1. 수학
臨 界 點 / critical point
함수의 미분계수가 0이거나 존재하지 않는 점을 함수의 임계점이라고 한다.
함수의 극값을 구하기 위해서 몇 가지 극점 후보[1]를 생각해야 하는데, 그 대부분은 임계점으로 구할 수 있다.
일반적으로, n차 다항함수는 많아야 n-1개의 임계점을 갖게 된다. 2차 함수는 1개, 3차 함수는 2개, 4차 함수는 3개... 같은 식. 여기서 '많아야'라는 말에 주목을 해야 하는데, 이차함수는 꼭짓점이라 부르는 1개의 임계점을 반드시 갖지만, 3차 이상의 함수는 n-2개 이하의 임계점을 가질 수도 있기 때문이다. 미분가능한 함수의 임계점의 개수는 그 도함수의 실근의 개수로 결정된다. m중근은 하나로 센다.
주의해야 할 것은 임계점이 극점 후보라는 것이지, 극값을 반드시 가진다는 뜻이 아니다.[2] 따라서 임계점을 구한 후에도 극값의 정의에 맞는지를 두고 더 생각해봐야 한다.
다변수함수에서의 임계점에 대한 내용은 다변수함수 문서 참고.
2. 물리학
물리학에서는 기상(gas)과 액상(liquid)의 구분이 사라지는 압력과 온도를 임계점이라고 한다. 임계점 밖에서 물질은 기체라고 할 수도 액체라고 할 수도 없는데, 이를 ' 초임계유체'라고 한다.
3. 기타
서브컬처에서는 사실상 마지노선과 동의어로 쓰고 있다. "임계점 돌파"라는 말이 적잖게 쓰이는 편.4. 관련 문서
[1]
대표적으로 그래프의 기울기가 바뀌는 지점인
변곡점.
[2]
아주 간단한 반례로 f(x)=x³을 들 수 있다. 도함수인 f'(x)=3x²이 0이 되는 지점에서 그래프가 x축에 접하므로 부호가 양에서 음으로 바뀌지 않는다. 따라서 f(x)는 그 '점'에서 증가를 잠시 멈췄다가 이내 다시 증가한다. 이때는 f(x)가 극값을 가지지 않으며, x=0은 임계점이지만 극점은 아니다.