區 間 / interval
1. 일반적인 의미
어떤 지점과 다른 지점 사이.2. 수학에서의 구간
|
수학기초론 Foundations of Mathematics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수리논리학 | 논리 · 논증{ 귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{ 증명보조기 · 자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문( 조각적 정의) · 명제 논리( 명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리( 존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론 | ||
| 집합론 | 집합( 원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계( 동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍( 튜플) · 서수( 하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC( 선택공리) · 기수( 초한기수) · 절대적 무한 · 모임 | ||
| 범주론 | 범주 · 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 | ||
| 계산가능성 이론 | 계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수 | ||
| 정리 | |||
| 드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 완전성 정리 · 불완전성 정리( 괴델 부호화) · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리 | |||
| 기타 | |||
| 예비사항( 약어 및 기호) · 추상화 · 벤 다이어그램 · 수학철학 | |||
| 틀:논리학 · 틀:이산수학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
두 실수 a<b에 대해 a, b사이의 모든 실수의 집합을 구간이라 한다. 양 끝점 a, b를 포함 여부에 따라 열린 구간, 닫힌 구간으로 나눌 수 있다.
2.1. 닫힌 구간
closed interval, 폐구간(閉區間)이라고도 말한다.양 끝점인 a, b를 포함하는 구간을 닫힌 구간이라 한다. 대괄호를 이용해서 나타낸다.
[math(\left[a, b\right] = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x\leq b\right\})]
초등학교 수학, 중/고 부등식에서는 수직선에서 ●─● 같은 식으로 표현한다.
가장 자주 쓰는 닫힌 구간으로는 주치[1]가 있다. 다름 아닌 삼각함수와 미적분 때문이다.
대수학적 위상수학에서는 '단위구간(Unit interval)'이라고 해서 [math([0,1])]로 정의된 구간을 즐겨 쓴다.
2.2. 열린 구간
open interval, 개구간(開區間)이라고도 말한다.양 끝점인 a, b를 포함하지 않는 구간을 열린 구간이라 한다. 소괄호를 이용해서 나타낸다.
[math(\left(a, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|a< x< b\right\})]
[math(\left(a, +\infty\right) = \left\{x\in \mathbb R|a< x\right\})]
[math(\left(-\infty, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|x< b\right\})]
[math(\left(-\infty, +\infty\right) = \mathbb R)]
[math(\left(a, +\infty\right) = \left\{x\in \mathbb R|a< x\right\})]
[math(\left(-\infty, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|x< b\right\})]
[math(\left(-\infty, +\infty\right) = \mathbb R)]
초등학교 수학, 중/고 부등식에서는 수직선에서 ○─○ 같은 식으로 표현한다.
여기에 속하는 구간으로 0과 1 사이의 수가 있다.
2.3. 반열린구간, 반닫힌구간
반개구간(半開區間), 반폐구간(半閉區間)한쪽만 열린(닫힌) 구간을 말한다.
[math(\left(a, b\right] = \left\{x\in \mathbb R|a< x\leq b\right\})]
[math(\left[a, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x< b\right\})]
[math(\left(-\infty, b\right] = \left\{x\in \mathbb R| x\leq b\right\})]
[math(\left[a, +\infty\right) = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x\right\})]
[math(\left[a, b\right) = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x< b\right\})]
[math(\left(-\infty, b\right] = \left\{x\in \mathbb R| x\leq b\right\})]
[math(\left[a, +\infty\right) = \left\{x\in \mathbb R|a\leq x\right\})]
초등학교 수학에서는 수직선에서 ○─●, ●─○ 같은 식으로 표현한다.
이 구간이 잘 쓰이는 대표적인 예로 역삼각함수가 있다.
2.4. 구간의 크기
구간의 크기를 논할 때 [math(\|[a, b]\| > \|[a, b)\| = \|(a, b]\|> \|(a, b)\|)]로 착각하기 쉽지만 충격적이게도 이 네 개의 크기는 전부 같다. 수 1개의 측도가 0이기 때문이다.
[1]
[math([0,2\pi])]