1. 일반적인 인식
無 限 小 / infinitesimal[1]무한소는 엡실론-델타 논법이 존재하기 이전에 극한을 설명 혹은 계산하기 위하여 여러 수학자들이 고안해낸 개념이다. 페르마는 극대·극소 문제를 풀기 위하여, adequality라는 개념을 도입하였고, 뉴턴은 시간에 따라 변화하는 함수의 순간변화율(뉴턴은 이를 fluxion이라 불렀다.)을 구하기 위해, 무한소를 이용하였다. 또한 라이프니츠는 함수의 접선의 기울기를 구하면서 미분소([math({\rm d}x)])라는 것을 만들었다. 그러나 수학적으로 엄밀하지 못하여 조지 버클리 등에게 비판을 받았다. 이후, 18세기 초에 코시, 볼차노와 바이어슈트라스가 엡실론-델타 논법을 개발하여 극한을 정의한 이후에 무한소의 '개념' 자체는 별 주목을 받지 못하고 역사의 기억으로 남게 된다.
하지만 엄밀함을 희생한다면 미분소 정도는 막상 써먹기는 편리하고, 지금도 수학자들이 아니면 [math({\rm d}x,\, {\rm d}y)] 등을 일종의 수처럼 자유롭게 쓰는 경우는 많다. 다행히도 미분소로만 쓰는 무한소의 의미는 현대수학에서 미분형식이란 이름으로 나름대로 엄밀하게 만들어졌고, 따라서 암묵의 룰을 지키며 주의해서 쓴다면 문제는 없다. 물론 해석학이 자리잡히지 않은 상태에서 이런 이야기를 들으면 오개념이 생기기 딱 좋기 때문에 현대의 미적분학 교육과정에선 무한소와 미분소 얘기를 100% 배제하는 경향이 있다.
2. 초실수체에서의 무한소
20세기 후반에 아브라함 로빈슨 등이 무한소와 무한대를 포함시키도록 실수체를 확장한 초실수체(hyperreal)[2]를 도입하여 극한, 미분, 적분 등을 설명하는 비표준 해석학을 개발하였다. 일단 무한소와 초실수체에 대한 존재를 마음속으로 받아들이면 미적분학이 굉장히 직관적이 되지만, 무한소와 초실수체 자체를 이해하려고 한다면, 엡실론-델타 논법을 이해하는 것보다 훨씬 어렵고 공부를 많이 하여야 한다. 초실수체 문서도 참고하는 것이 좋다.2.1. 무한소
초실수체에서 무한소란 다음 셋 중 하나이다.[3]- 양의 무한소 : 0보다는 크면서 임의의 양의 실수보다 작은 초실수이다.[4]
- 음의 무한소 : 0보다는 작으면서 임의의 음의 실수보다 큰 초실수이다.
- [math(0)] : 우리가 아는 덧셈에 대한 항등원, 그거 맞다.[5]
물론 양의 무한소와 음의 무한소는 하나만 있는게 아니라 셀 수 없이 많다. [math(\epsilon)]과 [math(\delta)]가 양의 무한소이면 [math(2\epsilon)], [math(\epsilon^{2})], [math(\epsilon+\delta)], [math(\epsilon\delta)]등도 양의 무한소이다. 또한, 0은 말그대로 0이기 때문에 0으로 나눌수는 없지만, 양의 무한소, 음의 무한소는 0이 아니기 때문에 나누기도 가능하다. 예컨데, [math(\alpha)]와 [math(\beta)]가 양의 무한소이면, 그의 역수인 [math(1/\alpha)]과 [math(1/\beta)]은 양의 상대적 무한대[6]이다.
무한소는 덧셈, 곱셈, 뺄셈에 대하여 닫혀있지만, 나눗셈에 대하여는 닫혀있지 않다. 즉, 임의의 두 무한소 [math(\epsilon)], [math(\delta)]에 대하여
- [math(\epsilon+\delta)]
- [math(\epsilon-\delta)]
- [math(\epsilon\times\delta)]
- [math(\epsilon \div \epsilon^{2}=1/\epsilon)]은 무한대이다.
- [math(\epsilon^{2} \div \epsilon=\epsilon)]은 무한소이다.
- [math(\epsilon \div \epsilon=1 )]은 실수이다.
또한 임의의 유한 초실수 [math(a)]와 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대하여
- [math(a+\epsilon)]는 유한초실수이다.
- [math(a\times\epsilon)]는 무한소이다.
- [math(a\div \epsilon)]은 무한대이다.
임의의 두 초실수 [math(a,b)]에 대하여 [math(a-b)]가 무한소이면 [math(a)]와 [math(b)]를 한없이 가깝다고 한다.
유한초실수 [math(a)]가 주어졌을 때, [math(a)]에 한없이 가까운 실수가 유일하게 존재하는데, 이를 [math(a)]의 표준부분(standard part)이라고 하며, [math(st(a))]로 나타낸다.
[math(a=st(a)+\epsilon)]
을 만족하는 실수 [math(st(a))]와 무한소 [math(\epsilon)]이 유일하게 존재한다.배율이 [math(1/\epsilon)]인 무한소 현미경으로 관찰한 5 주변의 초실직선
2.2. 함수의 극한
함수 [math(f)]가, 실수 [math(c)]에 한없이 가깝지만 [math(c)]는 아닌 임의의 초실수 [math(x)]에 대하여 [math(f(x))][7]가 실수 [math(L)]에 한없이 가까우면, [math(x)]가 [math(c)]로 갈 때의 [math(f)]의 극한을 [math(L)]이라 한다. 즉, 임의의 0이아닌 무한소 [math(\Delta x)]에 대하여
[math(st(f(c+\Delta x))=L)]
이 성립하면 [math(\lim\limits_{x\to c}f(x)=L)] 이다. 예를들어 [math(f(x)=x^{2})]에 대하여 [math(x)]가 3으로 가면, 0이 아닌 임의의 아닌 무한소 [math(\Delta x)]에 대하여
[math(st(f(3+\Delta x))=st((3+\Delta x)^{2})=st(9+6\Delta x+\Delta x^{2})=9)]
이므로, [math(\lim\limits_{x\to 3}x^{2}=9)]이다.3. 관련 문서
[1]
인피니테시믈(/ˌɪnfɪnɪˈtesɪml/)로 발음한다.
[2]
존 호튼 콘웨이가 만든 초현실수(surreal number)와는 다르다.
[3]
0으로 한없이 다가가지만 0은 아니라든가 그런것이 아니다. 그냥 하나의 수인 것이다.
[4]
실수체의 원소를 실수라 하고, 초실수체의 원소를 초실수라 한다. 실수체는 초실수체의 부분집합이므로, 실수는 일종의 초실수이다.
[5]
양의 무한소가 양의 상대적 무한대의 역수라 하면 음의 무한소가 음의 상대적 무한대의 역수이듯이
음양 무관하게
절대적 무한의 역수이기도 하다.
[6]
임의의 유한 초실수보다 크고 양의 절대적 무한보다는 작은 초실수이다.
[7]
극한을 보려는 함수가 실함수이고, 여기서 x는 초실수이기 때문에 f(x)라는 식으로 쓰는 것은 약간의 넌센스가 있다. 1차논리로 기술된 f에 대한 참인 모든 명제를 다 만족하면서 정의역과 공역을 실수체에서 초실수체로 확장 된 함수 f*가 존재하여야 하는데,
전달원리(transfer principle)란 것에 의해 존재한다고 한다. 이를 f의 자연스러운 확장(natural extension)이라 한다.