|
수학기초론 Foundations of Mathematics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수리논리학 | 논리 · 논증{ 귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{ 증명보조기 · 자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문( 조각적 정의) · 명제 논리( 명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리( 존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론 | ||
| 집합론 | 집합( 원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계( 동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍( 튜플) · 서수( 하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC( 선택공리) · 기수( 초한기수) · 절대적 무한 · 모임 | ||
| 범주론 | 범주 · 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 | ||
| 계산가능성 이론 | 계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수 | ||
| 정리 | |||
| 드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 완전성 정리 · 불완전성 정리( 괴델 부호화) · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리 | |||
| 기타 | |||
| 예비사항( 약어 및 기호) · 추상화 · 벤 다이어그램 · 수학철학 | |||
| 틀:논리학 · 틀:이산수학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
| TED의 영상 |
| Veritasium의 영상 |
1. 개요
수학자 다비드 힐베르트가 제기한 역설. 힐베르트의 무한 호텔 역설(Hilbert's Paradox of the Grand Hotel)으로도 불린다. 무한대의 특성을 직관적으로 보여주는 예시이다. 힐베르트가 직접 출판하진 않았지만 1924년 1월 괴팅겐에서 강의를 통해 이 역설을 언급했다.[1] 이후 1948년 조지 가모프의 책 '1, 2, 3 그리고 무한'에 등장한 것을 계기로 수학이나 물리학을 소재로 한 글에서 무한의 성질을 나타내는 예시로 널리 쓰이게 되었다.2. 특성
힐베르트는 ''객실 수가 무한한 호텔이 있으며 이 호텔의 모든 객실은 차 있어서 빈 방이 없다'고 가정했다. 일반적인 호텔이라면 객실이 가득 차 있을 경우 새로운 손님이 왔을 때 빈 방을 마련하는 것이 불가능하다. 하지만 힐베르트의 호텔은 객실 수가 무한하므로, 즉 '끝 방'이라는 게 없으므로, 1번 방의 손님을 2번 방으로, 2번 방의 손님을 3번 방으로, [math(n)]번 방의 손님을 [math((n+1))]번 방으로 옮기는 식으로 모든 투숙객을 원래 있던 방의 바로 옆 방으로 옮기도록 하여, 언제나 빈 방을 마련할 수 있다.여러 명, 즉 [math(m)]명의 손님이 온 경우에도 간단히 모든 투숙객을 [math(+m)]번 방으로 옮기면 된다. 즉, [math(n)]번 방의 손님을 [math((n+m))]번 방으로 옮기면 된다.
힐베르트의 호텔에 무한히 많은 손님을 태운 버스가 와서 빈 방을 마련해야 할 때에는, 1번 방의 손님을 2번 방으로, 2번 방의 손님을 4번 방으로 보내는 식으로 모든 투숙객에게 객실 번호의 두 배가 되는 방으로 옮기도록 지시하면 무한한 홀수의 빈 방을 마련할 수 있다. 수식으로 나타내면 다음과 같다. 우선, 호텔의 [math(n)]번 방의 손님을 [math(2n)]번 방으로 옮긴다. 그리고 버스의 승객들에게 번호표를 주고, [math(m)]번 번호표를 가진 승객을 호텔의 [math((2m-1))]번 방에 묵게 하면 된다.
마지막으로, 무한히 많은 손님을 태운 버스가 무한히 많이 와서 그 손님들의 빈방을 마련해야 할 때는 좌표평면의 격자점을 이용하면 된다. 일단 투숙객들에게 빨간색 번호표와 파란색 번호표를 준다. 빨간 번호표에는 1이 쓰여 있고 파란 번호표에는 자기가 묵었던 방 번호가 쓰여 있다. 그 다음, 버스를 차례로 2호차, 3호차, 4호차, ..., [math(x)]호차, ...라고 부르고(1호차는 없다.), 각 호차 버스 안의 승객들에게 호차 번호가 적힌 빨간 번호표를 준다. 그리고 각 호차 버스 내의 승객들에게 각각 자기 승차번호가 적힌 파란 번호표를 준다.[2] 모든 번호표를 다 줬다면, 빨간색 [math(x)]번 파란색 [math(y)]번 번호표를 가진 사람[3]을 호텔의 [math(\dfrac{(x+y)(x+y-1)}2+1-x)]번 방에 묵게 하면 된다.
그 외에 다양한 패턴의 손님들이 들어와도 계속 방을 줄 수 있다는 이론이다.
위 영상에도 언급되지만 이 경우는 작은 범위의 무한만을 생각하는 경우에 해당된다. 위의 상황에서 다룬 경우는 어디까지나 자연수의 무한에만 해당되는 것이다. 자연수의 집합을 제외한 실수 범위까지 포함하게 되면 위와 같은 일반적인 사고로는 해결할 수 없게 된다.[4]
[1]
Helge Kragh,
The True (?) Story of Hilbert's Infinite Hotel
[2]
예를 들어서 2호차 안에 파란색 10번 번호표를 가진 승객이 있고, 3호차 안에 파란색 10번 번호표를 가진 승객이 있다. 어차피 다른 호차 버스에 탄 승객이면 빨간색 번호표의 번호가 다르므로, 모든 버스의 모든 승객을 한데 모아도 각각 전부 다른 조합의 번호표를 갖게 된다.
[3]
[math(x=1)]이라면 기존 호텔 투숙객이다.
[4]
대각선 논법에 의해 실수 범위의 무한은 자연수의 무한보다 크기 때문에 힐베르트 호텔에 수용할 수 없다.