|
수학기초론 Foundations of Mathematics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수리논리학 | 논리 · 논증{ 귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{ 자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문( 조각적 정의) · 명제 논리( 명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리( 존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론 | ||
| 집합론 | 집합( 원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계( 동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍( 튜플) · 서수( 하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC( 선택공리) · 기수( 초한기수) · 절대적 무한 · 모임 | ||
| 범주론 | 범주 · 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 | ||
| 계산가능성 이론 | 계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수 | ||
| 정리 | |||
| 드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 완전성 정리 · 불완전성 정리( 괴델 부호화) · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리 | |||
| 기타 | |||
| 예비사항( 약어 및 기호) · 추상화 · 벤 다이어그램 · 수학철학 | |||
| 틀:논리학 · 틀:이산수학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
1. 개요
絶 對 的 無 限, absolute infinite절대적 무한이란, 게오르그 칸토어가 정의한 개념으로, 모든 초한수 가운데서도 가장 큰 무한을 일컫는다. #
참고로 가장 큰 서수는 그 자체로 모순이므로, 자연스레 이보다 더 큰 기수가 되는데, 이 또한 ZFC 공리계를 비롯한 대부분의 표준 공리적 집합론에서 모순이다. 사실 여기까지 갈 것도 없이, 칸토어의 소박한 집합론에서도 자기 자신을 원소로 가지는 집합은 존재할 수 없다. 러셀의 역설 참고.
체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)가 1897년에 발견한 부랄리포르티 역설(Burali-Forti paradox)에 따르면, 모든 순서수의 모임은 집합을 이룰 수 없다. 가장 큰 서수라는 개념이라는 게 그 자체로 모순이기 때문이다.
따라서, 순서수 [math(\omega)]를 '[math(\omega)]보다 작은 순서수들의 집합'으로 정의하자. 예를 들어, [math(0=\varnothing)], [math(1=\{0\})], [math(2=\{0,1\})], [math(\cdots)] 따위이다. 모든 순서수의 모임 [math({\rm On})]이 집합이라고 하자. 그렇다면 [math({\rm On})]자체도 또한 순서수가 된다. 따라서 그 바로 다음 수 [math({\rm On}+1)]이 존재하고, 이는 [math({\rm On})]보다 크다. 그러나, [math({\rm On})]은 모든 순서수를 포함하므로 [math({\rm On}+1)]도 그 원소가 되며, 다음의 역설이 발생한다.
[math(
{\rm On} < {\rm On}+1 < {\rm On}
)]
따라서, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다.
이를 발견한 체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)의 이름을 따 부랄리포르티 역설(Burali-Forti paradox)이라고 한다.
다만, 콰인의 새 기초론(New Foundations)에 의하면, 모든 집합들의 집합을 허용하면서 러셀의 역설도 회피할 수 있다.
원초(urelement)의 존재를 허용하는, 새 기초론의 중요한 변형 중 하나인 NF(U)에서는 페아노 산술과의 상대적 무모순성도 증명된다.
참고로 게오르그 칸토어가 절대적 무한(기호: Ω)과 구분하기 위해 상대적 무한(relative infinite, 기호: ω)에 붙인 이름이 바로 초한수(transfinite number)다.
-
Ω와 ω는 각각 그리스 문자 오메가의 대문자와 소문자이다.
수학적 확률이 0인 사건이 일어나기까지 시도하는 횟수가 절대적 무한이며 임의의 실수를 절대적 무한으로 나누면 0이 된다.
또한 무한소수에서의 소수점 아래의 숫자의 개수도 절대적으로 무한하며 절대적 무한에 임의의 실수를 더하거나 빼거나 곱하거나(0 제외) 나눠도 절대적 무한 그대로이다.