1. 개요
Laplace transform라플라스 변환은 수학자 라플라스의 이름을 따서 이름지어졌다. 라플라스가 현재 Z-변환이라 불리는 비슷한 변환을 확률론에서 사용했기 때문. 현재 사용되는 라플라스 변환은 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside), 토마스 브롬위치(Thomas John I'Anson Bromwich), 구스타프 도이치(Gustav Doetsch) 등의 많은 학자들의 기여로 완성되었다.
라플라스 변환에는 미분 방정식을 푸는 데 매우 유용한 도구가 되는 중요한 속성과 정리가 많이 있기에 매우 중요하다.
2. 수식
[math(\displaystyle F\left(s\right) = \mathcal{L}\left\{ f\right\} \left(s\right) \equiv \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt)]라플라스 변환을 나타내는 기호는 [math(\mathcal{L})]이다. 라플라스 변환 대신 라그랑지언을 이 기호로 쓰기도 한다. 저 이상적분식은 최종적인 결과가 s에 관한 함수로 나온다. 사실 변수를 굳이 s가 아니라 x,t 뭘 쓰든 상관 없다.
적분 구간이 0에서 부터 시작하는 것과 음의 무한대에서 시작하는 것 두가지 버전이 있는데, 전자를 unilateral Laplace transform, one-sided Laplace transform이라 부르고 후자를 bilateral Laplace transform, two-sided Laplace transform 이라 부른다.
3. 원리
간단하게 설명하자면 미분방정식을 다른 '공간'으로 변환시켜 더 단순하게 만든 후, 이를 풀어내는 기법. 즉 A공간에서는 매우 풀기 어려운 식을 B공간에서는 단순한 사칙연산으로만 구할 수 있다. 즉 A->B로 식을 가져간 뒤 풀고 다시 내가 있는 A공간으로 오기 위해 B->A공간으로 가져오는데 이때 이용하는 통로를 라플라스 변환이라고 한다. 미분방정식의 eigenvalue(고유값)만 따서 계산하는 기법이라고 할 수 있다.[1]선형 미분방정식의 초기치 문제에서는 가히 로피탈의 정리급 위력을 발휘하는 사기기술로, 어지간히 손대기도 힘든 2계 미분방정식[2]도 이 녀석을 동원하고 적당히 라플라스 역변환을 시켜주면 근을 구해낼 수 있다. 다만 역변환[3]은 따로 공식이 있긴 하지만 복소해석학을 배워야 해서 어렵기 때문에 대신 부분분수분해를 통해 함수를 간단히 만든 후 라플라스 변환 표를 보고 적당히 역변환을 추리하는 것이 일반적이다.[4] 또한 선형 편미분방정식도 경계가 반무한(semi-infinite) 또는 양쪽 다 무한(infinite)이라면 풀 수 있다.
원래 라플라스 변환은 자연계의 운동들, 예를 들면 포락선(envelope) 같은 감쇠 현상을 설명하기 위해 고안된 개념이다. 위 공식에서 복소수 [math(s = \sigma+i\omega)]라는 걸 생각해보자. 여기에서 [math(\sigma)]과 [math(\omega)]는 실수이며 [math(i)]는 허수단위다. [math(s)]는 상수 [math(e)] 를 밑으로 한 지수인데, 지수 법칙을 이용해 이를 실수부와 허수부로 분리할 수 있다. 실수부는 감쇠를, 허수부는 오일러 공식에 의해 정현파(사인함수와 코사인함수) 형태로 표현된다. 이 둘을 곱하면 감쇄하는 진동운동이 표현된다.[5] 실수부 값에 따라 주어진 적분이 수렴하여 라플라스 변환이 존재할 수도 있고, 적분이 발산하여 라플라스 변환이 존재하지 않을 수도 있다. 이를 규정하는 기준을 수렴구간(ROC: Region Of Convergence)이라고 한다.
라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정을 개략적으로 설명하면
- t-공간에서의 복잡한 미분방정식
- 1.의 방정식을 적절하게 라플라스 변환
- s-공간에서의 본래 식보다는 간단한[6] 대수방정식 혹은 미분방정식(1의 미분방정식보다는 간단하다.)
- 3.의 해를 다시 적절하게 라플라스 역변환
- t-공간에서의 미분방정식의 해
즉 t-공간에서의 결과물을 얻기 위해, 가상의 s-공간에서 무언가를 수행하는 방법이라 하겠다. 더 쉽게 말하면, 복잡한 녀석을 이해하기 일단 이해하기 쉬운 녀석으로 바꿔서 처리한 뒤, 그것을 다시 되돌려서 원래 의미를 알아내는 방법이라고 생각하면 된다.
하지만 이렇게 해서 풀 수 있는 것은 어디까지나 선형 미분방정식에 국한된다.[7] 비선형 방정식은 특별한 경우[8]가 아닌 이상 수치해석을 믿을 수밖에 없다.
4. 사용
미분방정식은 계수(order)가 높아질수록 해를 구하는 것은 거의 불가능하기 때문에 라플라스 변환을 사용한다. 주어진 미분방정식(differential equation)을 곧바로 푸는 것이 아니라 먼저 라플라스 변환한 후 대수방정식(algebraic equation)의 해를 구하고 다시 역변환하는 것이다. 이 방법을 적용하면 '일정 주기를 갖고 반복되는 함수형'(sin, cos, sinh, cosh 등)의 해를 그저 유리식의 사칙연산 수준만으로 구할 수 있어서 신호 처리 등에 유용하다. 이 목적을 위하여 원래 함수-변환된 함수를 세트로 모아놓은 표가 있다. 이름하여 라플라스 변환 표. 표 안에 세트가 수십 개 정도 있다.주로 공과대학에서 공업수학을 통해 처음 배우며, 이후 회로이론, 제어공학, 신호 및 시스템 등의 과목에서 활용한다. 수많은 미분방정식을 풀어낼 때 유용하게 쓰이기 때문에 전자공학과 기계공학 전공자라면 어느 정도는 반드시 알아둬야 할 변환법이다. 수학과의 경우 미분방정식이라는 과목에서 배우게 된다.
라플라스 변환의 이산 버전으로 Z-변환(Z-transform)이라는게 있는데, 이는 차분방정식(difference equation)을 대수방정식(algebraic equation)으로 바꿔준다. 대부분의 성질이 라플라스 변환과 유사하며, 주로 디지털 시스템을 다루는 데 사용된다.
5. 구하는 방법
만약에 수학과라면 변환과 역변환의 과정을 직접 계산해서 보여야 할 일이 많을 것이다.[9] 이 문단에선 라플라스 변환 및 역변환에 관한 기술을 설명한다.5.1. 라플라스 변환 표
[math(F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}(s) = \left(\mathcal{L}f\right)(s) )]같이 다양한 표기가 통용된다. [math(s)]는 라플라스 연산자, [math(\omega)]는 시간 [math(t)]의 계수다.| 함수 | [math(f(t))] | [math(F(s))] | ROC(수렴영역) |
| 디랙 델타 함수[10] | [math(\delta(t))] | [math(1)] | 모든 [math(s)] |
| 단위 계단 함수[11][12] | [math( u(t))] | [math(s^{-1})] | [math(\Re(s) > 0)] |
| 단위 램프 함수 | [math(t u(t))] | [math(s^{-2})] | [math(\Re(s) > 0)] |
| 위 함수를 포함한 n승꼴의 함수 | [math(t^n u(t))] | [math( \dfrac{n!}{s^{n+1}})] | [math(\Re(s) > 0, n > -1)] |
| 지수함수 | [math(e^{-at}u(t))] | [math(\dfrac{1}{s+a})] | [math(\Re(s) > -a)] |
| 사인 함수 | [math(f(t) = \sin(\omega t) u(t))] | [math(F(s) = \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2})] | [math(\Re(s) > 0)] |
| 코사인 함수 | [math(f(t) = \cos(\omega t) u(t))] | [math(F(s) = \dfrac{s}{s^2+\omega^2})] | [math(\Re(s) > 0)] |
| 지수적으로 감쇄하는 사인 함수 | [math(f(t) = e^{-at} \sin(\omega t) u(t))] | [math(F(s) = \dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2})] | [math(\Re(s) > -a)] |
| 지수적으로 감쇄하는 코사인 함수 | [math(f(t) = e^{-at} \cos(\omega t) u(t))] | [math(F(s) = \dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2})] | [math(\Re(s) > -a)] |
| 쌍곡 사인 함수 | [math(f(t) = \sinh(\omega t) u(t))] | [math(F(s) = \dfrac{\omega}{s^2-\omega^2})] | [math(\Re(s) > |\omega|)] |
| 쌍곡 코사인 함수 | [math(f(t) = \cosh(\omega t) u(t))] | [math(F(s) = \dfrac{s}{s^2-\omega^2})] | [math(\Re(s) > |\omega|)] |
5.2. 도함수
[math(\mathcal{L}\left\{f'\left(t\right)\right\} = s\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-f\left(0\right))]
증명|
[math(\displaystyle F\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt)] [math(\begin{matrix} \mathcal{L}\left\{f'\left(t\right)\right\}&=&\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-st}f'\left(t\right)dt\\&=&\displaystyle\left[e^{-st}f(t)\right]_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt\\&=&\displaystyle s\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-f\left(0\right)+\lim_{t\to\infty}e^{-st}f(t)\end{matrix})] 이때 [math(\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\})]가 계산 가능하기 위해 [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}e^{-st}f(t)=0)]이 선행되어야 하므로, [math(\mathcal{L}\left\{f'\left(t\right)\right\} = s\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-f\left(0\right))]라는 원하는 결과를 얻게 된다. |
이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 수학적 귀납법을 이용하면 할 수 있다.
[math(\mathcal{L}\left\{f^{\left(n\right)}\left(t\right)\right\} = s^{n}\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-s^{n-1}f\left(0\right)-s^{n-2}f'\left(0\right)-\cdots-f^{\left(n-1\right)}\left(0\right))]
5.3. 함수와 다항식의 곱
[math(\mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\} = F'\left(s\right))]
예시: [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{te^{at}\right\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right) = \frac{1}{\left(s-a\right)^2})]
증명예시: [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{te^{at}\right\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right) = \frac{1}{\left(s-a\right)^2})]
|
[math(\displaystyle F\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt)] [math(\displaystyle F'\left(s\right) = \int_{0}^{\infty} (-t)e^{-st} f(t) dt = \mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\})] |
이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 수학적 귀납법을 이용하면 할 수 있다.
[math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{t^{n} f(t)\right\} = (-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s))]
아래와 같이 변형할 수도 있다.
[math(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = -\frac{1}{t}\mathcal{L}^{-1} \left\{ F'(s) \right\})]
예시: [math(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(1-\frac{a^2}{s^2}\right)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(s^2-a^2\right)-2\ln s\right\} = \frac{2}{t}-\frac{2\cosh\left(at\right)}{t})]
예시: [math(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(1-\frac{a^2}{s^2}\right)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(s^2-a^2\right)-2\ln s\right\} = \frac{2}{t}-\frac{2\cosh\left(at\right)}{t})]
5.4. 주파수 평행이동
[math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\} = F(s-a))]
예시: [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}\sin\left(wt\right)\right\} = \frac{w}{\left(s-a\right)^2 +w^2})]
증명예시: [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}\sin\left(wt\right)\right\} = \frac{w}{\left(s-a\right)^2 +w^2})]
| [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt = \int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t} f(t)dt = F(s-a))] |
5.5. 몫 형태
함수 [math(f(t))]의 라플라스 변환과 [math(\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{f\left(t\right)}{t})]가 존재하면
[math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty} F(u)du )]
예시: [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{\cos(at)-1}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty}\frac{u}{u^2+a^2}-\frac{1}{u}du = -\ln\sqrt{1+\frac{a^2}{s^2}})][13]
[math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty} F(u)du )]
예시: [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{\cos(at)-1}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty}\frac{u}{u^2+a^2}-\frac{1}{u}du = -\ln\sqrt{1+\frac{a^2}{s^2}})][13]
증명
| [math(\displaystyle \int_{s}^{\infty} F(u)du = \int_{s}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-ut} f(t) dtdu = \int_{0}^{\infty} \int_{s}^{\infty}e^{-ut} f(t) dudt = \int_{0}^{\infty} f(t) \int_{s}^{\infty} e^{-ut} dudt = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}e^{-st} f(t) dt = \mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\})][14] |
5.6. 합성곱(Convolution)
함수 [math(f, g)]가 주어졌을 때, Convolution [math(\left(f*g\right)\left(t\right))]를 [math(\displaystyle \int_{0}^{t}f\left(t-u\right)g\left(u\right)du)]로 정의한다.이 convolution은 몇 가지 성질이 있는데 다음과 같다.
- [math(f*0 = 0 = 0*f)] (영원)
- [math(f*g = g*f)] ( 교환법칙)
- [math(f*(g+h) = f*g + f*h)] ( 분배법칙)
- [math(f*(g*h) = (f*g)*h)] ( 결합법칙)
특히 중요한 것은 아래 정리로, 라플라스 역변환을 할 때 자주 쓰인다.
정리: [math(\mathcal{L}\left\{f*g\right\} = \mathcal{L}\left\{f\right\}\times \mathcal{L}\left\{g\right\})]
예시: [math(\displaystyle \frac{1}{\left(s^2+1\right)^2} = \mathcal{L}\left\{\sin t \right\}\times \mathcal{L}\left\{ \sin t \right\} = \mathcal{L}\left\{(\sin *\sin) t \right\})]
[math(\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{ \left(s^2+1\right)^2} \right\} = \int_{0}^{t}\sin\left(t-u\right)\sin u du = \frac{\sin t-t\cos t}{2})]
증명예시: [math(\displaystyle \frac{1}{\left(s^2+1\right)^2} = \mathcal{L}\left\{\sin t \right\}\times \mathcal{L}\left\{ \sin t \right\} = \mathcal{L}\left\{(\sin *\sin) t \right\})]
[math(\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{ \left(s^2+1\right)^2} \right\} = \int_{0}^{t}\sin\left(t-u\right)\sin u du = \frac{\sin t-t\cos t}{2})]
|
좌변 = [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t} f(t-u) g(u) dudt = \int_{0}^{\infty}\int_{u}^{\infty}e^{-su}g(u) e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu = \int_{0}^{\infty}e^{-su}g(u) \int_{u}^{\infty}e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu)] [15] [math(\xi = t-u)]라 치환하면, [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-su} g(u) \int_{0}^{\infty}e^{-s\xi} f(\xi) d\xi du)] = 우변 |
5.7. 역변환
함수 [math(f)]의 라플라스 변환이 [math(g)]라고 하면, 다음이 성립한다.| [math(f(t)=\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma -i\infty}^{\sigma+i\infty}g(s)e^{st}ds)] |
[1]
선형대수학에서의 선형 변환(linear transformation), 맵핑과 똑같다! 실제로 라플라스 변환을 공부할 때 라플라스 변환은 선형 연산(linear operation) 가능하다고 나올 것이다.
[2]
second order differential equation.
[3]
푸리에-멜린 적분 변환이라고도 한다.
[4]
실용적인 목적에도 이쪽이 더 낫다. 라플라스 역변환은 이론적인 토대를 제공할 뿐이지, 실제로 계산하기에는 애로사항이 많다.
[5]
실수부를 [math(0)]으로 만들면
푸리에 변환이 되는데, 이는 감쇄하지 않는 진동운동을 의미한다.
[6]
진짜로 간단해진다. 본래 식이 간단하면 라플라스를 쓰지 않고 그냥 푸는 게 빠르다.
[7]
라플라스 변환은 선형 연산자(linear operator)이다. 따라서 선형 연산이 성립하지 않는 비선형 미분방정식에 대해서는 적용할 수 없다.
[8]
풀이가 존재하는
베르누이 미분방정식같은 경우
[9]
수학과가 아니라면 이 모든 계산을 다 할 필요는 없다.
[10]
단위 충격 함수라고도 한다.
[11]
디랙 델타 함수의 부정적분.
헤비사이드 계단 함수라고도 한다.
[12]
적분 구간이 0부터 무한대이기 때문에 [math(u(x))]이든 [math(x)]든 상관이 없다. 다른 말로 임의의 [math(f)]나 0이나 양수일때 [math(f)]이고 음수일때 다른 함수이어도 라플라스 변환은 같다는 뜻이다.
[13]
[math(a\neq0)]일경우. 또한 극한값이 존재한다는 것도 따로 보여야 한다
[14]
푸비니의 정리를 사용한다.
[15]
적분 순서의 변경과 푸비니의 정리 사용