2009 개정 교육과정/수학과/고등학교/수학Ⅱ

1. 개요

2. 상세

2.1. 교과 내용

2.1.1. Ⅰ. 집합과 명제

• 집합: 명제와 함께 수학의 기초나 다름없는 단원이기 때문에 문제가 응용될 수 있는 범위가 매우 넓다. 중학교에서 배웠던 여러가지 사각형, 삼각형, 도형 사이의 포함관계나 자연수의 성질, 수1에서 배웠던 도형의 방정식과 부등식의 영역이 갑자기 튀어나와 엿을 먹이는 경우도 있으니 주의. 이런 예전에 배워서 잊어버릴락 말락하는 개념들을 끌어다 내는 문제를 제외하고도 원소의 개수나 합을 물어보는 등 사고력을 상당히 요하는 문제 유형들이 많다. 연습 문제 유형 중에서 처음 배웠을 때 헷갈리기 쉬운 유형으로 집합인 원소에 유의하는 것이 좋다. 집합을 A={1, 2, {3}} 꼴로 해 놓고 보기를 {3}⊂A 이런 식으로 낸다. 이렇게 냈다면 이 보기는 틀린 보기이다. 주의하자. 또, 공집합인 Ø도 원소 나열법으로 정의된 집합 속에 포함될 경우, 마찬가지로 하나의 원소로 봐야 한다. 여기에 나오는 용어들과 개념들은 확률과 통계에서 응용되는 중단원이다. 예를 들어, 자연수의 분할, 집합의 분할, 중복순열, 중복조합 사이를 구분할 때 공집합을 인정하냐 아니냐를 두고 정의한다. 중복조합의 경우, 공집합(하나도 안 뽑는 경우)을 인정하지만, 집합의 분할에서는 인정하지 않는다. 여기서 벤 다이어그램은 집합을 시각화한 그림으로 보면 된다. 보통 벤 다이어그램으로 문제를 풀 수 있지만 항상 완벽하게 그릴 수는 없으므로, 연산 법칙으로 전개하는 방법도 익혀둬야 한다.

• 명제: 수학으로 보기에 애매하다는 시선도 있지만, 보통 수학적인 문제를 두고 그것을 증명하기 위해서 명제와 같이 형식 논리학의 분과 과정을 빌려쓰는 경우가 많다. 그만큼 수학에서 없으면 안 되는 중요한 파트이다. 먼저 명제와 조건에 대해 이해하고 두조건 p, q로 이루어진 명제 p→q에 대해 학습하는데, 여기서 나오는 충분 조건, 필요 조건, 필요충분조건의 개념을 잘 이해해야 한다. '총을 쏘면 피를 흘린다.'라고 하여, p→q일 때, 총을 쏜 p가 충(총)분조건, 총에 맞아 피를 흘리고 있는 q가 필(피)요조건이라고 생각하면 이해가 쉬울 듯하다. ('김종필'법 : 필요조건은 종(終/끝 종)=끝 에 것을 언급 한다. 즉, P가 끝(종)에 있으므로 필요조건이다.) 명제 p→q에 대해 배우면서 역과 대우에 대해서도 배운다. 원래는 가정과 결론을 모두 부정한 명제 '이'에 대해서도 배웠지만 교육과정 개편과 함께 사라졌다. 하지만 역, 이, 대우라는 표현이 수십년간 입에 익어서 그런지 아직도 일선 학교에서는 '이'를 묶어서 가르치기도 하는 듯. 흔한 경우인지는 모르겠지만 여기서 막힌 학생들이 뒤에 수학적 귀납법에서 막히는 경우도 있다. 수학적 귀납법도 p이면 q이다 식의 증명방식이니 당연하다면 당연할것이다.

• 절대부등식의 증명: 주로 문제를 푸는 것에 초점이 맞춰진 고등학교 수학과 달리, 이 파트는 보통 이미 나와있는 답과 풀이를 보고 옳은 지, 틀린 지를 검증하는 것에 초점을 맞추기 때문에 대학교 수학과 더 어울리는 느낌이다. 이미 절대부등식이라는 말 자체가 어떠한 미지수를 넣어도 항상 참인 명제를 일컫는다. 일단 중요한 건 항상 성립하는 부등식이니까 볼 필요가 없다는 게 아니라, 이를 다른 문제에 어떻게 적용해볼 것인 지를 고민하는 게 중졸에게 주어진 적절한 과제일 것이다. 가령, 절대부등식 중 하나인 산술·기하 평균 부등식을 통해 여러 가지 도형 문제에 적용해볼 수도 있고, 특정 함수의 최솟값을 구하기도 한다. 이처럼, 절대부등식을 갖고 가만히 멍때릴 게 아니라 다른 문제를 통해 적용해보는 것이 이 파트의 관건이다. 예전 교육과정에서는 현재는 빠져버린 코시-슈바르츠 부등식이라는 또다른 절대부등식을 하나 더 다뤘고, 요즘도 시중의 문제집에 실려있거나 교과서에서 증명시키는 방식으로 간접적으로 가르치기도 한다.

2.1.2. Ⅱ. 함수

• 함수의 뜻: 여러 가지 함수의 이론에 대해서 배운다. 2013년부터 중학교 1학년에서 다루지 않던 정의역, 공역, 치역을 이 단원에서 다루게 되었다. 내신 시험에서 주로 나오는 유형으로는 일대일대응이 될 조건을 활용하여 미정계수를 정하는 유형이 있다. 일대일대응이 되기 위해서는 일대일 함수이면서 공역과 치역이 같아야 하는데, 이때 일대일 함수라는 조건을 좀 더 직관적으로 바꾸면 정의역의 범의 내에서 순증가 또는 순감소하는 함수라는 조건이 된다. 얼핏 보기에는 중학교 때 함수를 처음 다루면서 나온 내용과 비슷해 보이나, 여기서는 중학교 내용을 바탕으로 합성함수, 역함수 등이 새로 나온다. 합성함수는 합성의 순서에 주의하기 바란다. 역함수는 일대일 대응인 함수에 대해서만 존재함을 기억하고, 역함수를 구할 때는 x와 y를 먼저 바꾸든 먼저 식을 x에 대해 풀고서 x와 y를 바꾸든 상관없으니 편한 대로 하자. 이과생들은 미적분Ⅱ에서 다시 합성함수와 역함수의 미분을 만나게 될텐데, 그 때 가서 고전하지 말고 여기서 잘하도록 한다.

• 유리함수와 무리함수: 무리함수는 역함수와 엮인 문제로 나오는 것이 다반사인데, 무리함수의 정의역을 잘 살펴서 역함수를 구해야 한다. 반대로 정의역이 주어진 이차함수의 역함수를 구할 때도 마찬가지이다. 유리식과 무리식을 익힌 뒤에 유리함수와 무리함수를 배우게 된다. 이는 중학교 수학과 수학Ⅰ에서 배웠던 이차함수의 그래프 말고도 새로운 그래프의 함수를 다룬다는 의미에서 학생들에게 생소하게 다가올 지도 모르는데, 결국은 정의를 잘 이해하면 모든 게 해결된다. 특히 유리함수는 중학교 1학년 때 배운 반비례 그래프의 연장선이라고 보면 된다.

2.1.3. Ⅲ. 수열

• 등차수열과 등비수열: 수학2의 최종보스. 4차 교육과정 이후 24년 만에 고1수학으로 다시 들어온 내용이다. 함수와 연관지어 설명하자면, 수열은 함수의 일종으로써 정의역이 자연수의 집합에서만 정의되는 경우를 말한다. 수의 규칙성을 판단하여 이산적인 추론력을 기를 수 있다. 미적분Ⅰ의 수열의 극한 파트에서 정줄을 놓을 가능성이 높으니 소홀히 하면 안된다. 등차, 등비수열 및 급수의 응용문제는 확률과 마찬가지로 응용력이 중요한 단원이다. 상대적으로 개념이나 지식적 측면은 많이 필요하지 않으나, 특히 귀납적 사고력이 중요하기 때문에 어떤 학문을 하더라도 필요한 경험적 추론능력을 길러준다. 이 단원은 2,3,4점까지 다양하게 출제된다.

• 여러 가지 수열: 이전 교육 과정의 점화식, 조화수열, 군수열, 계차수열 등의 어렵고 비실용적인 부분이 대거 이탈하고 이후 이공계 대학에서 범용적으로 쓸모 있는 것만 남겨놨다. 그럼에도 불구하고 아직 일부 학교에서는 점화식을 수열의 귀납적 정의에서 배우고 있으며, 군수열은 일부 교과서에서 수열의 합이라는 소단원에서 부록으로 나오고 있다.[2]

2.1.4. Ⅳ. 지수와 로그

• 지수와 로그: 지수 법칙, 로그의 성질 등 대수에서 아주 기초적인 부분을 배운다. 실수에서의 지수 법칙은 항상 중요하니 입에 불이 붙도록 외운다. 실수 지수에서 밑은 항상 양수이다. 왜, 밑이 음수이면 안되냐는 질문을 하게 될텐데, 여기서 밑이 음수인 경우는 '정수'범위의 지수까지는 지수 법칙을 적용할 수 있지만 유리수 범위부터는 적용할 수 없다는 한계에 이른다. 따라서 지수 법칙을 실수 지수로 확장하려면 밑>0 이라는 조건이 필요하다. 이에 따라 로그도 정의도 중요해지게 되는데 여기서도 밑과 진수 조건에 유의한다. 로그도 밑>0이니 당연지사 진수>0이 되겠다. (단, 밑≠1이다.) 밑은 항상 1이 아니어야 하는 이유는 1의 n제곱은 항상 1이기 때문이다. 그래서 이의 경우는 제외한다. 또, 이중근호는 빠져버리고 지수로 표현된 근호만 배운다. 이과생은 자연로그 ln과 자연로그의 밑 $e$을 배우기 위한 미적분의 기초 중의 기초가 된다.

• 상용로그: 일단 이전과 달리 지수함수와 로그함수가 미적분Ⅱ로 따로 빠지고, 지표와 가수가 이제서야 삭제되었다. 이는 지표와 가수라는 개념이 전산의 발달로 더 이상 쓸모가 없어졌기 때문이며, 복잡한 계산만을 요구하기에 사고력을 측정하는 수학 영역에서 쓸 일이 없다는 이유 때문이다. 실제로 지표와 가수를 이용한 문제는 사고력을 측정하는 것과는 거리가 멀다. 다만 지표와 가수는 내신이나 교내 경시대회에서 많이 출제되기 때문에 내신 공부할 때에는 알아두는 것이 좋다. 이렇기 때문에 신승범을 비롯한 여러 강사들은 "지표, 가수 문제는 교육과정에서 삭제되었으므로 많이 풀어볼 이유가 없다"고 홍보하고 있다. 다만 일부 교과서와 참고서에서 지표와 가수라는 말을 각각 정수 부분과 소수 부분이라는 용어로 말만 바꿔서 나온 경우가 있다.

2.2. 대학수학능력시험 수학 영역

• 2017학년도~2020학년도 대학수학능력시험에서 30 문항 중 10 문항이 수학 ‘나’형에서 직접 출제된다. (단, ‘가’형은 간접출제) 솔직히 2,3점의 쉬운문제들이 대부분이라 미적분이 제일 중요하다.[3]
• 이과생의 경우 간접 출제 범위이지만, 문과생의 경우 직접 출제 범위이므로 소홀히 하면 안 된다. 특히 집합과 명제는 참·거짓을 논하는 합답형 문항을 주로 출제한다.
• 1학년 1학기때 배웠던 수학Ⅰ과는 차원이 다른 수포자의 양산 지점이다. 1학년 1학기를 정신없이 마치고 막 2학기로 올라온 학생들에게 있어 큰 벽. 수학 1에서는 중학교 때 배웠었던 다항식, 방정식, 부등식, 함수 위주로 배워 여러모로 친숙한 내용들을 많이 만나볼 수 있었지만 수학 2에 들어와서 처음 만나는 집합과 명제, 함수의 논리적 정의, 수열, 로그는 많은 학생들을 좌절하게 한다. 특히 수열은 4차 교육과정을 끝으로 고1수학에서 쫓겨났다가 24년 만에 고1수학으로 다시 들어온 내용이라서 더더욱 그렇다.
• 개인차가 있겠지만 많은 문과 학생들에게는 '나형' 출제범위과목들 중에서는 확률과 통계와 미적분Ⅰ보다 난이도가 높은 과목일 수도 있다. 우선 무리함수와 지수/로그를 제외한 나머지 영역은 이산수학이라 문제가 거의 정형화된 미적분과 달리 문제의 응용범위가 매우 넓고[4] 특히 집합과 명제는 그냥 사실상의 수학Ⅰ 문제를 내버릴수 있는 아주 유용한 꼼수로 사용된다(!). 문제 제시법만 집합과 명제지 명제를 자세히 보면 그냥 수학Ⅰ 문제다. 사실상 수학Ⅱ의 가장 큰 벽.
  
• 이전 교육과정과 다르게 전체 문제 1/3 정도의 주요 설명 방식을 집합으로 차용하고 있다.
• 지수함수와 로그함수를 응용한 격자점 개수 세기 유형은, 미적분Ⅱ를 안 배우는 인문계열 범위에서 빠지게 되었지만 2017학년도 9월 평가원 모의고사에서 무리함수를 이용한 개수 세기 문제가 출제되었다.
• "점화식을 이용한 일반항 추론하기는 학습하지 않는다,"라고 나와있기 때문에 일부 고등학교의 내신 문제를 제외하면 이 부분이 수능에서 절대로 나올리는 없다.
• 1997학년도 대학수학능력시험, 2006학년도 대학수학능력시험, 2008학년도 대학수학능력시험, 2020학년도 대학수학능력시험에서 수학적 귀납법의 피보나치 수열에 관련된 문제가 나오기도 했다.

2.3. 여담

2.3.1. ‘집합과 명제’ 단원 배치 관련 논란

• 수긍 측 주요 의견: 학생들이 인스턴트식으로 이해하는 데에 있어서 큰 문제는 없다. 엄밀하게 교육하고 싶어하는 교육자 입장에서는 의아할 수도 있지만, 교수들이 교과서를 집필할 때는 절대로 배우지 않았던 개념을 통하여 설명하려 하지 않는다. 집합을 차용하여 설명하면 훨씬 쉬운 부분도 있겠지만 꼭 그렇지 않아도 서술할 방법은 얼마든지 있다는 것이다. 또, 중학교와 고등학교 모두 1학년 맨 첫단원에 배치되었던 관례를 이번에 깼기에 더욱 어색해보이는 것일 수도 있다. 즉, 어색함과 잘못됨은 엄연히 달리 봐야 한다는 것이다.
• 비판 측 주요 의견: 수학에서 가장 기본인 집합을 고등학교에 진학하고 나서 첫 번째로 배우지 않는 것은 교육과정 사상 최초이다. 원래 중학교 1학년 수학 맨 첫 단원에서 집합을 배웠고, 고등학교 1학년 수학 맨 첫 단원에서도 집합을 다시 배우는 구조였다. 하지만 중학교 과정에서 집합과 명제 단원을 삭제해버리고, 고등학교 1학년 2학기인 수학Ⅱ 과정으로 몰빵하였다. 물론 미뤄져봤자 고작 한학기 미뤄진 것 뿐이라고 할 수도 있지만, 수학I에서도 집합의 센스를 이용하는 개념이 있는 점 때문에 비판이 있다.

2.3.2. 교과명과 로마 숫자 Ⅰ, Ⅱ

• 7차 교육 과정: 분수·무리 방정식과 분수·무리 부등식, 함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법, 이차곡선, 공간 도형, 벡터
• 2007 개정 교육 과정 : 분수·무리 방정식과 고차·분수 부등식, 삼각함수, 함수의 극한과 연속, 다항함수와 초월함수의 미분
• 2009 개정 교육 과정 : 집합과 명제, 함수(유리함수와 무리함수), 수열, 지수와 로그