 중국에서는 이 부분도 문과가 배운다.
- [미적분] 자연로그를 먼저 가르친 뒤 [math(e)]를 소개한다.
- 논거: 사실 '자연로그의 밑 → 자연로그' 순서로 교육하는 건 대한민국에 한정된다. 이에 따라 '자연상수'라는 국내 독자 용어(은어에 가까움)가 생겨난 것이다. 실제로 자연상수는 공식 명칭이 아니다. 세계적인 시류 대로 극한값 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{x} \right)^{x})]을 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 먼저 정의한 뒤, '이 값을 [math(e)]라고 한다.'로 끝마치는 것이 바람직해보인다. 교과서에 무리수라고 하니까 단순 숫자열을 외우기만 바쁘고, 어느 정도의 크기인지에만 관심이 있게 되어 그 정의 자체가 어떻게 되는지를 고민하는 학생은 드물다.
- [미적분] 극한의 설명을 엡실론-델타 논법을 고려한 문장으로 변경한다.
5.2. 내용 강화 · 추가(재포함) 제안
- [중2] 산점도를 저학년 과정으로 내리고 '적합선' 개념을 추가한다.
- 논거1: 이화여대 교육대학원 이문경(2020, 연구 논문)
- 논거2: 2015 개정 교육과정 중학교 수학 통계 영역에서 산점도를 다시 재포함하였으나 다소 실용적이지 못하므로 학생들에게 유의미한 연계활동이 필요해보인다는 지적이 있다.
- 보충 의견1: 일차함수의 기하적 그래프와 연계한다.
- 보충 의견2: 후속 과정에서 이차함수의 기하적 그래프를 배울 때에도 소개할 수 있도록 한다.
- [중2] 삼각형, 사각형 파트에 쌍대를 추가한다.
- 논거: 도형을 다루다 보면 각 변의 중점을 이은 도형이 등장하기도 하는데 정작 여기에 대한 성질을 제대로 다루지 않는다. 그래서 닮음 등과 연계해서 쌍대라는 개념을 가르칠 필요가 있다.
- [중3] 곱셈 공식 파트에서 1학년의 꿈(수학 용어)을 명시하거나 관련 주의사항 코멘트를 추가한다.
- [함수 그래프] 시그모이드 곡선 개형을 중학 과정, 고등학교 과정에 한 번씩 다루어 인식시킬 필요가 있음.
- 논거 1: 학생들이 떠올릴 수 있는 변화 추이는 고작 비례, 반비례, 폭발적인 증가/감소(지수/로그함수), 주기(삼각함수)와 같은 단조로운 느낌밖에 없다. 시그모이드 곡선을 다루어, 갑자기 급격하게 증가했다가도 또다시 일정해지는 양상을 인식시켜줄 필요가 있다. 이러한 추이를 가르쳐주면 학생들의 수학적 의사소통을 넓힐 수 있다.
- 논거 2: 딥 러닝뿐만 아니라 인구 증가의 패턴, 생물의 성장 같은 실생활적인 내용. 그밖에 물리학에서 다루는 광전효과, 전자공학을 이해하는 데도 도움이 된다.
- 보충 의견 1: 다만, 여러 가지 복잡한 함수식까지 다루는 것은 본질적인 목표에서 벗어나므로 심화과정이 아니면 가급적 자제한다. 다루더라도 자연계열 전용 교과 '미적분'에서 로지스틱 함수 정도를 추가하는 선으로 한한다.
- 보충 의견 2: 초등함수 가운데 시그모이드 곡선 개형인 함수는 [math(\arctan)], [math(\tanh)] 단 둘뿐이므로, 해당 단원에서 소개하는 것이 적당해 보인다.
- 보충 의견 3: 시그모이드(S자 꼴)가 학생들에게는 생소하게 여겨질 수 있으므로, '둥근계단함수'[21], ' 미끄럼틀함수' 등의 번역어로 제시하는 안도 생각할 수 있다.
- [고1] 집합을 중학 과정으로 복귀되었다면, 기존의 < 실수와 수 체계> 단원을 복귀시킨다.
- [고1] 부등식의 영역을 복귀시킨다.
- 논거 1: 부등식의 영역은 좌표평면 위 특정 영역을 대수적으로 표현할 수 있는 방법을 제시하고, 이와 관련된 여러 문제들을 해결할 수 있는 역량을 기르는 데 도움을 준다. 대수적인 문제를 기하적으로, 또 그 역으로 사고하는 능력을 함양하는 데 큰 도움이 되는 학습 내용임을 감안해야 한다.
- [고1] 절댓값을 가르칠 때 부호 함수도 같이 서술한다.
- 논거 1: '수에서 부호를 없애는 것'이 절댓값이라는 것은 배우지만, 정작 '수에서 부호만을 남기는 방법'을 모르는 이들이 많아 급수 및 점화식을 세울 때 애로사항이 생긴다. 그러므로 절댓값 파트에 부호 함수 [math(\mathrm{sgn}(x))]을 같이 서술한다.
- 논거 2: 정의가 '양수일 때 1, 음수일 때 -1, 0일 때 0을 내놓는다'라는 간단한 내용이므로 교과 수준을 벗어나지 않는다.
- 논거 3: 복소수 파트에서 '복소수의 절댓값'을 배울 때에도 부호함수 내용을 추가한다. 여기서 실수에서의 부호함수와 차이점을 가르친다.
- 논거 4: 미적분 파트에서 절댓값 함수의 미분, 적분법을 부호함수와 연계해 가르친다. 숱한 참고서나 수학 관련 블로그 등에서 절댓값 함수의 미분가능성을 이야기하는데 이는 부호함수의 존재를 몰라서 그러는 경우가 상당수이다. 달리 말하면, 부호함수를 도입하면 일반적인 다항식과 크게 달라지지 않는다는 점[22]이나, 절댓값을 씌운 함수의 역도함수가 있음[23]을 가르칠 필요가 있다.
- 보충 의견1: 부호 함수에서 유도할 수 있는 헤비사이드 계단 함수를 소개한다. [math(x=0)]일 때의 값은 다수론인 [math(\dfrac12)]로 한다.
- 보충 의견2: 다루게 된다면 복소수용 부호함수인 [math(\mathrm{csgn}(z))]도 소개할 필요도 고려한다.
- 보충 의견3: 단, 절댓값의 이계도함수인 디랙 델타 함수는 교육 과정을 벗어나므로 다루지 않는다.[24]
- [고1] < 벡터>나 < 행렬>의 기초적인 내용 정도는 문·이과 막론하고 필수로 교육한다.
- 논거 1: 이 문서의 3.3.1 문단에서도 언급했듯이 동아시아 교육과정에서 벡터를 문이과 필수로 배우지 않는 나라는 대한민국밖에 없다. 중국, 홍콩, 대만 등은 벡터를 정규 필수 교육 과정에 편성하고 있으며 당장에 가까운 나라인 일본만 해도 '벡터'가 문이과 막론하고 입시 시험에 출제된다.
- 논거 2: 이는 스칼라와 벡터의 구분을 가르치기 위해서이기도 하다. 특히 공통과학 역학 파트 초반에 등장하는 '거리(스칼라)와 변위(벡터)', '속도(벡터)와 속력(스칼라)'의 개념 차이를 각인시키기 위해 당연히 배워야 하는 것으로 인식된다.
- 보충 의견1: 다만, 벡터의 대수학적 개론에 초점하여 다룬다. 도형 같은 것을 응용하면 학습 부담감이 커지기 때문이다. 덧셈과 상수배, 전치, 내적[25] 정도만 다루고 행렬곱, 행렬식, 역행렬 등은 고등학교 과정으로 남겨둔다.
- 보충 의견2: 벡터라는 용어가 생소하게 느껴진다면 '선그림'(국립국어원) 등으로 자문을 통해 순화어로 가르치면 된다.
- 대안: 나선형 교육과정에 입거하여, 노력만 한다면 '벡터' 정도야 중학교 과정에도 편성할 수도 있다. 대신에 이를 아주 친숙하게 받아들여질 수 있도록 (속임법으로) 교육할 필요가 있다. 생소할수록 반복할수록 학습 효과가 커지기 때문이다.
- 보충 의견3: 내적을 반쌍형적 형식으로 정의한다. 선수 과정에서 켤레복소수를 배우기 때문에 실벡터의 내적을 따로 배울 필요가 없다. 위의 중학교 과정에 벡터를 도입하는 것과 엮어서 생각하자면, 현행 교육과정의 쌍선형 내적을 중학교 과정에서 다루고 고등학교 과정에서 반쌍형 내적으로 일반화하는 것으로 다룰 수도 있다.
- 보충 의견4: 교환자를 추가한다. 교환자는 교환법칙의 불일치도를 나타내는 이항연산으로, 덧셈과 곱셈만으로 정의할 수 있기 때문에 다뤄도 무방하다.
- 사분위수와 상자 그림 추가를 고려한다. (→ 실제 2022 개정 교육과정 때 최초 도입)
- 논거: 상당히 실용적이다. 사분위수와 상자 그림은 대다수의 통계학 입문 서적에 줄기와 잎 그림 바로 다음으로 다룰 정도로 기초적인 파트이다. 통계 자료를 보다 보면 이런 그림을 자주 접한 적이 있을 것이다. 이는 특히 주식이나 여론조사, 경제 관련 그래프에서도 굉장히 많이 다루기 때문에 실용적이기도 하다. 2015 개정 교육과정에서 복귀된 상관계수는 사실상 너무나도 당연한 내용들이기 때문에 직관적으로 이해할 수 있어서 추가에 의의가 없어보인다. 차라리 실생활에서 자주 다루는 '사분위수'를 추가하는 게 더 괜찮아보인다는 아쉬움이 있다. 여담으로 2022 개정 교육과정에서 최초로 추가된다. 나무위키에 제안된 내용 중에선 유일무이하게 추가된 내용이다.[26]
- [미적분] 자연로그를 정의할 때 쓰이는 함수를 상세화한다.
- 논거 1: 함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}})]와 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x})]의 기하학적 그래프를 다루면 직관적인 이해가 가능하다.( 해당 문서 참조. ) 함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}})]의 그래프와 함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x})]의 그래프의 개형을 보여준 뒤 이를 '함수의 연속', '함수의 극한', '그래프의 점근선'과 연계시켜 서술하면 쉽게 이해시킬 수 있지만, 아쉽게도 현 교육과정은 그저 수식적 서술로만 끝내는 것에 그친다.
- 논거 2: 해당 내용은 (일반적인) 로그함수의 극한이라며 오해하는 경우도 있다. 그러나 이 함수는 특정 합성 지수함수에 로그함수가 또 한 번 합성된 복잡한 합성함수[27]의 극한을 다루는 것이다. 겉은 로그지만 속은 지수식이고, 그마저도 일반적인 지수식도 아니므로 합성함수로 보는 게 타당하다. (대다수의 학생은 인지하지 못하고 있다.)
- 보충 의견1: (일반적인) ' 로그함수의 극한'과 ' 자연로그' 단원(후속 과정)을 분리하여 다루는 것이 낫다. 차라리 극한과 연속을 먼저 다룬 뒤 지수함수와 로그함수의 그래프를 다룬 뒤, 이 과정에서 극한을 연계하여 점근선의 개념을 명확히 해줄 필요가 있다.
- 보충 의견2: 소수 계량 함수와 소수 정리를 간략하게 서술할 필요가 있다. '일반적인 로그함수의 극한'을 다룬다면 빼놓을 수 없는 내용이다.[28] 물론 자연로그가 소수의 개수와 관련이 있다고까지만 언급해야 하며 그 이상의 내용은 중등교육 과정을 벗어나므로[29] 서술 시 주의해야 한다.
- 보충 의견 2에 대한 반론: 이들은 상술했듯이 다루기에 애매한 부분이 많으며, 이걸 고등학교에서 다루겠다면 서술할 수 있는 내용은 "해당 함수가 [math(x/\ln x)]로 근사된다고 알려져 있다." 뿐. 이런 독립적인 수학 개념을 하나 더 안다고 수학 실력이 느는 게 아니다. [30]
- 보충 의견3: 오일러-마스케로니 상수를 소개한다. 이것은 반비례 관계의 그래프와 로그함수 그래프의 차를 뜻하는 극한값[31]으로, 역시 로그함수의 극한을 다룰 때 나름대로 비중있게 다룰 수 있는 내용이다.
- 보충 의견 3에 대한 반론: 오일러-마스케로니 상수 문서에서 알 수 있듯이, 이건 고등학교 과정을 한참 벗어난 내용이다. 당장 [math(1/k)]의 무한급수가 발산한다는 것을 제대로 보이기 위해선 오렘의 증명[32]
- <우함수(짝함수)>, <기함수(홀함수)>, <주기함수>, <매개변수로 정의된 함수>, <최대 정수 함수> 등을 정규 과정으로 편성한다.
- 논거 1: 최대 정수 함수는 뒤에 나오는 상용로그를 심화 설명하거나[33] '함수의 불연속'을 설명할 때 용이하다. 주기함수나 매개변수 등도 삼각함수나 이차곡선과 연계된다.
- 논거 2: 적분 파트에서 최대 정수 함수를 이용해 수열의 합을 적분으로 바꾸어 쓸 수 있음[34]을 소개한다.
- 논거 3: 함수의 합성 파트에서 멱등함수를 소개하며, 최대 정수 함수를 예로 든다.
- 보충 의견1: 우함수와 기함수는 정적분과 연계돼서 당연히 정식 교과과정인 줄 착각하는 사람들이 많은데, 놀랍게도 현재까지 정식적으로 교과 과정에 포함된 적이 없다.
- 보충 의견2: 우함수와 기함수는 '집합으로 함수 정의하기' 파트에서 다룬다. 여기서 주요 성질을 다루어야 이후 과정에서 혼동이 적다.
- 보충 의견3: 가우스 정수를 소개한다. 또한 복소수에 최대 정수 함수가 적용될 수 있음을 익힌다.
- 2009 개정 교육과정에서 빠진 '분수방정식, 무리방정식 재포함한다.'
- 논거: 학생들이 치환, 제곱 등의 과정에서 '무연근'이 발생할 수도 있다는 예외적인 사례도 존재할 수 있다는 것을 알 필요가 있다. 현재는 고급 수학1에서 다룬다.
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- 6차 교육과정이후 빠진 ' 복소평면'을 재포함한다.'
- 논거 1: 복소수가 단순한 방정식의 근이 아니라 더 나아가서 평면위의 점, 위치벡터를 표현하는 유용한 방식이라는 것을 알면, 삼각함수나 벡터를 더 깊이 이해할수 있고 점의 회전도 다룰 수 있다.
- 논거 2: 덧붙여서 고1 과정 수학에서 원의 방정식과 삼각함수의 정의 및 기본성질을 다루면서, 바로 복소평면과 극형식을 도입하고 복소수의 곱셈이 닮음과 회전을 의미한다는 것을 기하학적으로 교과서에서 끌어낸다면 삼각함수의 덧셈정리같은 삼각함수의 응용 내용들을 바로 유도 할수있다.
- 논거 3: 선진국중에서 복소평면을 가르치지 않는 나라는 매우 드물다.
-
보충 의견:
다색 복소평면을 다룰 때 아래의 알록달록한 이미지를 접할 경우가 많은데, 이를 보는 방법을
1의 세제곱근과 연계해서 가르칠 필요가 있다.
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- [전면 개편] 진로선택과목 ‘기하’ 교과를 유지하거든 그에 걸맞은 과목으로 복귀·상향한다.
- 논거 1: 미국수학교사회(NCTM, 1920)에서 제시된 <학교수학의 교육과정과 평가의 표준>에서는 기하 영역 가운데 ‘해석기하학적’, ‘변환기하학적’, ‘벡터기하학적’, ‘비유클리드 기하학적’ 측면 등 다양한 기하학 학습 관점을 절충적으로 다룸으로써 학생들에게 문제 상황에 따라 적합한 기하학적 방법과 개념을 효과적으로 적용할 수 있는 능력을 길러 줄 것을 요구하고 있다.[35]
- 2015 개정 교육과정 기하 과목의 전신이었던 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터(2007)은 그래도 비유클리드 기하를 제외한 ‘벡터기하학적’(평면 벡터, 공간좌표), ‘해석기하학적’(이차곡선), ‘변환기하학적’(일차변환과 행렬), ‘유클리드 기하’(공간도형)를 모두 다루어서 차라리 그 시절이 오히려 ‘기하’라는 단일 작명이 어울렸을 것이다. 그러나 두 번의 개정을 거듭한 이 과목은 각 관점의 내용이 매우 허술[36]하다. 그나마 있던 '변환기하학' 내용마저 날려버렸으며, 벡터기하학은 '공간 벡터'를 삭제시킴으로써 그 기초 허들이 매우 낮아졌다. 그나마 자연계 필수로 가르치던 것마저 이젠 입시 필수 범위에서 필연 3자1택으로 영향력을 떨어뜨리는 등의 행보를 보여 무의미해졌다. '기하'보다는 '미적분과 통계 기본' 마냥 '해석기하와 벡터 기본'가 더 구체화한 작명 면에선 낫다고 볼 수 있겠다.
- 논거 1에 대한 제안 1: 벡터를 '선형대수학' 관점과 '기하학' 관점이 있다는 사실을 명시해야 한다.
- 논거 1에 대한 제안 2: <학교수학의 교육과정과 평가의 표준>을 그나마 잘 지켰던 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터(2007)의 단원 구성으로 되돌릴 필요가 있다. 각 표준 하위 영역을 균형화 작업을 하여, 해석 기하 영역을 좀 더 심화·보충하거나, 비유클리드기하 영역을 새롭게 추가할 필요가 있다.
- 보충 의견 1: 이차곡선을 진로과목인 기하에 남겨두고자 한다면 극좌표를 살짝 다루며 이심률을 통해 정의될 수 있음을 설명하는 방법이 있다. 애초에 극좌표 자체가 명시적으로 설명은 안 돼 있지만 수1 '삼각함수' 단원 맨 처음에 나오는 부분이기도 하고, 미적분의 매개변수 함수에도 나오는 부분이기에 그다지 낯설지 않겠지만, 그 활용도는 어마어마하기 때문이다. 따라서 학생들이 개념의 쓸모를 느끼기에도 좋을 것이다.
- 보충 의견 2: 1의 의견을 따를 경우 어디까지 다룰 것인가가 문제이다. 상술했듯이 극좌표는 활용범위가 어마어마해서, 이차곡선뿐만 아니라 평벡, 공벡 모두와 깊은 연관성을 보이는데, 이걸 이차곡선에서만 설명하고 끝낼 것인가, 혹은 기하의 전 단원과 연계시킬 것인가가 문제이며, 후자의 경우 내용이 지나치게 많아질 우려가 있으며[37] 전자의 경우 규격이 없다고 비판받을 여지가 있다. 절충점을 찾는 것이 중요해 보인다.
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- < 행렬>과 <공간 벡터>를 이과 필수 과정으로 재포함시킬 필요가 있다.
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논거 0: 솔직히 이건 이유조차 말해주는 게 실례일 정도로 우스운 논제다. - 논거 1: 공과대학, 자연과학대학에서의 행렬의 위치를 고려하여 재포함이 논의되어야 한다. 실제로 행렬의 경우는 벡터와 함께 선형대수학의 필수요소인데, 선형대수학이 공과대학, 자연과학대학에서 얼마나 중요한 위치에 놓여 있는지는 더 이상 말할 필요가 없다. 다만, 지난 교육과정처럼 뜬금포 수준으로 다루기보단[38] 2009 개정 교육과정 기준 고급 수학Ⅰ처럼 벡터와 엮어서 정식적으로 다룰 필요가 있다. 실제로 2015 개정 교육과정 회의에서 일반선택과목으로 재포함시키고자 한 적이 있다가 무산된 바가 있다. [참조]
-
논거 2(전문가의 의견 인용):
행렬과 같은 부분은 아예 단원 자체를 들어내는 것보다는 조금이라도 소개하는 식의 내용 경감이 필요하지 않을까 생각한다. 많은 공부를 하지 않아도 지금 하나를 들으면 나중에 또 공부를 할 때는 둘을 아는 것처럼 느껴져 훨씬 더 쉽게 느껴지게 되기 때문이다. (중략) 일반적으로 특정 주제 전체를 삭제하는 결정을 하는 것보다는 다른 방향으로의 내용 삭감을 하는 것을 고려하는 것이 바람직하다고 생각한다.
- 보충 의견1: 행렬과 벡터를 간단히 다룬 뒤 벡터 단원 하위에 평면 위의 벡터의 활용이라는 단원을 구성한다. 여기서부터 그전에 배우던 그 '평면 벡터'와 유사하다.
- 보충 의견2: 삼각함수가 선수되어야 한다. 내적 파트에서 코사인을 다루기 때문이다.[40] 다만, 평면 운동 파트는 미적분을 배워야 할 수 있으므로 후속 과정에서 다룬다.
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- [미적분] < 정적분의 활용> 단원 강화를 고려한다.
- 논거 1: 회전체의 부피를 고급 수학으로 차출시켰으면서 정작 일반 입체의 부피는 남겨놨는데, 사실상 이 일반입체의 부피에다가 중학교 때 배웠던 회전체를 엮어서 단면이 원이 되게 하면 회전체의 부피와 근본적인 차이가 없기 때문에, 이게 빠진 건 사실상 의미가 없다. 즉 일반입체를 통해서 2009 개정 교육과정 기준으로도 회전체를 잘만 시험 문제에 낼 수 있는 것이다.
- 제안 1: 2009 개정 교육과정 때 빠졌던 '회전체의 부피'를 복귀시킨다.
- 제안 2: ' 질량중심과 모멘트'를 추가한다. 거의 모든 이공계 학과 1학년 때 필수로 배워야 하는 일반물리학(특히 건축공학과, 기계공학과)에서 등장하기 때문. 그리고 모멘트는 화학이나 지구과학에서도 쓰인다. 실제로 수준도 낮은 편에 속한다. 일변수함수와 시그마, 정적분으로만 설명되기 때문에 심화 미적분에 없던 게 의문일 정도로 내용이 쉽다. 게다가 물리학2의 역학적 평형과 돌림힘 파트에서 다루기도 하고, 실제로 수능 문제(舊 물리1)가 이 파트를 스킬 삼아 풀어냈었고, 중3때 배운 무게중심과 구분지어줘야 하기 때문에 정규 고교 과정 편성이 필요해보인다. 심지어 초월함수조차 쓰이지 않아서 다항함수의 적분법 - '정적분의 활용' 파트에 놓아도 문제가 없다.
- 제안 3: 리시 방법을 소개한다. 초등함수의 역도함수가 초등함수일 경우 쓸 수 있는 공식으로, 정적분 단원 말미에 배치한다.
- [해석기하] 삼각함수 내용 말미에 역삼각함수를 추가한다.
- 논거 1: 역함수 관계인 '이차함수 - 무리함수', '지수함수 - 로그함수' 관계까지 배웠는데 삼각함수의 역함수 정의를 하지 않는 것은 맞지 않는다. 최소 [math(\sin, \cos, \tan)]에 대한 역함수 [math(\arcsin, \arccos, \arctan)]를 가르칠 필요성이 있다.
- 논거 2: 다른 선진국(특히 미국)의 중등 교육과정에서 가르치는 내용이다.
- 논거 3: 역삼각함수는 삼각치환이나 복소수나 물리학과 연계되는 내용이기도 하다.
- 논거 4: 2015 개정 교육과정 '심화 수학 I' 과목에 역삼각함수의 정의와 도함수에 관한 내용이 서술되어 있다. 이 내용을 일반 선택 과목으로 옮기는 것이 하나의 해결 방안이 될 수 있다.
- 보충 의견1: 함숫값이 일대일 대응인 것을 염두에 둔다면 삼각비 파트에서부터 다룰 수도 있다(일명 역삼각비). 교과과정상 특수각과 특수 비율로만 정의되니 그 역관계를 쉽게 정의할 수 있다.[41]
- 보충 의견2: 중학교 수학의 원 단원에서 활꼴의 둘레만 빠져 있는데, 활꼴의 둘레에 역삼각함수가 들어가기 때문이다. 보충 의견 1에 따라 역삼각비를 도입하면 특수각 한정이지만 활꼴의 둘레도 다룰 수 있다.
5.3. 내용 약화 · 삭제 제안
- 대분수를 삭제한다.
- 논거: 가분수를 대분수로 바꿔 표현하는 교육은 초등학교에서만 다루며, 장차 학생들에게 더 혼란만 부추기게 만들기만 한다. 예를 들어, 가분수를 대분수로 표현할 땐 [math(\dfrac{39}{4} =)] [math(9dfrac{3}{4})]이라고 표현하지만, 나중에 중학교에 진학하여 '문자간 곱셈'의 생략을 배우면서 [math(9\dfrac{3}{4})]이 [math(9+\dfrac{3}{4})]인지 [math(9\times\dfrac{3}{4})]인지 혼란이 오게 된다는 점이다. 대분수는 덧셈이 생략된 경우이므로 전자가 맞다.
- 해결 1안: '가분수'만을 다룬다.
- 해결 2안: '정수' + '진분수' 꼴로 표기를 변경하여 다룬다.
- 벤 다이어그램을 증명에 쓸 수 없음을 가르친다.
- 논거 1: 함수를 정의할 때 벤 다이어그램을 쓰는 것도 '이해'라는 관점에선 타당하겠지만, 극도의 순도성을 추구한다는 면에서 볼 땐 엄밀한 방법이 아니다. 그 중에서도 '전체집합'은 명백히 러셀의 역설에 의해 인정되지도 못하는 개념이다. 자세한 건 집합 문서 참조.
- 논거 2: 벤 다이어그램은 본래 논리학에서만 쓰이던 도식이고, 벤 본인도 수학을 염두에 두고 이 아이디어를 창안하지 않았다고 한다. 그런데 이후 현대수학에서 집합론이 대두되자 벤 다이어그램을 차용하였는데, 차이점이 생기고 만다. 자세한 건 벤 다이어그램 문서 참조.[42]
- 대안 1: 그래도 벤 다이어그램은 쉽게 직관적으로 이해시킨다는 목적에서만 볼 때 벤 다이어그램의 쓰임새가 긍정될 수는 있겠다. 하지만 수학적으로 증명한다거나 다른 수리 논증의 증명에 활용될 수는 없는 개념이다. 교육부가 벤 다이어그램을 버릴 수 없다면, 경고 문구로 대체할 수 있다. ‘집합의 개념을 쉽게 도식화하기 위해 논리학의 도구를 빌려온 것’, ‘엄밀하게는 증명엔 활용될 수 없음’이라는 문구를 넣어둘 필요가 있겠다. 일반인들이 수학자들이 사용하는 형식논리로만 모든 것을 정의하고 증명해야 하는 것은 아니지만, 벤 다이어그램을 통해 '증명'하라는 기존의 예제나 문제는 학술적으로 문제가 있다.
- 실용수학 폐지 또는 개편
5.4. 표기와 용어 수정
- 분수와 나눗셈 기호 통합, 대분수 폐지
- 논거: 학생들뿐만 아니라 많은 사람들이 [math(n)] 분의 [math(1)]을 쓸 때 [math(n/1)]이라고 적는 오류를 범한다. 즉 [math(\div)]가 [math(/)]와 같은 것임을 전혀 인지하지 못해서일 가능성이 제기되었다. 또한 더 이상 수학 표준 기호가 아니게 된 나눗셈 기호 [math(\div)]를 버리고 과감히 [math(/)]로 변경해 기존 틀을 깨는 것도 고려해볼 만 하다. 또한 대분수 표기를 폐지하고 정수+진분수 꼴로 표기하는 것으로 가르친다. 상술했듯 대분수가 중학교 수학 과정에서의 곱셈과 혼동을 일으킬 수 있기 때문이다.
| [math(7\div 3 =\dfrac{7}{3} = 7/3 = 2+\dfrac{1}{3} \neq 2 \dfrac{1}{3})] |
- 제시안: (표제어와 동일) ÷와 / 기호를 통일하고, 대분수 대신 정수+진분수 꼴로 표기를 변경한다.
- 양함수와 음함수를 각각 '드러난함수'와 '숨은함수'로 개칭한다.
- 가비의 이를 '분수식의 덧셈법칙' 등으로 개칭한다.
- ‘ 무리수 [math(e)]’를 ‘극한값 [math(e)]’ 또는 ‘상수 [math(e)]’로 교육한다.
- 논거: 중·고등학교 수학교육과정 내에서 [math(e)]가 무리수라는 건 별로 중요한 과제가 아니며, 그게 무리수인지, 초월수인지를 증명하는 과정은 고등 과정 밖이다. 따라서 극한값 [math(e)] 또는 상수 [math(e)]로 가르치는 것이 타당해보인다.
- <삼각함수>와 <삼각식>을 엄연히 구분한다.
- 논거: '삼각함수 문서'의 여담 항목 참조.
- 구분구적법 없이 ‘정적분’ 개념을 정의할 때는 ‘ 미적분학의 기본정리’보다는 ‘부정적분의 함숫값의 차’로 명시할 것.
- ‘정적분과 급수의 합 사이의 관계’를 ‘곡선과 x축 사이의 넓이’보다 앞 순서에 구성할 것.
- 기호를 통일하거나 새로운 기호를 알려준다.
- 기호 통일
- 최대 정수 함수의 표현을 [math(\lfloor x \rfloor)]로 통일할 필요가 있다. 현재는 일반적 괄호 용법 및 폐구간, 1차 정사각행렬과 같은 꼴인 [math([x])]를 쓰기 때문에 대학 과정에서 혼란이 있다.
- 중복순열의 개수를 [math(n^r)]로 통일해야 한다. [math({}_n \Pi _r)]은 수열의 곱셈과 혼동할 수 있을 뿐더러 대한민국에서만 사용하는 출처 불명의 갈라파고스화된 표기이다. 2015 개정 교육과정에서는 이 둘을 같다고 병기하여 표시하고 있지만 해당 표기가 완전히 사라지지 않았다.
- 마찬가지로 조합과 중복조합 표기도 각각 [math(\dbinom nr, \left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right))]로 통일한다(다만 현행 교육과정의 [math(_{n} \rm C \it _{r})] 기호도 덜 쓰여서 그렇지 국제적으로 쓰이는 기호이다). 행렬과 혼동할 수는 있겠지만 대학 과정에서는 보통 행렬 표현에 대괄호를 쓰니 큰 문제는 없다. 그래도 불안하다면 행렬 표현을 대괄호로 바꿔버리면 그만이다.
- 집합의 크기를 [math(|\cdot|)]로 통일한다. 현행 표기법인 [math(n(\cdot))]는 한국의 중등교육과정 외의 사용례가 없는 갈라파고스화된 표기이다.
- 닮음과 합동을 각각 [math(\sim)], [math(\cong)]로 통일한다.
- 여집합의 기호를 [math(\complement)]로 통일한다.[47] 소문자 c로 표기할 경우 상수나 [math(C)]로 표기된 다른 집합과 혼동할 수 있기 때문이다.
- 소수의 표기를 국제단위계 기준[48]으로 통일한다. 초등학교 수학에서의 소수 파트는 측정과 상당히 연계되어 있고, 이는 이후 교과의 과학 과정과도 엮이기 때문이다. 현재 쓰이는 관행적 표기[49]는 일러두기로 한다.
- 상용로그의 표기를 [math(\operatorname{lg})][50]로 변경한다. 국제표준화기구에서 ISO 31-11로 권고하고 있는 사항이다. 참고로 자연로그는 교과과정에서 [math(\ln)]으로 표기하고 있으므로 ISO 31-11을 잘 준용하고 있다.
- 일러두기
- 공집합의 표기를 [math(\emptyset)]로 변경하거나 기존의 [math(\varnothing)]를 각도를 나타내는 [math(\phi)]표기와 다르다는 것을 일러둔다.
- 복소수의 실수부, 허수부 표현에서 [math(\Re (z) = \mathrm{Re}(z), \Im (z) = \mathrm{Im}(z))]를 일러둘 필요가 있다. [math(\Re, \Im)]은 수학 논문에서 자주 보이는 형태이기 때문. 물론 [math(\mathrm{Re} (z))] 및 [math(\mathrm{Im} (z))]도 전공 서적 및 학계에서도 꽤 자주 사용하는 표기이기에 무조건 바꿔야 할 표기는 아니다. (다만, 고급 수학의 '복소수와 극형식' 파트에서는 서술되어있다.)
- 적분상수의 표기를 [math(\sf const.)]로도 쓸 수 있음을 일러둔다. [math(C)]가 틀린 것은 아니지만, 식에 이미 [math(C)]나 [math(c)]가 있을 경우 혼동할 수 있기 때문.
6. 종합적인 개편안
===# 분량을 유지하되, 영역별로 나누는 방법 #===고등학교 2015 개정 교육과정 기준으로 서술한 것이다. 수학(2015), 수학Ⅰ(2015), 수학Ⅱ(2015), 미적분, 기하, 확률과 통계(2015)를 전부 합쳐놓은 다음에 쪼개는 것이다.
수학(2015), 수학Ⅰ(2015), 수학Ⅱ(2015)에서 의미하는 '수학'이라는 게 사실상 큰 플롯이 있는 것도 아니고, '기초'라고 보기엔 상위 과정에 있었거나 하위 과정에 있었던 내용들을 비일관적으로 재구성하기에 바쁘다. 즉 교육 개편자들 마음 대로라는 것이다. 차라리 '수학'이라는 네이밍 자체에 구속되어 이상한 교과서를 매번 탄생시키기보다 '수학'을 차라리 없애고, 처음부터 세분화 영역에 포함시켜 교과를 구성하는 방안을 채택할 수 있다. 즉 고등학교 1학년 때부터 '수학'이라는 교과서 명칭을 버리고 세분화 형식의 과목을 실시하는 것이다.
| * 이 문단의 세분화 과목 분류 기준은 이러하다. |
물론 대수, 그래프와 기하, 이산수학·통계, 미적분I, 미적분II[51]로 나누는 방법은 수업 진도에 융통성이 더해져야 한다. "미적분" 같은 경우는 선수해야 할 개념이 많아야 하기 때문이다. 이는 초반엔 3 과목씩 나가고, 한 과목이 끝나면 '미적분'을 나가도록 융통성 있는 교육을 해야 할 것이다. 구조상 이산수학과 통계는 1학년, 대수, 그래프와 기하는 2학년, 미적분1/2는 3학년이 된다.
수능에서는 대수, 그래프와 기하, 이산수학·통계는 공통으로 응시하고, 추가로 미적분I, 미적분II 중 1과목을 선택 응시한다.
아래는 2015 개정 교육과정의 교과 내용을 그대로 구성했을 때 가정 상황이다. 대단원에 얽매이지 않고 중단원으로만 편성하였다. 내용 삭제 및 추가는 이루어지지 않았으며, 구성상에 순서는 바뀐 부분은 있다. 이동한 것에 대해서는 각각의 이유를 제시하였다.
- 이산수학과 통계
- 명제와 집합
- 명제, 집합의 뜻과 표현, 부분집합
- 전체집합, 여집합, 조건, 진리집합, p → q
- 합집합과 교집합, '또는'과 '그리고'
- 차집합
- 집합의 연산 법칙
-
유한집합의 원소의 개수
'부분집합의 개수'는 여기서 다루지 않으며 좀 더 상황과 밀접한 '합의 법칙'과 '곱의 법칙'의 일부 예시 문항으로 이동한다. - 함수
- 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수
- 합성함수와 역함수의 정의
- 경우의 수
-
시행과 사건
현행 교육과정(이전도 마찬가지지만)에선 시행, 사건도 안 가르쳐주면서 합의 법칙과 곱의 법칙을 정의한다. 확률 맨 처음에 나오는 배반사건(합의 법칙을 써야 하는 상황), 곱사건(곱의 법칙을 써야 하는 상황), 시행 등의 내용은 경우의 수에 편성할 필요가 있다. -
합의 법칙과 곱의 법칙
부분집합의 개수 관련 이론은 여기로 이동. - 포함 배제의 원리
- 순열, 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열
- 조합, 중복조합, 상승 계승
- 경우의 수에 관한 문제
-
함수가 될 수 있는 것들의 개수 세기
함수의 개수 세기 관련 이론은 여기로 이동. - 집합의 분할 (조 나누기, 분배)
- 이항정리: 1학년의 꿈
- 확률
- 확률의 뜻과 기본 성질
- 확률의 덧셈정리
- 조건부 확률
-
사건의 독립과 종속
경우의 수 초입에 설명하는 안도 고려될 수 있다. 배움 초반부터 독립, 종속 개념을 몰라서 곱해야 할지, 더해야 할 지 모르는 학생이 속출하기 때문. - 독립시행의 확률
- 확률분포와 통계적 추정
- 이산확률변수와 확률질량함수
- 이산확률변수의 기댓값, 분산, 표준편차
- 이항분포
- 연속확률변수와 확률밀도함수
- 정규분포
- 표준정규분포
- 이항분포와 정규분포의 관계
- 통계적 추정
- 모집단과 표본
- 모평균의 추정
| 학습 순서에 변경이 있다. 명제와 집합을 통합한 뒤, 집합의 개념으로 명제의 개념을 다이렉트로 소개해주는 것이다. 집합의 정의와 사례 나열 등을 유심히 보면 사실 명제의 정의부터 먼저 알아야 하는 것들임을 알 수 있다. |
| 정의 방식상, 집합의 원소를 대응시켜 함수를 이산적으로 정의하므로 하자가 없다. 그래프와 실선 등만을 함수 파트로 오해하는 경우가 많은데, 그건 '함수 그래프의 기하적 표현'에 불과하며, 그 자체는 함수가 아니다. 고등학교 교과서 정의에도 순서쌍만으로도 '함수 그래프'라고 할 수 있다고 나와 있다. |
| 서술에 드는 예시에 변화가 있어야 한다. 곡선으로 방정식이나 함수의 그래프 예시를 들 때엔 그 개형을 굳이 '수식'으로 표시해주지 않아야 한다. 이는 학생들이 그 예시를 갖다가 '알아야 하는 것'으로 인식하여 이해 방향의 핀트가 어긋날 확률이 높다. 함수식을 다루더라도 중학교 때 배운 이차함수나 일차함수에 관한 함수식만 다루도록 한다. |
| 정의만 제시한다. 합성함수와 역함수의 그래프 개형은 '해석 기하' 영역에서 다루며, 점과 선에 대한 대칭이동과 연계한다. |
- 대수학
- 다항식과 등식
-
다항식과 여러 가지 등식의 소개
초입에 다항식, 항등식, 방정식, 부등식을 간단히 소개해준다. 본래는 그냥 '다항식'만 언급하고 방정식, 부등식과 항등식의 차이점은 서술하지 않았었다. -
다항식의 덧셈과 뺄셈, 지수법칙, 거듭제곱, 식의 전개
원래 다항식의 나눗셈 및 [math(A=BQ+R)]꼴 나타내기는 나머지 정리쪽과 연계되는 부분이 크므로 해당 단원을 여기서 다루지 않고 다음 중단원으로 옮긴다. 곱셈공식 내용에서 나눗셈에 대해서 다루는 경우도 없으므로 하자가 생기진 않는다. 거듭제곱에 대한 서술을 추가한다. 본래는 그냥 자연수에 관한 지수법칙만 있었다. - 곱셈 항등식(곱셈공식)과 그 변형
- 인수분해
- 식의 나눗셈과 나머지 정리
- 항등식의 성질, 다항식의 나눗셈, [math(\displaystyle A=BQ+R)]꼴 나타내기, 미정계수법
- 나머지 정리
- 인수 정리
- 여러 가지 식
- 실수의 분류 이산수학·통계 중 <집합> 선행하기
- 유리식과 비례식
-
무리식
2009 개정 교육과정에서 '유리식과 무리식'을 '유리함수와 무리함수'의 하위 파트로 이동된 적이 있었는데, 본래는 대수쪽에 있던 내용이다. 단원간 연계를 강화한다고 옮긴 것이라 내비쳤는데 이 방법의 실상은 이중근호를 내치는 쪽으로 이루어진데다가 함수와의 연계성 또한 크게 유효하진 않았다. 예를 들어 [math(\displaystyle \frac{1}{f(x)})]이나 [math(\displaystyle \sqrt {f(x)})] 같은 유리식, 무리식은 단순하게 함수식으로만 볼 수 있는 것도 아니며, 아예 식을 조작해야 하는 개념으로 바뀌기도 한다. 또 이 가상 구성상 바로 앞에 언급한 인수정리를 통해 [math(\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)})] 꼴을 [math(\displaystyle k+\frac{n}{f(x)})] 꼴로 바꾸는 과정을 쉽게 이해할 수 있다. 하지만 현행 교육과정은 [math(\displaystyle \frac{1}{f(x)})]를 [math(f(x)^{-1})]와 같은 것인지도 모르는 경우까지 생길 수도 있으며, 지수와 로그 파트에서 거듭제곱근을 배울 때 더 헷갈리게만 만든다. - 절대부등식
- 산술-기하 평균 부등식
- 두 식의 대소 판단
- 허수 단위 [math(i)]와 복소수
- 복소수의 연산
- [math(i^{n})]의 계산과 켤레복소수의 성질
- 음수의 제곱근
- 여러 가지 일차방정식
- 절댓값 기호가 포함된 일차방정식
- 연립일차방정식
- 이차방정식
- 이차방정식의 대수 풀이법 (곱셈공식, 인수분해, 근의 공식 등 활용)
- 이차방정식의 판별식
- 이차방정식의 근과 계수의 관계
- 이차방정식의 실근의 부호
- 여러 가지 방정식
- 연립이차방정식, 공통근의 해
- 부정방정식
- 삼차방정식과 사차방정식
- 삼차방정식의 근과 계수의 관계
- [math(x^{3}=1)]의 허근 [math(\omega)]
- 환원 불능과 유리근 정리
- 지수
- 거듭제곱근
- 지수의 확장
-
지수 방정식과 지수 부등식
밑이 1보다 클 때 또는 밑이 0과 1 사이일 때에 대한 경우에 따라 방정식과 부등식을 푸는 건 엄밀히 '지수함수'와 관련되어 있긴 하다. 하지만 그 그래프의 개형을 따지고 관찰하는 영역과는 거리가 멀며, 해당 정리만을 내세워도 무방한 부분이다. 또 치환, 식 조작, 여러 계산 과정의 특성까지 고려하면 이 부분은 대수 영역에 편입하는 게 좀 더 마땅하다. 이렇게 떨어뜨려놓으면 해석기하 파트에서 지수함수와 로그함수를 다룰 때 좀 더 콤팩트가 살아난다.(밑의 로그방정식, 로그부등식은 이와 같은 이유로 생략) - 로그
- 로그의 정의
- 로그의 성질
- 로그 방정식과 로그 부등식
- 상용로그
- 수열
- 등차수열
- 등비수열
- 수열의 합과 기호 [math(\Sigma)]
- 수열의 귀납적 정의
- 여러가지 점화식
- 계차수열
- 군수열
- 수학적 귀납법
-
수열의 수렴과 발산
본래 수열의 극한은 미적분학이되, 고등학교 과정에서 수열이 제시되거나 일반항의 특성 등 계산 과정의 특징 등을 고려하였을 땐, 대수 파트와 밀접하다. 급수 공식에 대입하는 과정, 유리식의 정리, 분모의 유리화 등) - 수열의 극한값의 계산
- 등비수열의 수렴과 발산
- 급수의 수렴과 발산
- 등비급수의 수렴과 발산
- 등비급수의 활용
| 원래 이 사이에 '나머지 정리'라는 중단원이 있어야 하지만, 사실상 인수분해에 영향을 가하는 접점이 '인수정리를 이용한 인수분해'밖에 없을 정도로 부자연스러우므로 순서를 바꾼다. 이것 하나로 곱셈공식과 인수분해를 떨어뜨려놓기엔 무리가 많다. 차라리 '인수정리를 이용한 인수분해'를 인수정리의 활용 파트로 구성하는 것이 낫다. |
| 2009 개정 교육과정에서 '명제'의 하위 단원으로 구성하였으나 이 같은 구성 방식은 필연적인 것이 아니다. 증명을 위해 절대부등식을 다룬다기엔 그 둘의 체감 연계도가 매우 떨어진다. 애당초 산술-기하 평균 부등식은 증명을 다루는 게 아니라 정리를 다루는 것에 가깝다. 이차방정식의 최대·최소를 활용하는 문제도 몇몇 있으나 이 과정은 어차피 중학교 3학년 과정에서 이미 다룬 바 있다. 후속 과정에서 배울 수 있는 ' 복소수'에서는 부등식을 쓸 수 없다는 점을 고려하였을 때 이 구성이 좀 더 적절하다고 볼 수 있다. |
| 이차식, 유리식, 무리식을 선행하였으므로 여기에서 다루어도 하자가 없다. |
| 2009 개정 교육과정 때 이차함수와 이차방정식을 통합하여 구성하였으나, 적당히 떨어뜨려 구성해놓아야 할 부분도 많이 갈구된다. 이차방정식에만 초점을 맞추다보니 다른 고차방정식, 근과 계수와의 관계, 연립일차부등식 등 다른 방정식에 대한 접점은 고려하지 않았다. 이차함수를 깊게 다루느라 대수 파트의 본질이 산으로 갈 확률이 높으므로 다시 2007 개정 교육과정 이전처럼 그래프를 그려야 풀 수 있는 이차방정식, 이차부등식만은 해석 기하 파트에서 다룬다. 엄밀하게는 이차함수 그래프와 이차방정식의 관계이다. |
| 수열은 이산수학, 미적분학에서도 간단히 다루지만 고등학교 과정에서의 영역은 대수에 가깝다. 나열된 수열들의 수식을 정리하거나, 수열의 대수 합([math(\displaystyle S_{n})]), 수열에 관한 여러 관계식, 축차 대입, 정수 대입 등 같은 활동은 미적분학이나 이산수학의 센스 영역과는 거리가 멀다. |
- 그래프와 기하
- 좌표
-
평행이동, 두 점 사이의 거리
'도형의 이동' 중 '점의 이동' 파트에서 '대칭이동'을 나중에 다루고 '평행이동'만 우선적으로 끌고 온 구성이다. 점에 대해 다룰 거면 간단한 점끼리 먼저 관찰하는 것이 순서상 알맞기 때문.) - 선분의 내분점과 외분점
-
도형이 갖는 특수한 점의 평행 이동
원의 방정식에 관한 예시는 일단 다루지 않으며, 모두 'f(x) 또는 f(x, y)'로만 알려준 뒤 관찰 예시만 다룬다. 이후에 도형이 등장할 때마다 하위 활용 문제로 다루는 식으로 바꾼다.) - 직선의 방정식
- 두 직선의 위치 관계
- 정점을 지나는 직선
- 점과 직선 사이의 거리
- 다항함수의 기하적 그래프
- 이차함수의 그래프
- 이차방정식과 이차함수의 관계
- 이차부등식과 이차함수
- 연립이차부등식
- 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
- 이차함수의 최대와 최소
- 대칭 이동과 그 그래프
- 점의 대칭 이동
-
절댓값 기호를 포함한 식의 그래프
선대칭 함수임) -
우함수와 기함수
각각 선대칭과 점대칭임) - 합성함수와 역함수의 그래프 이산수학·통계 중 <합성함수와 역함수의 정의> 선행하기
- 유리함수·무리함수 대수 중 <유리식, 무리식> 선행하기
- 유리함수와 그 그래프
- 무리함수와 그 그래프
- 유리함수와 무리함수의 역함수 그래프
- 지수함수·로그함수 대수 중 <지수와 로그> 선행하기
- 지수함수와 그 그래프
- 로그함수와 그 그래프
-
지수함수와 로그함수의 역함수 그래프
역함수의 그래프에 대한 개론과 구성 접점이 가까워 훨씬 효율적임. 지수로그방정식과 부등식은 상기했듯이 대수 과정으로 차출) - 원의 방정식
- 원의 방정식의 표준형
- 두 원의 위치 관계
- 원과 직선의 위치 관계
- 원의 이동
- 삼각함수
- 일반각과 호도법
- 삼각함수와 그 성질
- 삼각함수의 그래프
-
삼각방정식과 부등식
풀이 과정이 대수에 주로 의존하는 '지수, 로그 방정식'과 다르게 삼각방정식은 주로 해석기하적 풀이에 의존하는 경향이 크므로 대수 파트로 분류하지 않았음.) -
삼각함수의 덧셈정리
삼각함수 항등식은 본래 곱셈공식처럼 '대수'에 관한 부분이지만 Theme에 맞춘다는 의도로 불가피하게 여기로 편입하였음.) - 배각과 반각 공식
- 삼각함수의 합성
- 삼각형과 삼각함수
- 사인 법칙
- 코사인 법칙
- 이후는 기하에서 평면 좌표의 벡터 → 이차 곡선 → 공간도형과 공간좌표 구성과 같음.
| 역함수의 그래프는 선대칭 함수임) |
| 원의 방정식의 좌표 및 길이로 삼각함수를 정의하므로 원과 삼각함수를 붙여놓았음.) |
-
미적분
내용상 겹치는 부분이 너무 많기 때문에 문과는 몰라도 이과가 '수학Ⅱ' → '미적분'식으로 진도를 나가는 게 굉장히 비효율적으로 여겨진다. 그냥 '수학Ⅱ+미적분' 버전의 한 교과서로 이원화하는 진도가 필요해보인다. 특히 도함수의 활용, 정적분의 활용 단원에서 가장 두드러진다. 예시로 드는 함수가 더 다양해질 뿐, 미분 활용에 관한 이론적인 내용은 '오목, 볼록, 변곡점, 개형' 내용 빼고 현행 수학Ⅱ와 미적분은 거의 똑같다.)
문과는 I, 이과는 II로 표시하였고, II과정기준으로 서술하였다. I에 대한 내용은 따로 주석을 달았다.) - 함수의 극한
- 우극한과 좌극한
-
함수의 극한값의 계산
분모를 유리화하고, 식을 조작하는 파트는 대수에 가깝지만 후속 내용과의 거리 좁히기 및 적절성을 고려해 미적분에 편성한다.) - 여러 가지 함수의 극한 [미적분I에선 다루지 않음]
- 지수함수와 로그함수의 극한
- 삼각함수의 극한
- 함수의 연속
- 연속함수의 성질
- 사이값 정리
- 미분법
- 미분계수
- 미분가능성과 연속성
- 도함수
- 실수배, 합, 차의 미분법
- 곱의 미분법
- 여러 가지 함수의 미분법 [미적분I에선 다루지 않음]
- 몫의 미분법
- 정수 지수 다항함수, 삼각함수의 도함수
- 합성함수의 미분법
- 지수함수와 로그함수의 도함수, 실수 지수 다항함수의 도함수
- 역함수의 미분법
- 이계도함수
- 음함수의 미분법
- 매개변수로 정의된 함수의 미분법
- 도함수의 활용
- 미분과 접선의 방정식 [미적분I에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 롤의 정리와 평균값 정리
- 미분과 함수의 증가와 감소, 극대와 극소 [미적분I에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 변곡점, 곡선의 오목과 볼록 [미적분I에선 다루지 않음]
- 함수 그래핑 [미적분I에선 다루지 않음]
- 함수의 최대와 최소 [미적분I에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 방정식과 부등식에 활용하기 [미적분I에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 속도와 가속도, 변화율 [미적분I에선 수직선만 예시로 다루고, 나에서는 평면에서의 경우도 함께 다룸.]
- 부정적분
- 부정적분의 계산
- 여러 가지 함수의 부정적분 [미적분I에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 치환적분법과 부분적분법 [미적분I에선 다루지 않음]
- 정적분
-
정적분의 정의
'미적분의 기본 정리' 대신 구분구적법을 다시 복귀시킬 것도 고려해볼 수 있음.) - 정적분의 성질 밎 계산
- 정적분의 치환적분법과 부분적분법 [미적분I에선 다루지 않음]
- 정적분으로 정의된 함수
- 정적분과 급수 대수 중 <급수> 선행하기
- 정적분의 활용
- 곡선과 좌표축 사이의 넓이 [미적분I에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 두 곡선 사이의 넓이 [미적분I에선 다항함수만 예시로 다룸]
- 입체 도형의 부피 [미적분I에선 다루지 않음]
- 속도와 거리 [미적분I에선 수직선만 예시로 다루고, 미적분II에서는 평면에서의 경우도 함께 다룸.]
- 곡선의 길이 [미적분I에선 다루지 않음]
===# 분량 확대 개편안 1: 수학 5대 영역 소폭 분량 증대안 #===
현 공통과목+선택과목 체제를 유지하되 분량을 늘린다. 다만 교과명과 단원 구성은 전반적으로 2015 개정 교육과정보다는 2009 개정 교육과정과 비슷하다.
공통과목은 수학Ⅰ[52], 수학Ⅱ[53]이다. 공통과목을 수강한 후 일반선택과목을 선택할 수 있는데, 인문계 일반선택과목은 미적분Ⅰ[54], 확률과 통계[55], 수학연습 나[56]이고 자연계 일반선택과목은 미적분Ⅰ[57], 기하와 대수[58], 확률과 통계[59], 미적분Ⅱ[60], 수학연습 가[61]이다. 그 외 진로선택과목으로 심화수학[62], 이산수학[63], 고급수학[64], 인공지능 수학[65], 경제수학[66], 실용수학[67]이 있다. 특성화고의 경우 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 실용수학을 수강한다.
수능에서 인문계는 수학Ⅱ, 미적분Ⅰ, 확률과 통계를, 자연계는 기하와 대수, 확률과 통계, 미적분Ⅱ를 응시한다.
상위 과정에서 내려온 내용: 주황색
과거 교육과정에 있었으나 삭제되었다가 재포함되는 내용: 빨간색
이 개편안에 최초로 포함되는 내용: 갈색
수학Ⅰ
고등학교 1학년 1학기, 공통과목
- Ⅰ. 집합과 명제
- 1. 집합
- 01. 집합
- 02. 집합의 연산: 대칭차집합
- 03. 집합족과 멱집합
- 04. 순서쌍과 곱집합
- 2. 명제
- 01. 명제: 전칭기호와 존재기호
- 02. 논리연산
- 03. 필요조건과 충분조건
- 04. 논리적 동치
- 05. 증명법: 귀류법
- 3. 이항연산과 수 체계
- 01. 이항연산: 이항연산, 항등원, 역원, 멱등원, 닫혀있다
- 02. 수 체계
- 03. 복소수의 뜻
- 04. 복소수의 연산
| 집합, 명제, 이항연산과 수체계를 다룬다. 집합은 중학교 과정에서 기초적인 부분을 먼저 배우고 온다. 집합에서는 멱집합, 곱집합을 추가하며, 명제에서는 이, 논리연산, 논리적 동치를 추가하여 집합, 논리 관련 내용을 강화한다. 과거 삭제되었던 이항연산을 다시 추가한다. 수 체계에서는 자연수 집합, 정수 집합, 유비수[68] 집합, 무비수[69] 집합, 실수 집합, 복소수 집합을 나타내는 기호를 추가한다. |
- Ⅱ. 다항식
- 1. 다항식의 연산과 곱셈공식
- 01. 다항식의 연산: 실수배, 합, 차, 곱, 몫
- 02. 곱셈공식
- 2. 다항식의 나머지정리와 인수분해
- 01. 항등식
- 02. 다항식의 나머지정리
- 03. 인수정리와 조립제법
- 04. 인수분해
- Ⅲ. 방정식과 부등식
- 1. 이차방정식과 이차함수
- 01. 이차방정식의 근과 판별식
- 02. 이차방정식의 근과 계수의 관계
- 03. 이차방정식과 이차함수
- 04. 이차함수와 직선의 관계
- 05. 이차함수의 활용
- 2. 여러가지 방정식
- 01. 고차방정식
- 02. 고차방정식의 여러가지 해법: 상반방정식, 삼차방정식의 근과 계수의 관계, 허근 ω, 환원 불능, 유리근 정리
- 03. 연립방정식: 연립이차방정식, 삼원연립일차방정식
- 3. 여러가지 부등식
- 01. 부등식의 성질
- 02. 일차부등식: 절댓값을 포함한 일차부등식
- 03. 이차부등식
- 04. 이차부등식과 이차함수
- 05. 고차부등식
- 4. 절대부등식
- 01. 절대부등식
- 02. 평균부등식: 조화 평균
- 03. 코시-슈바르츠 부등식
| 삼원연립일차방정식, 고차부등식을 추가한다. 절대부등식에서는 조화 평균과 코시-슈바르츠 부등식을 추가한다. |
- Ⅳ. 도형의 방정식
- 1. 평면좌표
- 01. 두 점 사이의 거리
- 02. 선분의 내분점과 외분점
- 2. 직선의 방정식
- 01. 직선의 방정식
- 02. 두 직선의 위치 관계
- 03. 점과 직선 사이의 거리
- 3. 원의 방정식
- 01. 원의 방정식
- 02. 원과 직선의 위치 관계
- 03. 원의 접선의 방정식
- 4. 평행이동과 대칭이동
- 01. 평행이동
- 02. 대칭이동
- 5. 부등식의 영역
- 01. 부등식의 영역
- 02. 부등식의 영역의 활용
| 부등식의 영역을 다시 추가한다. |
수학Ⅱ
고등학교 1학년 2학기, 공통과목
- Ⅰ. 여러가지 함수
- 1. 함수의 뜻
- 01. 함수
- 02. 전사함수와 단사함수[70]: 전단사함수[71]
- 03. 여러가지 함수: 항등함수, 상수함수, 판별함수, 부호함수
- 04. 합성함수: 멱등함수, 최대 정수 함수
- 05. 역함수
- 2. 함수의 그래프
- 01. 증가와 감소
- 02. 극대와 극소: 극값, 극점. 최대·최소와의 관계 서술.
- 03. 오목과 볼록: 변곡점
- 04. 그래프의 대칭성과 주기성: 원점대칭과 y축 대칭, 홀함수[72]와 짝함수[73], 절댓값을 포함한 식의 그래프, 역함수의 그래프[74], 점대칭, 선대칭, 주기함수
- 3. 분수식과 분수함수
- 01. 분수식: 유비식, 부분분수분해, 번분수식, 분수식의 덧셈정리[75], 헤비사이드 가리기법
- 02. 분수함수: 점근선
- 03. 분수방정식과 분수부등식: 무연근
- 4. 무비식과 무비함수
- 01. 무비식: 대수식, 분모의 유비화, 이중근호가 포함된 식
- 02. 무비함수: 대수함수
- 03. 무비방정식과 무비부등식
| 항등함수, 상수함수 외에도 판별함수, 부호함수, 멱등함수를 다룬다. 함수의 증감, 극값, 오목과 볼록은 미분가능과 별 관련이 없음에도 미분 단원에서 다루고 있어 미분가능해야만 증감, 극값, 오목, 볼록을 정의할 수 있는 것으로 아는 학생들이 많다. 이를 방지하기 위해 이 단원에서 다룬다. 또한 대칭성과 주기성은 교과서 어디에도 따로 언급이 없음에도 문제를 풀 때 필수적으로 필요한 내용이므로 정식 교과에 추가한다. 유리수, 무리수를 각각 유비수, 무비수로 개칭한다. 이에 따라 유리함수와 무리함수도 유비함수, 무비함수로 개칭한다. 그런데 유비함수라 하면 다항함수도 포함하므로, 좀 더 명확하게 하기 위해 분수함수로 제한한다. 이 단원에서는 현 지수함수와 로그함수 단원과 비슷하게 식의 연산, 함수, 방정식과 부등식을 함께 다룬다. 또 다항식, 분수식, 무비식을 모두 아울러 대수식이라는 표현을 다룬다. 함수도 마찬가지로 대수함수, 방정식도 대수방정식이라는 표현을 다룬다. |
- Ⅱ. 지수함수와 로그함수
- 1. 지수식과 지수함수
- 01. 거듭제곱과 거듭제곱근
- 02. 지수의 확장
- 03. 지수함수
- 04. 지수방정식과 지수부등식
- 2. 로그식과 로그함수
- 01. 로그
- 02. 로그의 성질
- 03. 상용로그
- 04. 로그함수: 지수함수와 로그함수의 관계
- 05. 로그방정식과 로그부등식
- Ⅲ. 삼각함수
- 1. 삼각함수 (Ⅰ)
- 01. 일반각
- 02. 호도법
- 03. 삼각함수의 뜻
- 04. 삼각함수의 그래프
- 05. 삼각방정식과 삼각부등식의 특수해
- 2. 삼각함수와 도형
- 01. 사인 법칙
- 02. 코사인 법칙
- 03. 삼각형의 넓이: 헤론 공식
- 04. 사각형의 넓이: 브라마굽타 공식
| 삼각함수를 단위원에서 정의한다. 삼각함수와 도형에서는 헤론 공식, 브라마굽타 공식도 추가한다. |
- Ⅳ. 수열
- 1. 등차수열과 등비수열
- 01. 수열
- 02. 등차수열
- 03. 등차수열의 합과 활용
- 04. 조화수열
- 05. 등비수열
- 06. 등비수열의 합과 활용
- 2. 수열의 합
- 01. 수열의 합의 뜻과 성질
- 02. 여러가지 수열의 합: 자연수의 거듭제곱의 합, 홀수의 합
- 3. 점화식과 수학적 귀납법
- 01. 수열의 귀납적 정의와 점화식: 여러가지 점화식
- 02. 여러가지 수열: 계차수열, 군수열, 삼각수, 피보나치 수열
- 03. 수학적 귀납법
| 조화수열, 계차수열, 군수열 등을 다시 추가한다. |
미적분Ⅰ
고등학교 2학년 1학기, 일반선택과목, 문·이과 공통
- Ⅰ. 수열의 극한
- 1. 수열의 극한
- 01. 수열의 수렴과 발산
- 02. 수열의 극한값의 계산
- 03. 등비수열의 극한
- 2. 급수
- 01. 급수의 수렴과 발산: 일반항 판정법
- 02. 등비급수
- 03. 등비급수의 활용
- Ⅱ. 함수의 극한과 연속
- 1. 함수의 극한
- 01. 함수의 수렴과 발산
- 02. 함수의 극한값의 계산: 샌드위치 정리
- 03. 함수의 극한의 활용
- 2. 함수의 연속
- 01. 함수의 연속
- 02. 연속함수의 성질
- 03. 최대·최소 정리와 사잇값 정리
- Ⅲ. 미분법
- 1. 미분계수와 도함수
- 01. 미분계수: 미분가능성과 연속성
- 02. 도함수
- 03. 이계도함수
- 04. 합, 차, 실수배의 미분법
- 05. 곱의 미분법
- 2. 미분법과 함수의 그래프
- 01. 접선의 방정식
- 02. 평균값 정리
- 03. 함수의 증감과 극값
- 04. 함수의 오목과 볼록: 변곡점, 변곡접선
- 05. 함수의 그래프: 삼차함수와 사차함수의 대칭성과 비율관계
- 06. 함수의 최대와 최소
- 3. 도함수의 활용
- 01. 방정식과 부등식에의 활용
- 02. 속도와 가속도
- 03. 도함수와 여러가지 변화율
| 이계도함수와 변곡점을 추가해 삼차함수와 사차함수의 비율관계를 다룰 수 있게 되었다. 분량은 늘었지만 계산량이 줄어든다는 점에서 오히려 학습부담은 더 줄어드는 효과를 기대할 수 있다. |
- Ⅳ. 적분법
- 1. 부정적분
- 01. 부정적분
- 02. 부정적분의 계산
- 2. 정적분
- 01. 구분구적법
- 02. 정적분
- 03. 정적분의 계산
- 3. 정적분의 활용
- 01. 정적분과 급수
- 02. 넓이: 이차함수의 넓이 공식, 삼차함수의 넓이 공식
- 03. 함수의 그래프와 정적분: 대칭성과 정적분, 주기성과 정적분
- 04. 속도와 거리
| 넓이 공식을 추가한다. 분량은 늘었지만 계산량이 줄어든다는 점에서 오히려 학습부담은 더 줄어드는 효과를 기대할 수 있다. 또 점대칭함수, 선대칭함수, 주기함수의 정적분에 관한 특징을 추가한다. |
기하와 대수
고등학교 2학년 1학기, 일반선택과목, 이과 전용
- Ⅰ. 평면기하
- 1. 삼각형의 성질
- 01. 스튜어트 정리와 판아우벌 정리
- 02. 메넬라오스 정리
- 03. 체바 정리와 젤곤 정리
- 04. 수심
- 05. 방심
- 06. 오일러 직선과 구점원
- 2. 이차곡선
- 01. 타원의 뜻과 방정식
- 02. 포물선의 뜻과 방정식
- 03. 쌍곡선의 뜻과 방정식
- 04. 이차곡선와 직선의 위치 관계
- 05. 이차곡선의 접선의 방정식
- 06. 이차곡선과 부등식의 영역
| 수심, 방심과 삼각형의 여러가지 정리를 추가한다. |
- Ⅱ. 공간기하
- 1. 공간도형
- 01. 공간도형의 위치 관계
- 02. 삼수선 정리
- 03. 정사영
- 04. 오일러 다면체 정리
- 2. 공간직교좌표계
- 01. 공간직교좌표계
- 02. 두 점 사이의 거리
- 03. 선분의 내분점과 외분점
- 04. 구의 방정식
- Ⅲ. 벡터와 기하
- Ⅳ. 행렬과 선형변환
- 1. 행렬과 행렬식
- 01. 행렬의 뜻
- 02. 행렬의 연산
- 03. 역행렬과 행렬식
- 04. 연립일차방정식과 행렬: 가우스 소거법
- 2. 선형변환
- 01. 선형변환과 행렬
- 02. 여러가지 선형변환: 대칭변환, 닮음변환, 회전변환
- 03. 합성변환
- 04. 역변환
- 05. 선형변환과 도형
- 3. 고윳값과 행렬의 거듭제곱
- 01. 고윳값과 고유벡터
- 02. 특성다항식
- 03. 행렬의 대각화
- 04. 행렬의 거듭제곱과 케일리-해밀턴 공식
확률과 통계
고등학교 2학년 2학기, 일반선택과목, 문·이과 공통
- Ⅰ. 경우의 수
- 1. 경우의 수
- 01. 시행과 사건: 전사건, 공사건, 합사건, 곱사건
- 02. 합의 법칙
- 03. 곱의 법칙과 수형도
- 04. 포함·배제의 원리: 부분집합의 개수
- 05. 비둘기집의 원리
- 2. 순열
- 01. 순열
- 02. 원순열: 목걸이 순열
- 03. 중복순열
- 04. 같은 것이 있는 순열
- 3. 조합
- 01. 조합
- 02. 중복조합: 상승 계승
- 03. 집합의 분할과 분배
- 04. 함수의 개수: 순열과 조합의 내용을 종합적으로 다룬다.
- 4. 이항정리
- 01. 이항정리: 1학년의 꿈
- 02. 이항계수의 성질: 이항계수와 미분
| 시행과 사건을 확률에서 경우의 수 단원으로 옮긴다. 또 포함·배제의 원리를 추가해 집합의 부분집합 개수세기 등에 활용한다. 교과 편제상 미적분Ⅰ을 배운 후 수강하기 때문에, 미분과 관련된 이항계수의 성질을 추가할 수 있게 되었다. |
- Ⅱ. 확률
- 1. 여러가지 확률
- 01. 수학적 확률
- 02. 통계적 확률
- 03. 확률의 기본 성질
- 04. 확률의 덧셈정리
- 2. 조건부 확률과 베이즈 정리
- 01. 조건부 확률
- 02. 확률의 곱셈정리
- 03. 전확률 정리
- 04. 베이즈 정리: 역확률, 몬티홀 문제
- 3. 사건의 독립과 종속
- 01. 사건의 독립과 종속
- 02. 독립시행의 확률
| 전확률 정리와 베이즈 정리를 추가한다. |
- Ⅲ. 확률변수와 확률분포
- 1. 이산확률변수와 이산확률분포
- 01. 이산확률변수와 이산확률분포: 이산균등분포
- 02. 이산확률변수의 기댓값과 표준편차
- 03. 이항분포
- 04. 기하분포와 음이항분포
- 05. 초기하분포
- 2. 연속확률변수와 연속확률분포
- 01. 연속확률변수와 연속확률분포: 연속균등분포, 연속확률분포와 정적분
- 02. 정규분포
- 03. 정규분포의 표준화
| 여러가지 확률분포를 추가한다. 교과 편제상 미적분Ⅰ을 배운 후 수강하기 때문에, 정적분과 연속확률분포의 관계에 대한 내용을 추가할 수 있게 되었다. |
- Ⅳ. 통계
- 1. 통계적 추정
- 01. 모집단과 표본
- 02. 모평균의 추정
- 03. 모비율의 추정
- 2. 통계적 분석
- 01. 분산 분석
- 02. 회귀 분석
| 분산 분석과 회귀 분석을 추가한다. |
미적분Ⅱ
고등학교 2학년 2학기, 일반선택과목, 이과 전용
- Ⅰ. 삼각함수와 복소평면
- 1. 삼각함수 (Ⅱ)
- 01. 삼각함수의 역수: 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트함수의 그래프
- 02. 삼각함수의 덧셈정리: 배각 공식, 반각 공식
- 03. 삼각함수의 여러가지 공식: 삼각함수의 합성, 삼각함수의 합차공식
- 04. 삼각방정식과 삼각부등식의 일반해
- 2. 역삼각함수
- 01. 역삼각함수: 역사인함수, 역코사인함수, 역탄젠트함수, 역코시컨트함수, 역시컨트함수, 역코탄젠트함수
- 02. 역삼각함수의 그래프
- 03. 역삼각함수의 성질: 삼각함수와 역삼각함수의 합성과 관련된 공식
- 3. 복소평면
- 01. 복소평면
- 02. 복소수의 극형식
- 03. 드 무와브르 정리
| 삼각함수의 여러가지 공식과 삼각방정식과 삼각부등식의 일반해, 삼각함수의 역함수, 복소평면을 추가한다. |
- Ⅱ. 여러가지 함수의 극한과 도함수
- 1. 로피탈 정리
- 01. 코시 평균값 정리
- 02. 로피탈 정리
- 2. 여러가지 함수의 극한과 도함수
- 01. 지수함수와 로그함수의 극한: 자연로그, 소수 정리, 오일러-마스케로니 상수
- 02. 지수함수와 로그함수의 도함수
- 03. 삼각함수의 극한
- 04. 삼각함수의 도함수
| 코시 평균값 정리를 추가해 이를 활용하여 로피탈 정리를 증명한다. |
- Ⅲ. 미분법
- 1. 여러가지 미분법
- 01. 몫의 미분법
- 02. 합성함수의 미분법: 로그미분법, 무비함수의 미분법
- 03. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법
- 04. 숨은함수[79]의 미분법
- 05. 역함수의 미분법: 역삼각함수의 미분법
- 06. 고계도함수
- 2. 미분법과 함수의 그래프
- 01. 접선의 방정식
- 02. 함수의 그래프
- 03. 함수의 최대와 최소
- 3. 도함수의 활용
- 01. 방정식과 부등식에의 활용
- 02. 속도와 가속도: 평면운동
- 03. 도함수와 여러가지 변화율
| 로그미분법을 다시 추가한다. 로그미분법은 일반적인 로그함수의 미분법과는 다른 것이며 합성함수의 미분법의 활용에 속한다. |
- Ⅳ. 적분법
- 1. 여러가지 적분법
- 01. 여러가지 함수의 부정적분
- 02. 치환적분법: 삼각치환
- 03. 부분적분법: 도표적분
- 04. 정적분의 치환적분법과 부분적분법
- 2. 정적분의 활용
- 01. 넓이
- 02. 부피
- 03. 속도와 거리
- 04. 회전체의 겉넓이와 부피
- 05. 질량중심과 모멘트
| 삼각치환을 추가한다. 여러번 부분적분을 하는 상황에서 계산을 쉽게 하기 위해 도표적분(Tabular Integration)을 추가하였다. |
이산수학
고등학교 3학년 1학기, 진로선택과목
- Ⅰ. 집합
- 1. 관계와 함수
- 2. 집합의 크기와 기수
- 3. 집합의 순서와 서수
- Ⅱ. 정수의 성질
- 1. 나눗셈 정리와 정수의 성질
- 01. 나누어 떨어짐과 나눗셈 정리
- 02. 최대공약수와 최소공배수의 성질: [math(\text{lcm}\left(a,b\right))], [math(\text{gcm}\left(a,b\right))]
- 03. 유클리드 호제법: 연분수
- 04. 약수의 성질: 약수의 개수, 약수의 합, 약수의 곱
- 05. 진법 변환
- 2. 합동식과 부정방정식
- 01. 합동식의 뜻: 합동, 합동식, 법
- 02. 합동식의 성질
- 03. 일차합동식의 풀이
- 04. 베주 항등식
- 05. 부정방정식
- 3. 정수론의 여러가지 정리
- 01. 중국인의 나머지 정리
- 02. 오일러 정리: 오일러 피 함수
- 03. 윌슨 정리
- 04. 페르마 소정리
- Ⅲ. 그래프
- 1. 그래프의 뜻
- 01. 그래프의 뜻: 그래프, 꼭짓점, 변, 차수, 인접, 경로, 회로
- 02. 그래프의 성질: 차수
- 03. 인접행렬: 인접행렬
- 2. 여러가지 그래프
- 01. 수형도와 생성수형도: 수형도, 생성수형도
- 02. 평면그래프
- 03. 오일러 그래프와 해밀턴 그래프: 오일러 그래프, 쾨니히스베르크의 다리 문제, 한붓그리기, 해밀턴 그래프
- 04. 채색수와 채색다항식: 채색수, 채색다항식
- 05. 최단경로
심화수학
- Ⅰ. 급수
- 1. 단조수렴정리와 급수의 판정법
- 01. 단조수렴정리: 상계, 하계, 유계, 최소상계, 최대하계
- 02. 적분판정법: p-급수 판정법, 적분판정법
- 03. 비교판정법: 비교판정법, 극한비교판정법
- 04. 비판정법과 근판정법: 비판정법, 근판정법
- 05. 교대급수 판정법
- 06. 조건수렴과 절대수렴: 재배열급수
- 2. 멱급수와 테일러급수
- 01. 멱급수의 뜻과 수렴반경
- 02. 멱급수의 기본정리
- 03. 테일러급수
- 04. 여러가지 테일러급수와 그 활용
- 05. 오일러 공식
- Ⅱ. 여러가지 좌표계
- 1. 극좌표계
- 01. 극좌표계
- 02. 극좌표계와 직교좌표계의 변환
- 03. 직선과 원의 극방정식
- 04. 이차곡선의 극방정식: 이심률
- 05. 여러가지 극방정식: 아르키메데스 나선, 로그 나선, 장미 나선, 달팽이 곡선
- 2. 원통좌표계와 구면좌표계
- 01. 원통좌표계
- 02. 구면좌표계
- 03. 입체각과 스테라디안
-
04. 여러가지 좌표계간의 변환
- Ⅲ. 미적분의 활용
- 1. 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수
- 01. 쌍곡선함수의 뜻
- 02. 쌍곡선함수의 그래프
- 03. 역쌍곡선함수의 뜻과 그래프
- 04. 쌍곡선함수과 역쌍곡선함수의 미분법
- 05. 쌍곡선함수과 역쌍곡선함수의 적분법
- 2. 미분의 활용
- 01. 뉴턴의 방법
- 02. 극방정식의 접선과 교각
- 3. 적분의 활용
- 01. 치환적분법과 부분적분법: [math(x^n\ln x)], [math(x^n\sin x)], [math(x^n\cos x)]의 적분
- 02. 이상적분
- 03. 극방정식으로 이루어진 곡선의 길이
- 04. 극방정식으로 이루어진 영역의 넓이
- 4. 미분방정식
- 01. 미분방정식의 해와 방향장
- 02. 오일러 방법
- 03. 변수분리형 미분방정식
- 04. 선형 미분방정식
===# 분량 확대 개편안 2: 미적분학과 기하학 강화 개편안 #===
(사실상) 중학교 때부터 시작하는 수학을 현재보다 한 학년씩 앞당겨서 배우고, 고등학교 3학년 때는 지금보다 많은 분량을 학습하게 하는 개편안이다. 아마 실제 개편을 할 때도 이 정도가 분량 추가의 마지노선일 것이다.
삭제 및 격하한 부분은
다만 이대로 되면 기초 미적분이 공통과목(수학(하))에 들어오는 대참사가 발생한다. 이게 문제가 되는 이유는 바로 고졸 검정고시. 안 그래도 미적분은 중등교육의 최종보스 같은 존재고, 현역들 여기서 수포자가 되고는 하는데, 아예 어린이나 어르신들이 고졸 학력을 따려면 다항함수의 미적분을 익혀야 된다. 따라서 고졸 검정고시에서는 출제 범위에서 6, 7단원(미분, 적분)을 제외하거나, 최소한 6, 7단원에서는 기본적인 개념만 묻도록 조치할 필요가 있다.
중학교 1학년 I. 정수와 유리수
- 정수와 유리수
- 유리수와 순환소수
II. 문자와 식
- 문자와 식
- 일차방정식
- 일차부등식
- 연립방정식
III. 함수
- 정비례와 반비례
- 함수
- 일차함수와 그 활용
- 평면도형
- 삼각형의 성질
- 사각형의 성질
- 도형의 닮음
V. 입체도형
- 입체도형
- 입체도형의 겉넓이와 부피
VI. 통계
- 도수분포표
중학교 2학년
I. 실수와 그 계산
- 무리수와 실수
II. 식의 계산
- 다항식의 전개
- 곱셈 공식과 활용
- 다항식의 인수분해
-
인수분해 공식과 활용
- 이차방정식
- 연립일차부등식
-
방정식과 부등식의 활용
- 이차함수
- 이차함수의 활용
V. 삼각비
- 피타고라스 정리
- 삼각비
- 삼각비의 활용
VI. 원의 성질
- 원과 접선
- 원주각
수학(고1)
I. 지수함수와 로그함수 - 2015 개정 교육과정의 수학I과 동일하게 구성.
II. 삼각함수 - 2015 개정 교육과정의 수학I과 동일하게 구성.
III. 수열 - 2015 개정 교육과정의 수학I과 동일하게 구성.
IV. 수열의 극한 - 2015 개정 교육과정의 미적분과 동일하게 구성.
V. 함수의 극한과 연속 - 2015 개정 교육과정의 수학II과 동일하게 구성.
VI. 미분 - 2015 개정 교육과정의 수학II과 동일하게 구성.
VII. 적분 - 2015 개정 교육과정의 수학II과 동일하게 구성.
미적분I
I. 미분법 - 2015 개정 교육과정의 미적분과 동일하게 구성.
II. 적분법 - 2015 개정 교육과정의 미적분과 동일하게 구성.
III 복소수와 극형식 - 6차 교육과정 당시 교육과정으로 구성, 행렬 및 극좌표와의 연계는 다루지 않는다.
미적분II
I. 수열의 수렴과 발산
- 적분판정법과 합의 추정
- 비교판정법
- 교대급수와 교대급수판정법
- 절대수렴
- 수열의 비 판정법과 근 판정법
- 멱급수
- 함수의 멱급수 표현
- 테일러 급수와 매클로린 급수 [85]
II. 여러 가지 미분법
- 엡실론-델타 논법
- 역삼각함수
- 쌍곡선함수
- 선형 근사와 미분
- 로피탈의 정리
- 뉴턴-랩슨 방법
- 로그미분법
III. 여러 가지 적분법
- 역삼각함수와 쌍곡선함수의 원시함수
- 삼각치환법
- 쌍곡치환법
- 유리함수의 적분법
- 이상적분
- 회전체의 겉넓이와 부피
- 정적분의 근삿값[86]
IV. 다변수함수
- 다변수함수
- 등위곡선
- 이변수함수의 극한과 연속성 [87]
- 편도함수
- 접평면과 선형근사
-
연쇄법칙과 전미분
단, 델을 비롯한 방향도함수 및 기울기 벡터, 다변수함수의 최대/최소, 라그랑주 승수, 삼변수함수 이상의 함수, 이중적분 및 그 활용 등은 다루지 않는다.[88]
기하와 벡터
I. 행렬과 일차변환
- 행렬과 그 연산
- 역행렬과 연립일차방정식
- 일차변환[89]
II. 이차곡선
- 매개곡선과 극좌표
- 극좌표에서 넓이와 길이
- 이차곡선
- 이차곡선의 접선의 방정식 [90]
- 이심률
- 극좌표에서 이차곡선
III. 평면벡터
- 벡터의 정의
- 위치벡터
- 벡터의 연산
- 벡터의 내적
- 벡터의 연산의 활용(원의 방정식 등)
IV. 공간벡터
- 3차원 공간에서의 기본 정리
- 삼수선의 정리
- 이면각과 정사영
- 공간좌표와 구의 방정식
- 벡터의 외적
- 직선과 평면의 방정식
- 공간벡터의 내적
- 주면과 이차곡선 [91]
이차곡면에서의 접평면, 벡터함수, 곡률 등은 다루지 않는다.
===# 분량 확대 개편안 3: 분량을 대폭 늘리는 개편안 #===
계열은 인문계/상경계/이공계로 나누었다. 심화수학 2개와 고급수학 2개는 고급수학으로 합치고 편제를 처음부터 다시 했으며(기존 고급수학1,2를 참고하긴 했다) 과학고 전용 교과로 편성하여 과학고의 경쟁력을 강화하고자 했다. 실용수학을 이산수학 위주의 실용성있는 과목으로 재편하여 5, 6차 교육과정의 이상을 따르면서도 동시에 미래지향적이고 학문과 학생 중심의 교육과정을 편제하고자 했다. 이외에 인공지능 수학, 정보 수학, 경제 수학, 미적분 심화, 기하와 대수 심화[92], 정수론 심화, 이산수학 심화, 통계 심화 등의 진로선택과목들의 경우 고급수학의 내용과 교육과정에서 일부 중복되는 내용에 +알파의 심화 내용으로 구성한다.
대학수학능력시험의 경우 문과의 출제 범위는 수1, 확률과 통계이며 상경계는 수1, 수2, 확률과 통계이고 이과는 수1, 수2, 미적분, 확률과 통계, 기하이다.
이 개편안에 최초로 포함되는 내용: 갈색
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1. 수학I(고등학교 1학년 공통과정)
1. 집합과 명제
(1) 집합
* 집합의 연산: 대칭차집합(사실상의 암묵지로 용어만 소개)
* 집합족과 멱집합
* 순서쌍과 곱집합
* 해집합
* 포함과 배제의 원리
* 유한집합, 무한집합
* 유한집합을 합집합으로 나타내기
(2) 명제* 집합족과 멱집합
* 순서쌍과 곱집합
* 해집합
* 포함과 배제의 원리
* 유한집합, 무한집합
* 유한집합을 합집합으로 나타내기
* 명제의 뜻과 정의
* 필요조건과 충분조건
* 명제의 이, 역, 대우
* 명제의 합성, 조건문, 쌍조건문
* 귀류법
(3) 이항연산과 수 체계* 필요조건과 충분조건
* 명제의 이, 역, 대우
* 명제의 합성, 조건문, 쌍조건문
* 귀류법
* 이항연산: 이항연산, 항등원, 역원, 멱등원, 닫혀있다
* 실수와 체계
(4) 논리연산* 실수와 체계
* 이진법, 십진법
* 오차, 오차의 한계, 참값, 근삿값, 절대오차, 상대오차, 근삿값의 계산
* 오차, 오차의 한계, 참값, 근삿값, 절대오차, 상대오차, 근삿값의 계산
* 연결사와 진릿값, 진리표
* 논리연산
* 논리적 동치
* 논리연산
* 논리적 동치
2. 다항식과 등식
(1) 다항식의 덧셈과 뺄셈, 거듭제곱, 식의 전개
3. 방정식과 부등식
* 곱셈 항등식(곱셈공식)과 그 변형
* 인수분해
* 다항식의 약수와 배수
* 기약다항식
(2) 식의 나눗셈과 나머지 정리* 인수분해
* 다항식의 약수와 배수
* 기약다항식
* 항등식의 성질, 다항식의 나눗셈, [math(\displaystyle A=BQ+R)]꼴 나타내기, 미정계수법
* 나머지 정리
* 인수 정리
(3) 중복조합과 이항정리* 나머지 정리
* 인수 정리
* 중복조합: 상승 계승
* 이항정리: 5.16.2문단의 두번째 논거에 의거함
* 이항정리: 5.16.2문단의 두번째 논거에 의거함
* 1학년의 꿈(명시지로 다루지는 말고 주의사항으로 다루기)
(1) 여러가지 식
4. 여러가지 함수와 그래프
* 유리식과 무리식
(2) 지수와 로그
* 부분분수분해, 유리식의 덧셈법칙(가비의 리), 헤비사이드 가리기법
* 이중근호
* 두 식의 대소 판단
* 이중근호
* 지수
* 로그
(3) 허수 단위 [math(i)]와 복소수* 로그
* 허수단위 [math(i)]와 복소수의 정의
* 복소수의 연산
* 켤레복소수
* 실수부, 허수부와 그 성질
* 가우스 정수와 복소수와 최대 정수함수의 관계
(4) 이차방정식* 복소수의 연산
* 켤레복소수
* 실수부, 허수부와 그 성질
* 가우스 정수와 복소수와 최대 정수함수의 관계
* 이차방정식의 풀이와 근의 판별
* 근과 계수의 관계
* 켤레근과 실근의 부호
* 연립이차방정식과 공통근의 해
(5) 여러 가지 방정식과 부등식* 근과 계수의 관계
* 켤레근과 실근의 부호
* 연립이차방정식과 공통근의 해
* 부정방정식과 디오판토스 방정식
* 고차방정식과 여러가지 해법: 상반방정식, 삼차방정식의 근과 계수의 관계, 환원 불능, 유리근 정리
* 고차부등식
* 연립방정식: 삼원일차연립방정식, 이원이차연립방정식
* 분수방정식과 무리방정식
* 분수부등식과 무리부등식
* 지수방정식과 부등식
* 로그방정식과 부등식
(6) 절대부등식* 고차방정식과 여러가지 해법: 상반방정식, 삼차방정식의 근과 계수의 관계, 환원 불능, 유리근 정리
* 고차부등식
* 연립방정식: 삼원일차연립방정식, 이원이차연립방정식
* 분수방정식과 무리방정식
* 분수부등식과 무리부등식
* 지수방정식과 부등식
* 로그방정식과 부등식
* 산술평균, 기하평균, 조화평균, 코시-슈바르츠 부등식, 제곱평균
함수의 정의는 순열과 조합의 기초 내용, 집합 기초 내용과 함께 중학교로 내려보내고 고등학교 과정에 서술하지 않는다.
(1) 함수의 그래프의 성질
* 증가와 감소
* 극대와 극소: 극값, 극점. 최대·최소와의 관계 서술.
* 오목과 볼록: 변곡점
* 그래프의 대칭성: 원점대칭과 y축 대칭, 홀함수와 짝함수, 절댓값을 포함한 식의 그래프
* 그래프의 주기성
* 제곱비례, 제곱근비례, 복비례의 그래프
(2) 이차함수* 극대와 극소: 극값, 극점. 최대·최소와의 관계 서술.
* 오목과 볼록: 변곡점
* 그래프의 대칭성: 원점대칭과 y축 대칭, 홀함수와 짝함수, 절댓값을 포함한 식의 그래프
* 그래프의 주기성
* 제곱비례, 제곱근비례, 복비례의 그래프
* 이차함수의 그래프와 이차방정식의 관계
* 이차함수 그래프의 성질
* 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
* 이차함수의 실근의 위치와 최대·최소
(3) 여러가지 함수* 이차함수 그래프의 성질
* 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
* 이차함수의 실근의 위치와 최대·최소
* 유리함수·무리함수
* 지수함수·로그함수, 자연지수함수, 자연로그함수
* 함수의 절댓값과 부호함수, 헤비사이드 계단 함수
* 지수함수·로그함수, 자연지수함수, 자연로그함수
* 함수의 절댓값과 부호함수, 헤비사이드 계단 함수
5. 삼각함수
(1) 삼각함수
6. 평면좌표와 이차곡선
* 일반각과 호도법
* 삼각함수의 정의와 그래프
* 삼각함수의 성질
* 삼각함수의 합성
* 삼각방정식과 삼각부등식의 특수해
(2) 삼각함수의 도형 활용* 삼각함수의 정의와 그래프
* 삼각함수의 성질
* 삼각함수의 합성
* 삼각방정식과 삼각부등식의 특수해
* 사인법칙과 코사인법칙
* 삼각형과 사각형의 넓이 공식
* 다각형의 넓이 공식(브라마굽타 공식)
(3) 역삼각함수
* 삼각형과 사각형의 넓이 공식
* 다각형의 넓이 공식(브라마굽타 공식)
(1) 평면좌표와 도형의 방정식
7. 벡터와 행렬
* 평면좌표 위의 직선: 직선의 방정식, 점과 직선 사이의 거리 등을 다룬다.
* 원의 방정식
* 부등식의 영역: 선형계획법 등을 다룬다.
(2) 이차곡선* 원의 방정식
* 부등식의 영역: 선형계획법 등을 다룬다.
* 이차곡선의 뜻과 정의
* 타원, 포물선, 쌍곡선의 정의
* 타원, 포물선, 쌍곡선의 방정식
* 이차곡선의 여러가지 성질: 타원문서의 2.4문단에 있는 성질 중 몇개, 포물선과 이차함수, 쌍곡선과 반비례 관계
* 이차곡선와 직선의 위치 관계
* 타원, 포물선, 쌍곡선의 정의
* 타원, 포물선, 쌍곡선의 방정식
* 이차곡선의 여러가지 성질: 타원문서의 2.4문단에 있는 성질 중 몇개, 포물선과 이차함수, 쌍곡선과 반비례 관계
* 이차곡선와 직선의 위치 관계
(1) 평면벡터
* 평면벡터의 뜻 연산
* 위치벡터와 벡터의 성분
* 평면벡터의 내적
* 평면벡터로 나타낸 직선과 원의 방정식
(2) {{{#FF0000 공간벡터* 위치벡터와 벡터의 성분
* 평면벡터의 내적
* 평면벡터로 나타낸 직선과 원의 방정식
* 공간직교좌표계
* 공간벡터의 뜻과 정의
* 공간벡터의 기하적 성질: 중점, 내(외)분점, 삼각형 무게중심 등등
* 공간벡터의 내적}}}
(3) {{{#FF0000 행렬과 연립일차방정식* 공간벡터의 뜻과 정의
* 공간벡터의 기하적 성질: 중점, 내(외)분점, 삼각형 무게중심 등등
* 공간벡터의 내적}}}
* 행렬의 뜻과 요소, 영행렬
* 행렬의 곱셈
* 2차, 3차 정사각행렬
* 케일리-해밀턴 정리[94]
* 역행렬}}}
* 전치행렬과 대칭행렬
* 연립일차방정식: 크래머의 공식, 가우스 소거법
* 행렬의 곱셈
* 2차, 3차 정사각행렬
* 케일리-해밀턴 정리[94]
* 역행렬}}}
* 전치행렬과 대칭행렬
* 연립일차방정식: 크래머의 공식, 가우스 소거법
8. 수열
(1) 등차수열
* 등차수열과 등차수열의 합
* 조화수열과 조화중항
(2) 등비수열* 조화수열과 조화중항
* 등비수열과 등비수열의 합
* 등비수열 합의 활용(상환, 연금의 현가)
* 원리합계
(3) 수열의 합과 기호 [math(\Sigma)]* 등비수열 합의 활용(상환, 연금의 현가)
* 원리합계
* 수열의 합과 시그마
* 자연수의 거듭제곱의 합
* 부분분수
(4) 수열의 귀납적 정의* 자연수의 거듭제곱의 합
* 부분분수
* {{{#FF0000 여러가지 점화식
* 점화식}}} (+ 특성방정식)
* 피보나치 수열
* 계차수열, 제2계차수열
* 군수열
* 수학적 귀납법
* 피보나치 수열
* 계차수열, 제2계차수열
* 군수열
2. 수학II(고등학교 2학년 문, 이과 공통)
1. 그래프
(1)그래프
* 그래프의 뜻
* 그래프에서의 꼭지점의 차수와 변의 수
(2)수형도* 그래프에서의 꼭지점의 차수와 변의 수
* 다양한 수형도
* 생성 수형도
(3)다양한 회로* 생성 수형도
* 오일러 회로
* 해밀턴 회로
* 오일러 회로와 그래프 회로의 존재를 위한 조건
* 최단경로
(4)그래프와 행렬* 해밀턴 회로
* 오일러 회로와 그래프 회로의 존재를 위한 조건
* 최단경로
* 행렬의 뜻
* 행렬 계산
* 그래프와 행렬
* 색칠문제
* 행렬 계산
* 그래프와 행렬
* 색칠문제
2. 이산확률분포
(1) 확률
* 확률의 의미
* 조건부확률
* 전확률 정리
* 베이즈 정리
(2) 이산확률분포* 조건부확률
* 전확률 정리
* 베이즈 정리
* 이산확률변수
* 상대도수와 이산확률분포
* 이산확률변수와 기댓값, 표준편차
* 이항분포와 독립시행,
* 이항분포의 평균/분산/표본표준편차
* 배르누이 시행과 확률변수
* 베르누이 확률분포
* 체비쇼프의 부등식
* 큰 수의 법칙
* 균등분포
* 기하분포와 음이항분포
* 상대도수와 이산확률분포
* 이산확률변수와 기댓값, 표준편차
* 이항분포와 독립시행,
* 이항분포의 평균/분산/표본표준편차
* 배르누이 시행과 확률변수
* 베르누이 확률분포
* 체비쇼프의 부등식
* 큰 수의 법칙
* 균등분포
* 기하분포와 음이항분포
3. 정수론
(1) 나눗셈 정리와 정수
* 나눗셈 정리와 정제성(나누어 떨어짐)
* 나눗셈에 의한 정수의 분류
* 약수와 배수, 배수판정법
* 소수와 서로소의 성질
* 최대공약수와 최소공배수의 성질: [math(\text{lcm}\left(a,b\right))], [math(\text{gcm}\left(a,b\right))]
* 유클리드 호제법
* 약수의 성질: 약수의 개수, 약수의 합, 약수의 곱
* 소수 계량 함수, 지시함수, 소인수 계량 함수, 폰 망골트 함수
* 진법 변환
* 비둘기집의 원리
* 분수와 소수
* n진법, 진법별 사칙연산
(2) {{{#FFA500 합동식과 부정방정식* 나눗셈에 의한 정수의 분류
* 약수와 배수, 배수판정법
* 소수와 서로소의 성질
* 최대공약수와 최소공배수의 성질: [math(\text{lcm}\left(a,b\right))], [math(\text{gcm}\left(a,b\right))]
* 유클리드 호제법
* 약수의 성질: 약수의 개수, 약수의 합, 약수의 곱
* 소수 계량 함수, 지시함수, 소인수 계량 함수, 폰 망골트 함수
* 진법 변환
* 비둘기집의 원리
* 분수와 소수
* n진법, 진법별 사칙연산
* 합동식의 뜻: 합동, 합동식, 법
* 합동식의 성질
* 일차합동식의 풀이
* 베주 항등식
* 부정방정식}}}
(3) {{{#FFA500 정수론의 다양한 정리* 합동식의 성질
* 일차합동식의 풀이
* 베주 항등식
* 부정방정식}}}
* 중국인의 나머지 정리
* 오일러 정리(+ 페르마 소정리), 오일러 피 함수
* 윌슨 정리}}}
* 오일러 정리(+ 페르마 소정리), 오일러 피 함수
* 윌슨 정리}}}
4. 수열의 극한
(1) 수열의 극한(엡실론-N 논법)
* 무한수열의 수렴과 극한값의 계산
* 무한등비수열의 수렴과 발산
(2) 급수* 무한등비수열의 수렴과 발산
* 무한급수의 수렴과 발산
* 무한등비급수의 수렴과 발산
* 무한등비급수의 활용
* 무한등비급수의 수렴과 발산
* 무한등비급수의 활용
5. 함수의 극한과 연속
(1) 함수의 극한
6. 미분
* 극한의 정의
* 우극한과 좌극한
(2) 여러 가지 함수의 극한값* 우극한과 좌극한
* 자연로그의 밑 e (위 논거에 나와있는대로 e의 정의식에 나오는 함수의 그래프로 기하학적 의미를 이해시킨 뒤 합성함수의 극한 파트에서 합성함수 극한과 연계시켜서 다룬다.)
* 지수함수, 로그함수의 극한(소수 계량 함수, 소수 정리, 오일러-마스케로니 상수를 서술하여 다룸)
* 합성함수의 극한
(3) 함수의 연속* 지수함수, 로그함수의 극한(소수 계량 함수, 소수 정리, 오일러-마스케로니 상수를 서술하여 다룸)
* 합성함수의 극한
* 함수의 연속과 연속의 성질
* 실수의 연속성
* 함수의 불연속성과 불연속함수
* 디리클레 함수
* 실수의 연속성
* 함수의 불연속성과 불연속함수
* 디리클레 함수
(1) 미분계수와 도함수
7. 적분
* 미분계수
* 미분가능성과 연속성
* 도함수
* 실수배, 합, 차의 미분법
* 곱의 미분법
(2) 여러 가지 함수의 미분법* 미분가능성과 연속성
* 도함수
* 실수배, 합, 차의 미분법
* 곱의 미분법
* 몫의 미분법
* 이계도함수
* 은함수[95]의 미분법
* 매개변수로 정의된 함수의 미분법
(3) 도함수의 활용
* 정수 지수 다항함수, 삼각함수의 도함수
* 합성함수의 미분법
* 지수함수와 로그함수의 도함수, 실수 지수 다항함수의 도함수
* 역함수의 미분법* 이계도함수
* 은함수[95]의 미분법
* 매개변수로 정의된 함수의 미분법
* 미분과 접선의 방정식
* 변곡점, 곡선의 오목과 볼록
* 함수 그래핑
* 함수의 최대와 최소
* 방정식과 부등식에 활용
* 속도와 가속도, 변화율
* 극좌표계와 미분법
* 롤의 정리와 평균값 정리
* 미분과 함수의 증가와 감소, 극대와 극소* 변곡점, 곡선의 오목과 볼록
* 함수 그래핑
* 함수의 최대와 최소
* 방정식과 부등식에 활용
* 속도와 가속도, 변화율
* 극좌표계와 미분법
(1) 정적분과 부정적분
* 정적분의 정의(구분구적법 서술)
* 미적분학의 기본정리
* 여러 가지 함수의 부정적분
* 치환적분법과 부분적분법
* 정적분의 성질 밎 계산
* 정적분의 치환적분법과 부분적분법
* 정적분으로 정의된 함수
* 정적분과 급수
* 이상적분
(2) 정적분의 활용* 미적분학의 기본정리
* 여러 가지 함수의 부정적분
* 치환적분법과 부분적분법
* 정적분의 성질 밎 계산
* 정적분의 치환적분법과 부분적분법
* 정적분으로 정의된 함수
* 정적분과 급수
* 이상적분
* 곡선과 좌표축 사이의 넓이
* 두 곡선 사이의 넓이
* 입체 도형의 부피
* 회전체의 부피
* 질량중심과 모멘트
* 속도와 거리
* 곡선의 길이
* 두 곡선 사이의 넓이
* 입체 도형의 부피
* 회전체의 부피
* 질량중심과 모멘트
* 속도와 거리
* 곡선의 길이
8. 복소수와 극좌표
(1) 극좌표계: 구면좌표계를 이해하기 위한 선수 과정격으로 꼭 필요한 부분이다.
* 극좌표계의 정의
* 극좌표계와 직교좌표계의 변환
* 직선과 원의 극방정식
* 여러가지 극방정식: 아르키메데스 나선, 로그 나선, 장미 나선, 달팽이 곡선
* 접선과 교각
* 극좌표계와 넓이
(2) 복소평면* 극좌표계와 직교좌표계의 변환
* 직선과 원의 극방정식
* 여러가지 극방정식: 아르키메데스 나선, 로그 나선, 장미 나선, 달팽이 곡선
* 접선과 교각
* 극좌표계와 넓이
* 지수의 확장
* 오일러 공식과 허수지수함수 [math(\rm cis)]
* 복소평면의 정의와 복소수 사이의 거리
* 복소수의 극형식
* 삼각함수의 덧셈정리, 드 무아브르 공식
* 단위근과 그 성질: 복소수의 n제곱근
* 원시근
* 복소수 연산의 기하학적 의미
* 오일러 공식과 허수지수함수 [math(\rm cis)]
* 복소평면의 정의와 복소수 사이의 거리
* 복소수의 극형식
* 삼각함수의 덧셈정리, 드 무아브르 공식
* 단위근과 그 성질: 복소수의 n제곱근
* 원시근
* 복소수 연산의 기하학적 의미
3. 미적분(고등학교 3학년 이과 필수)
1. 급수
-
생성함수
(1) {{{#FF0000 매개변수 방정식
3. 편도함수
* 매개곡선
* 매개변수 곡선에 대한 미적분}}}
(2) 극좌표(Ⅱ)* 매개변수 곡선에 대한 미적분}}}
* 극방정식의 그래프
* 극방정식 그래프의 대칭이동 및 대칭성
* 극방정식의 접선의 기울기
* 교각
* 교점의 직교좌표
* 부등식의 영역
* 여러 가지 극방정식의 그래프
* 극좌표계에서의 곡선의 길이와 도형의 넓이
* 극좌표에서의 모멘트, 무게중심, 곡면의 넓이
* 극방정식 그래프의 대칭이동 및 대칭성
* 극방정식의 접선의 기울기
* 교각
* 교점의 직교좌표
* 부등식의 영역
* 여러 가지 극방정식의 그래프
* 극좌표계에서의 곡선의 길이와 도형의 넓이
* 극좌표에서의 모멘트, 무게중심, 곡면의 넓이
(1) 이변수함수
* 이변수함수의 극한과 연속
* 다변수함수
(2) 편미분* 다변수함수
* 편미분의 뜻과 성질
* 편미분계수와 편도함수
* 이계편도함수
* 편미분의 연쇄법칙
(3) 편미분의 활용
* 편미분계수와 편도함수
* 이계편도함수
* 편미분의 연쇄법칙
4.미분과 적분의 활용
(1)미분의 활용
* 코시의 평균값 정리, 로피탈 정리, 적분의 평균값 정리
* 역삼각함수의 미분법
* 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수의 미분법
* 로그미분법
* 일차근사식과 오차
* 이계도함수, 이계도함수와 도함수식이 포함된 방정식
* 고계도함수
* 뉴턴의 방법
(2)적분의 활용* 역삼각함수의 미분법
* 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수의 미분법
* 로그미분법
* 일차근사식과 오차
* 이계도함수, 이계도함수와 도함수식이 포함된 방정식
* 고계도함수
* 뉴턴의 방법
* 삼각함수와 역삼각함수의 적분
* 삼각치환
* 쌍곡선함수의 적분, 역쌍곡선함수의 적분
* 극좌표 함수의 적분
* 이상적분
(3)중적분* 삼각치환
* 쌍곡선함수의 적분, 역쌍곡선함수의 적분
* 극좌표 함수의 적분
* 이상적분
* 중적분의 뜻과 성질
* 반복적분
* 푸비니의 정리
* 일반 영역에서의 중적분
* 극좌표에서의 중적분
(4)미분방정식* 반복적분
* 푸비니의 정리
* 일반 영역에서의 중적분
* 극좌표에서의 중적분
* 미분방정식의 정의와 성질
* 오일러 공식과 미분방정식
* 방향장을 이용한 미분방정식의 풀이
* 오일러의 방법을 이용한 미분방정식의 풀이
* 변수분리법
* 선형미분방정식
* 적분인자를 이용한 미분방정식의 풀이
* 오일러 공식과 미분방정식
* 방향장을 이용한 미분방정식의 풀이
* 오일러의 방법을 이용한 미분방정식의 풀이
* 변수분리법
* 선형미분방정식
* 적분인자를 이용한 미분방정식의 풀이
4. 기하(고등학교 3학년 이과 필수)
- 도형의 성질
-
절댓값과 아폴로니우스의 원, 교차비와 공통원, 면적비, 접현 정리, 방멱 정리, 삼각형의 오심, 스튜어트 정리, 두 원의 위치관계, 체바 정리, 메넬라우스 정리
: 이 역시 위에 나온 논거에 의거함. - 이차곡선의 접선의 방정식
- 이차곡선과 부등식의 영역
- 이차곡선의 여러가지 성질: 매개변수로 나타낸 타원, 포물선과 직선에 대한 성질 등
- 역쌍곡선
- 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수[97]
- 이차곡선의 극방정식: 이심률
- 타원의 넓이와 둘레
- 공간도형의 위치 관계
- 삼수선 정리
- 정사영
- 오일러 다면체 정리
- 공간직교좌표계
- 두 점 사이의 거리
- 선분의 내분점과 외분점
- 구의 방정식
- 직교좌표계에서의 이차곡선
- 원통좌표계
- 구면좌표계
- 여러가지 좌표계간의 변환
- 입체각과 스테라디안}}}
- 평면벡터의 외적
- 평면벡터의 평면운동
- 방향코사인과 방향비
- 공간벡터의 외적
- 공간벡터의 평면의 방정식
- 공간벡터의 구의 방정식}}}
- 평면과 공간에서의 선형변환
- 여러가지 선형변환: 대칭변환, 닮음변환, 항등변환, 회전변환, 회전변환을 나타내는 행렬
- 선형변환에 의해 옮겨진 도형
(1) 여러가지 평면기하의 공리
(2) 이차곡선
2. 공간도형과 공간좌표
(1) 공간도형
(2) 공간직교좌표계
(3) {{{#FF0000 원통좌표계와 구면좌표계
3. 벡터와 공간
(1) {{{#A52A2A 벡터의 외적과 도형의 방정식
(2) 선형변환
4. 벡터와 선형변환과 행렬
(1) {{{#FFA500 벡터와 행렬(Ⅱ): 일반적인 n차원 벡터에 대해 다룸.
* 내적과 노름
* 선형 연산자
* 선형독립과 선형종속
* 기저와 정규직교기저
* 벡터의 차원
* 행렬과 벡터의 관계
* 벡터공간과 행렬}}}
(2) {{{#FF0000 선형 변환: 여기에서는 선형변환을 대수적으로만 다루며 기하학과 연계된 선형변환은 기하에서 다룬다.* 선형 연산자
* 선형독립과 선형종속
* 기저와 정규직교기저
* 벡터의 차원
* 행렬과 벡터의 관계
* 벡터공간과 행렬}}}
* 선형변환과 행렬}}}
* 선형변환의 핵과 상
* 선형변환의 합성과 역변환
(3) {{{#FFA500 고윳값과 행렬의 거듭제곱* 선형변환의 핵과 상
* 선형변환의 합성과 역변환
* 고윳값과 고유벡터
* 고유다항식
* 행렬의 대각화와 대각화 가능성
* 케일리-해밀턴의 공식: [math(\text{det}(\lambda I-A)=0)]
* 행렬의 극한과 마르코프 연쇄}}}
* 고유다항식
* 행렬의 대각화와 대각화 가능성
* 케일리-해밀턴의 공식: [math(\text{det}(\lambda I-A)=0)]
* 행렬의 극한과 마르코프 연쇄}}}
5. 확률과 통계(고등학교 3학년 문과 필수)
고등학교 3학년 1학기 과정
- 통계의 기초
- 자료의 개념: 변량, 도수, 히스토그램, 도수분포다각형, 대푯값(평균, 최빈값, 중앙값) 등을 소개한다.
- 자료의 정리: 산포도, 기댓값, 분산, 표준편차에 대해 소개한다.
- 통계적 도구
- 모집단과 표본
- 복원추출과 비복원추출
- 모수와 확률표본
- 통계량과 표본분포
- 스틸체스 적분을 이용한 이산확률변수의 기댓값
- 일차이산확률변수식의 평균/분산/표준편차
- 균등분포
- 푸아송 분포
- 결합확률분포, 결합확률질량
- 마르코프 연쇄
- 앞 단원에서 배운 히스토그램이나 도수분포다각형의 계급을 0으로 가까이 (극한) 보내버리면 연속확률분포(확률밀도함수)가 되는 것을 알려주고, 연속확률분포의 정적분 값이 1임을 알려준다.
- 적분을 이용한 연속확률변수의 기댓값, 평균, 분산, 표준편차
- 확률밀도함수
- 균등분포, 지수분포
- F-분포
- 스튜던트 t-분포
- 지수분포
- 카이제곱분포
- 모평균의 추정
- 모비율의 추정
- 귀무 가설
- 분산 분석
- 회귀 분석
- 단측검정과 카이 제곱 검정
- 모평균의 검정, 모비율의 검정
- 신뢰구간과 가설검정
- 확률분포의 결정
- 모수 추정과 오차한계
- 여러가지 확률분포의 모수 추정
(1)통계적 자료의 기초
(2) 모집단과 표본분포
2. 이산확률분포와 여러가지 분포
(1) 이산확률변수와 이산확률분포
(2) 이산확률분포의 여러가지 분포
3. 연속확률분포
(1) 연속확률변수와 연속확률분포: 연속균등분포, 연속확률분포와 정적분
(2) 정규분포와 표준화(수학2의 적분으로 설명한다.)
4. 통계적 추정과 분석
(1) 통계적 추정
(2) 통계적 분석
(3) 확률분포의 추정
- 수학 활용
- 계산기의 발명과 역사
- 계산기의 종류
- 계산기가 현대 수학에 끼친 이점들
- 마방진과 활용
- 테셀레이션과 활용
- 다양한 수학 퍼즐
- 매듭의 뜻: 매듭, 매듭의 사영, 교차점
- 다양한 매듭: 매듭 표기법, 풀린매듭, 세잎매듭, 8자 매듭, 다섯잎매듭
- 합성매듭: 합성매듭, 소매듭, 유향매듭, 대칭매듭
- 라이데마이스터 변환: 라이데마이스터 변환, 1~3종 번형
(1)현대 수학과 기계의 발전
(2)현대 수학사
(3)수학과 퍼즐
(4)매듭이론
2.이산수학
(1)시행착오법
* 시행착오법으로 방정식 푸는 법
(2)순열과 조합
* 합의 법칙, 곱의 법칙
* 순열과 조합
* 나열하지 않고 주어진 조건을 만족하는 순열이나 조합의 수
(3) 세기의 방법* 순열과 조합
* 나열하지 않고 주어진 조건을 만족하는 순열이나 조합의 수
* 비둘기집의 원리
* 포함배제의 원리
* 유한집합을 합집합으로 나타내기
* 자연수를 자연수의 합으로 나타내기
* 조건에 맞는 분배의 수
* 점화식을 이용한 방법
*카탈란 수
* 포함배제의 원리
* 유한집합을 합집합으로 나타내기
* 자연수를 자연수의 합으로 나타내기
* 조건에 맞는 분배의 수
* 점화식을 이용한 방법
*카탈란 수
3. 기하학의 기초
(1)기하학의 체계
* 기하학의 역사
* 공리, 정의, 정리의 뜻
* 평면 기하의 구성
* 유클리드 공리계
* 힐버트의 공리계
(2)여러가지 기본도형
(3)작도와 자취
* 공리, 정의, 정리의 뜻
* 평면 기하의 구성
* 유클리드 공리계
* 힐버트의 공리계
====# 고급수학 개편안 #====
개편안:현재는 심화수학 1,2와 고급수학 1,2로 나뉘어 있는데 사실상 의미가 없기 때문에 개편한다. 또 여기서는 위에 나온 교육과정을 대폭 늘리는 개편안을 기준으로 하도록 한다. 만약 다른 개편안을 기준으로 작성하려 할시 구분선을 긋고 따로 작성하여 주십시오.
이 과목은 과학고 전용 과목으로, 이 내용들을 영역에 맞게 각각 진로선택과목으로 재조합한뒤 추가적으로 내용을 보완해 각 학생들이 진로에 맞게 과목을 배울 수 있게 한다.
- 정수론
- 이차합동식
- 잉여류와 그 성질
- 잉여계
- 페르마의 정리
- 오일러 함수와 오일러 정리
- 이항합동식
- 암호체계
- 위수와 원시근
- 이산로그
- 실수의 소수 표현
- 이차잉여와 르장드르 기호, 야코비 기호
- 이차잉여와 소수
- 특수한 이차합동식
- 영지식 증명과 신원확인
- 이차잉여의 상호법칙
- 피타고라스의 세 수
- 페르마의 마지막 정리
- 두 제곱수의 합
- 여러 제곱수의 합
(1)합동식과 잉여류
(2)원시근
(3)이차잉여
(4)부정방정식
2.다변수함수
* 다변수함수의 정의
* 이변수, 삼변수함수
* 등위곡선
* 등위곡면
* 이변수함수의 그래프
* 이변수, 삼변수함수
* 등위곡선
* 등위곡면
* 이변수함수의 그래프
3.통계
(1) 확률분포와 기대값
* 기대값, 일차결합의 평균과 분산
* 결합확률분포
(2) 여러 가지 확률분포* 결합확률분포
* 결합확률분포, 결합확률질량의 기본 성질
* 결합확률밀도함수의 성질
* 확률변수들의 독립성과 독립변수의 곱의 기대값
* 결합확률밀도함수의 성질
* 푸아송 분포의 평균과 분산
* 정규분포와 중심극한정리
(3) 표본분포와 추정* 정규분포와 중심극한정리
* 이항분포의 정규분포 근사, 중심극한정리
* 지수분포
* 모집단, 표본, 표본평균의 분포
* 확률표본과 표본분포, 확률분포
* 표본평균의 평균과 분산, 표본평균의 분포
* 모평균의 추정* 표본평균의 평균과 분산, 표본평균의 분포
* 점추정과 구간추정
* 모비율의 추정
* 모평균과 모비율의 추정
4.기하
(1)정칙곡선과 곡률
* 매개곡선
* 속도와 속력, 가속도
* 정칙곡선의 길이
* 단위속력곡선
* 재매개곡선
* 곡률과 곡률반경
(2)구면 기하학* 속도와 속력, 가속도
* 정칙곡선의 길이
* 단위속력곡선
* 재매개곡선
* 곡률과 곡률반경
* 측지삼각형
* 구면에서의 각
* 구면에서의 오일러의 정리와 코사인 법칙
(3)쌍곡 기하학* 구면에서의 각
* 구면에서의 오일러의 정리와 코사인 법칙
* 반전사상,
* 쌍곡평면과 쌍곡길이
* 쌍곡삼각형
* 쌍곡법칙
* 쌍곡평면과 쌍곡길이
* 쌍곡삼각형
* 쌍곡법칙
5.선형대수
(1)내적공간
* 내적과 노름
* 그람-슈미트 직교화와 직교여공간
* 선형연산자의 수반연산자
* 정규연산자와 자기수반연산자
* 연산자와 행렬: 유니터리 연산자와 직교연산자
* 정사영과 스펙트럼 정리
* 특잇값 분해와 유사역행렬*
* 쌍선형과 이차형식
(2)표준형* 그람-슈미트 직교화와 직교여공간
* 선형연산자의 수반연산자
* 정규연산자와 자기수반연산자
* 연산자와 행렬: 유니터리 연산자와 직교연산자
* 정사영과 스펙트럼 정리
* 특잇값 분해와 유사역행렬*
* 쌍선형과 이차형식
* 조르당 표준형
* 최소다항식
* 유리 표준형
* 최소다항식
* 유리 표준형
====# 경제수학 개편안 #====
개편안: 경제수학 과목은 상경계를 지망하는 문과생들이 배운 수학적 개념을 활용하여 경제에서 사용되는 다양한 그래프나 수학적 개념을 이해하는 것을 컨셉으로 잡고 있다. 하지만 대학교 경제수학 과목에서는 문과가 배우지 않았던 비다항 초등함수[98]의 미분법과 적분법을 어차피 배우기 때문에 문과가 배우지 않는 비다항 초등함수의 미분법과 적분법 등 경제수학에서 다루는 내용을 간략하게 다루고 이를 응용하여 경제 개념을 배우는 파트를 따로 편성하든가[99] 아예 빼든가 둘 중 하나만 할 것을 제안한다.
- 해석학의 기본
- 극한
- 수열, 함수의 극한: 유계, 코시 판정법, 비교 판정법, 멱근 판정법, 달랑베르 판정법, 라베 판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법
- 테일러 급수
- 초등함수의 도함수와 역도함수
- 수치해석
- 리시 방법, 룽게-쿠타 방법
- 선형대수
- 행렬과 벡터
- 고유치 문제: 대각화, 삼각화
- 다변수함수
- 편도함수
- 이상적분
- 이중적분
- 푸비니 정리
- 야코비안
- 정규분포의 적분: 가우스 적분, 오차함수 [math(\rm erf)]
- 큰 수의 법칙
- 중심극한정리
- 베이즈 정리
- 시계열 분석
- ARIMA
- GARCH
- 호드릭-프레스콧 필터
- 경로 분석
- 요인 분석
- 생존 분석
- 메타 분석
- 패널 분석
- 다층 모형
- 2SLS
2. 해석학 심화
3. 확률
4. 수리통계학
7. 도움 문서
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[1]
교육 제도에 대해 자세히 모르는 일반인(혹은 학부모)입장에서 학업 부담이 두 과목 더 늘어났다는 우스꽝스러운 비약으로 이의를 제기해오는 상황까지 발생해 계속 수학 교과 내용을 줄이려고 하고 있었으며 이러한 운동이 결국
대한민국 교육부에 먹혀들었다.
자연계의 경우, 교육과정 개편 때마다 매번 상당한 양적 손실을 보았는데, 단순 양적 손실이면 모르겠으나 아예 필수 개념까지 탈락시키는 상황이 발생했다.
[2]
다만 실질적으로는 2중 1택이다.
[3]
특히 대한민국은 다른 선진국과 비교했을 때, 공통과목은 내용이 많은 편인데 이공계나 상위권 기준으로는 내용이 부족한 편이다.
[4]
다만, 모의고사나 수능 문제에서는 7차 교육과정 시절에도 정의를 써 놓았으며, 2007 교육과정부터는 어떠한 전국단위 시험에서도 아예 출제를 하지 않고 있다. 경찰대에서나 가끔 볼 수 있을 정도.
[5]
십진법에 특화된 인류 특성상, 10의 배수로 나타내기 쉬운 숫자 하나를 10의 배수로 보정해주고, 그 보정해준 만큼 상대 수에서도 역연산을 하는 방법을 활용해본 것이다.
[6]
자세하게 말하면 덧셈에 대한 항등원을 활용한 것이다.
[7]
하지만 현재는 위 용어들을 대학교 1학년 미적분학에서조차 다루지 않기 때문에 실용성이 떨어진다고 본 면도 있다. 하지만 그렇게 치면 복소평면 볼때까지 몇 년동안 나오지 않는 복소수가 남아있는 이유를 설명하기 어렵다.
[8]
대표적으로 곱셈에서의 0. 모든 수에 대해서 곱셈의 결과값이 0이므로 항등원이 아니지만, 0을 몇 번을 곱하든 0이므로 멱등원이다.
[9]
80~90년대에서도 늘 연산 영역에서 다른 나라보다 앞서긴 했다.
수학=계산으로 인식되어버린 언어 인식이 큰 영향을 준 것으로 보인다.
[10]
대표적으로 이전에 이 문서에 서술되었던
매듭이론 같은 것들. 해당 주장은 논쟁 끝에 토론 합의에 의해 모조리 삭제되었다.
[11]
이는 함수가 아닌 '
숨은 함수(Implict function)'라고 해야 한다.
[12]
용어에 한자가 섞여있거나 생소하게 다가온다면
국립국어원 자문을 통해 쉬운 고유어로 바꿔서 가르치면 되는 문제인데
아예 이를 삭제한 것이다.
[13]
다만 삭제한 이유에 대해 중학교 수학과 교육과정에서
함수를 제외한 다른 단원들과의 연계성이 떨어져서 고등 과정으로 상향 이동했다는 그럴싸한 의견도 있다. (실제로 중학교 과정에서 집합이 다른 단원들에 비해 이질적이라는 의견도 있었다.)
[14]
간혹 가다 중학교 1학년 문제집 중 어려운 문제를 풀어보면 십중팔구 경우의 수를 응용하고 있다. 심지어 중1 첫단원인
소인수분해 단원에서도 이러한 문제가 넘쳐나온다.
[15]
최윤정. (2021). 2015 개정 교육과정 수학교과서 핵심역량 분석: 중학교 3학년 기하단원 중심으로. 학습자중심교과교육연구, 21(5), 747-765.
[16]
이런 자세의
하드 카운터라고 할 수 있는 것이
유리수 판별 함수(디리클레 함수) [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(x\right))]로, 집합에 의한 정의로는 유리수라면 1, 무리수라면 0을 대응시켜 짝을 짓는 매우 쉬운 개념(예시: [math(1 \to 1, \dfrac{1}{2} \to 1, \sqrt{2}\to 0, \pi \to 0, \cdots)])이 되지만, 좌표 평면상으로는 어떻게 그림을 그려야 할지 매우 난감해진다.
[17]
심한 경우엔 수열이 함수인지도 모르는 학생도 있다.
[18]
'나머지 정리'도 엄연히 실수 범위에서 이루어지므로 실수와 수 체계의 정의부터 제대로 한 뒤에 구성하는 게 올바르다. 또한 실수를 다항식의 형태로 나타낼 수 없을 것 같지만, 이미 실수는 중학교 과정에서도 다항식 형태로 나타낸 바가 있다. 따라서 이 단원을 뒤에 구성해놔도 전혀 문제가 없다.
[19]
2009 개정 교육과정부터 관련 전문직이나
교수들이 토론회에서 거의 안 보이기 시작하면서 발생한
중우정치의 결과물로 보인다. 전문성이 결여된 일부 교사나 관련 교육 단체들의 목소리가 높아지면서 이런 비전문적인 용어를 사용하게 된 것으로 보인다.
[20]
왜 '1학년'의 꿈이라는 이름이 붙었는지를 보통 수학과 학부 1학년 때 알게 되기 때문.
[21]
둥근계단함수라는 번역어를 제안하는 이유는 아래 그림처럼
계단함수와 함수 전개 양상이 비슷하기 때문이다. 다만 계단함수는 불연속임에 비해 시그모이드 함수는
매끄러운 연속이라는 차이가 있다.
![파일:나무_부호함수_그래프_수정.png]()
![파일:나무_tanhx_그래프_수정.png]()
[22]
[math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \cdot f'(x))]
[23]
[math(\displaystyle \int | f(x) |\,\mathrm{d}x = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \int f(x) + C)]
[24]
디랙 델타 함수를 본격적으로 수학적 정의를 하는 과정 자체가 수학과 대학원 과정에 있다. 학부까지는 일단은
라플라스 변환,
푸리에 변환 등에서 다루긴 해야 하니 두루뭉술하게 정의하고 넘어간다.
[25]
쌍선형 내적은 사실상
덧셈과
곱셈밖에 없기 때문에 중학교 과정에서 다뤄도 무방하다.
[26]
2009 개정 교육과정 때부터 정책진이 나무위키를 참고한다는 풍문이 돌기는 했다. 가장 큰 기여를 했던 게
리그베다 위키 당시
미적분과 통계 기본,
융합과학이다. 미통기는 그렇다 쳐도 융합과학은 빼도 박도 못하는 수준.
[27]
함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}})]와 함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x})]
[28]
사실 소수 정리는 중등수학에서 언급하기에는 위치가 애매한 부분은 있다. 왜냐하면
'소수'라는 정수론적 대상에 미적분을 갖다쓰는, 중등수학의 시각에서는
끔찍한 혼종(...)이기 때문.
[29]
리만 가설,
로그 적분 함수를 알아야 한다.
[30]
물론 소수 계량 함수는 미적분의 내용과 굉장한 연계성이 있지만, 그 연계성을 고등학교 과정에서 다루는 것은 심히 무리한 주장이다.
[31]
[math(\displaystyle \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac1k - \ln n \right))]
[32]
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k > 1+\frac12 \sum_{k=1}^\infty {\bold 1}_{[2,\,\infty)}(k))]] 정도는 끌고 와야 하는데, 이는 수열의 위로 유계, 아래로 유계 개념이 선행되어야 한다. 하지만 이것을 다루기 위해서는 수열의 각종 수렴판정법 등을 몽땅
미적분학에서 끌고 내려와야 하고, 이는 상당히 지나치다. 이러한 개념들을 다 끌고 내려온다면
테일러 급수나
매클로린 급수 같은 내용들도 충분히 다룰 수 있는 정도이고, 애초에 현재 교과상에서는 급수를 단순히 구분구적법을 다루기 위한 선행 과정 정도로만 여기고 있기 때문에 이러한 내용은 넣을 필요가 없다
[33]
[math(\lfloor \log x \rfloor)]를 지표, [math(\log x - \lfloor \log x \rfloor)]를 가수로 표현하는 것.
[34]
[math(\displaystyle \sum_{x=a}^b f(x) \Leftrightarrow \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} \lfloor x \rfloor)]
[35]
출처:
한림연구보고서 125 - 고등학교 수학 교육과정 내용 축소가 이공계 인재 양성에 미치는 영향 분석.pdf 33페이지
[36]
특히 해석기하의 '이차곡선'은 태초부터 허술하기도 하다. 본래 고등학교 1학년 과정에서만 다루던 '중단원' 규모의 기초 수준에 불과했다.
[37]
조금만 깊이 들어가면 복소수 극형식, 드 무아브르 공식, 오일러 공식,
벡터함수나
외적같은거 다 튀어나온다. 현재에는 고급수학1에서 극좌표를 약간 다루지만, 복소평면 및 극형식과 연계해서 다루지 현 학부 1학년
미적분학 수준까지 다루진 않는다. 허나 기하학과 극좌표를 연계시키려면 대학 미적분학 식의 접근이 필요하며, 이 경우 내용이 고등학교 교육에서 다루기엔 약간 부담이 있다.
[38]
이 시절 행렬 교육이 참 골때렸는데, 수학 I 첫 단원부터 그 개념과 연산법칙을 아무 맥락도 없이 제시한데다, 교육 방향 역시 선형변환이라는 본질보단 각종 반례 찾기에 집중되는 바람에 사전지식 없이 고교에서 이를 처음 배운 학생들 중에는 행렬에 대해 '복잡하고 종잡을 수 없으면서 용도도 알 수 없는 무언가' 라는 잘못된 인식을 갖는 경우도 많았다. 사실 행렬이 사라진 이유도 이런 골때리는 구성과 수능에서의 역겨운 반례 문제 때문에 학생들의 원성을 심하게 사버린 것이 크다.
[참조]
![파일:교육부의묵살.jpg]()
[40]
사실 내적은 삼각함수가 없어도 정의할 수 있다.
켤레전치 행렬곱의 행렬식([math(\det \bold{\overline a}^T\bold{b})])으로 표현할 수 있기 때문. 그러나 이렇게만 다루고 삼각함수나 벡터성분으로 표현하지 않는 것은 어불성설이므로 삼각함수가 우선되어야 하는 것은 사실.
[41]
예) [math(\cos 60\degree = \dfrac12 \Leftrightarrow \arccos \dfrac12 = 60\degree)]
[42]
논리학에서는 영역 안에 집합의 원소를 나열하지 않는다. 그냥 원소가 있냐 없냐만 판단하기 때문에 원소가 없을 경우 빗금을 치고, 있을 경우엔 엑스표를 친다. 수학에서 쓰이는 벤 다이어그램과 상당히 다르다.
이미지 참조
[43]
은행원이나
경리가
계산기 두들기지
암산하고 있던가?
[44]
이기돈. (2019). 2015 개정 <미적분> 교과서의 ‘정적분과 급수의 합 사이의 관계’ 서술 내용 분석 및 제언 - <수학Ⅱ>와의 연계성 관점에서 -. 수학교육학연구, 29(1), 93-112.
[45]
실제로 미적분의 기본정리는 두 개의 소정리로 구성되어 있는데, 상술한 '부정적분의 함숫값의 차' 말고도 '정적분으로 정의된 함수의 미분'이라는 내용이 따로 있다.
[46]
이기돈. (2019). 2015 개정 <미적분> 교과서의 ‘정적분과 급수의 합 사이의 관계’ 서술 내용 분석 및 제언 - <수학Ⅱ>와의 연계성 관점에서 -. 수학교육학연구, 29(1), 93-112.
[47]
지수꼴이 아닌 [math(\complement A)], [math(\complement_UA)]와 같이 쓴다.
[48]
소수점을 온점(
.)으로, 자릿수는
띄어쓰기로 표기하며 소수점 아래에서도 자릿수 표기를 한다.
예)[math(1\,234.567\,89)] [49] 소수점을 온점(.)으로, 자릿수는 콤마( ,)로 표기하되 소수점 아래에서는 자릿수를 표시하지 않는다. 유럽식은 소수점과 자릿수 표기가 반대이다.
예)[math(1,234.56789\ {\sf or}\ 1.234,56789)] [50] 상용로그를 뜻하는 logarithmus generalis의 약자다. [51] 미적분I는 문과용, 미적분II는 이과용. 단, 미적분I은 미적분II의 선수과목이 아니고, 미적분2가 미적분1의 내용을 포함. [52] 고등학교 1학년 1학기 [53] 고등학교 1학년 2학기 [54] 고등학교 2학년 1학기 [55] 고등학교 2학년 2학기 [56] 고등학교 3학년 [57] 고등학교 2학년 1학기 [58] 고등학교 2학년 1학기 [59] 고등학교 2학년 2학기 [60] 고등학교 2학년 2학기 [61] 고등학교 3학년 [62] 고등학교 3학년 [63] 고등학교 3학년 [64] 고등학교 3학년 [65] 고등학교 3학년 [66] 고등학교 3학년 [67] 고등학교 2학년~고등학교 3학년, 수학Ⅱ 선수 [68] 유리수 [69] 무리수 [70] 일대일함수 [71] 일대일대응 [72] 기함수 [73] 우함수 [74] [math(y=x)] 대칭이다. 증가함수일 때의 역함수와 감소함수일 때의 역함수가 원래의 함수와 갖는 교점에 관한 특징을 다룬다. [75] 기존의 가비의 리 [76] 외적 [77] 내적 [78] 외적 [79] 음함수 [초6격하] 초등학교 6학년 과정으로 격하 및 현재 교과에서 암묵지화 [초6격하] [초6격하] [초6격하] [초6격하] [85] 단, 역삼각함수나 쌍곡선함수의 테일러 급수는 다루지 않는다. [86] 단, 지나치게 복잡한 계산을 요하는 오차 계산은 다루지 않는다. [87] 단, 직관적으로 판별이 불가능한 극한의 계산은 다루지 않는다. [88] 해당 내용들은 대학 1학년 학부생들을 가르칠 때조차 상당히 어려워하는 내용들이기 때문에 최대한 직관적으로 이해 가능한 연쇄법칙까지를 고등학교 교과에 놓는 것이 적합할 것이다. [89] 기본적으로 7차 교육과정에서 기벡의 내용과 동일하나, 삼차정사각행렬을 간단하게 다룬다. 이유는 뒤에 외적의 개념을 소개해야 하기 때문. [90] 음함수의 미분을 이용해서 증명한다. [91] 단, 그래핑 도구를 이용해야 할 정도로 복잡한 이차곡면의 형태는 다루지 않는다. [92] 주로 벡터와 행렬 관련 내용으로 구성하고, 고급수학에 있는 기하 파트도 추가한다. [93] 아크탄젠트 함수의 그래프가 시그모이드 곡선이라는 것을 알려준다. 시그모이드 곡선의 개념은 중학교때 간단히 다룬다. [94] 2차정사각행렬 버전([math(A^{2} - \left(a+d\right)A + \left(ad - bc\right) E = O)])만 다루며 일반적인 n차 정사각행렬 버전은 수학3에서 다룸. [95] 음함수는 은함수, 양함수는 현함수로 명칭 변경 [96] 정보 교육을 대폭 가정했다는 가정 하에(중학교 때부터 고1까지 파이썬을 꽤 배웠다는 가정 하에) 넣은 것으로, 인공지능 교육에 있어서 필요한 부분이라 넣었다. [97] 쌍곡선함수의 그래프가 시그모이드 곡선이란 것을 알려주도록 한다. [98] 초월함수라고 하지 않는 이유는 초월함수에 베셀 함수나 폰 망골트 함수 같은 특수함수도 포함하기 때문이다. [99] 사실 이 용도로는 이미 사회과 과목 경제가 이미 있기 때문에 여기서는 수학적 도구를 익히는 것에 집중한다.
예)[math(1\,234.567\,89)] [49] 소수점을 온점(.)으로, 자릿수는 콤마( ,)로 표기하되 소수점 아래에서는 자릿수를 표시하지 않는다. 유럽식은 소수점과 자릿수 표기가 반대이다.
예)[math(1,234.56789\ {\sf or}\ 1.234,56789)] [50] 상용로그를 뜻하는 logarithmus generalis의 약자다. [51] 미적분I는 문과용, 미적분II는 이과용. 단, 미적분I은 미적분II의 선수과목이 아니고, 미적분2가 미적분1의 내용을 포함. [52] 고등학교 1학년 1학기 [53] 고등학교 1학년 2학기 [54] 고등학교 2학년 1학기 [55] 고등학교 2학년 2학기 [56] 고등학교 3학년 [57] 고등학교 2학년 1학기 [58] 고등학교 2학년 1학기 [59] 고등학교 2학년 2학기 [60] 고등학교 2학년 2학기 [61] 고등학교 3학년 [62] 고등학교 3학년 [63] 고등학교 3학년 [64] 고등학교 3학년 [65] 고등학교 3학년 [66] 고등학교 3학년 [67] 고등학교 2학년~고등학교 3학년, 수학Ⅱ 선수 [68] 유리수 [69] 무리수 [70] 일대일함수 [71] 일대일대응 [72] 기함수 [73] 우함수 [74] [math(y=x)] 대칭이다. 증가함수일 때의 역함수와 감소함수일 때의 역함수가 원래의 함수와 갖는 교점에 관한 특징을 다룬다. [75] 기존의 가비의 리 [76] 외적 [77] 내적 [78] 외적 [79] 음함수 [초6격하] 초등학교 6학년 과정으로 격하 및 현재 교과에서 암묵지화 [초6격하] [초6격하] [초6격하] [초6격하] [85] 단, 역삼각함수나 쌍곡선함수의 테일러 급수는 다루지 않는다. [86] 단, 지나치게 복잡한 계산을 요하는 오차 계산은 다루지 않는다. [87] 단, 직관적으로 판별이 불가능한 극한의 계산은 다루지 않는다. [88] 해당 내용들은 대학 1학년 학부생들을 가르칠 때조차 상당히 어려워하는 내용들이기 때문에 최대한 직관적으로 이해 가능한 연쇄법칙까지를 고등학교 교과에 놓는 것이 적합할 것이다. [89] 기본적으로 7차 교육과정에서 기벡의 내용과 동일하나, 삼차정사각행렬을 간단하게 다룬다. 이유는 뒤에 외적의 개념을 소개해야 하기 때문. [90] 음함수의 미분을 이용해서 증명한다. [91] 단, 그래핑 도구를 이용해야 할 정도로 복잡한 이차곡면의 형태는 다루지 않는다. [92] 주로 벡터와 행렬 관련 내용으로 구성하고, 고급수학에 있는 기하 파트도 추가한다. [93] 아크탄젠트 함수의 그래프가 시그모이드 곡선이라는 것을 알려준다. 시그모이드 곡선의 개념은 중학교때 간단히 다룬다. [94] 2차정사각행렬 버전([math(A^{2} - \left(a+d\right)A + \left(ad - bc\right) E = O)])만 다루며 일반적인 n차 정사각행렬 버전은 수학3에서 다룸. [95] 음함수는 은함수, 양함수는 현함수로 명칭 변경 [96] 정보 교육을 대폭 가정했다는 가정 하에(중학교 때부터 고1까지 파이썬을 꽤 배웠다는 가정 하에) 넣은 것으로, 인공지능 교육에 있어서 필요한 부분이라 넣었다. [97] 쌍곡선함수의 그래프가 시그모이드 곡선이란 것을 알려주도록 한다. [98] 초월함수라고 하지 않는 이유는 초월함수에 베셀 함수나 폰 망골트 함수 같은 특수함수도 포함하기 때문이다. [99] 사실 이 용도로는 이미 사회과 과목 경제가 이미 있기 때문에 여기서는 수학적 도구를 익히는 것에 집중한다.