1. 개요
Cantor set / 칸토어 集 合 / (독일어)Cantor-Menge실수에서 닫힌 구간 [math( \left[0, 1 \right] )]를 3등분해나가면서 가운데 것을 제거하는 작업을 반복하여 얻는 집합이다. 프랙털의 일종이기도 하며, 해석학 및 위상수학에서 특이한 예시를 만드는 데 사용되곤 한다.
2. 정의
[math( C_0 = \left[0, 1 \right] )]라고 하자. 이때 집합열 [math( \left( C_n \right))]을 다음과 같은 점화식으로 정의한다.
[math(\displaystyle C_{n+1} := \frac{1}{3}C_n \cup \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}C_n \right) = \left\{ \frac{x}{3} : x \in C_n \right\} \cup \left\{ \frac{2}{3} + \frac{x}{3} : x \in C_n \right\} )]
그러면 칸토어 집합 [math( C )]는 다음과 같은 집합이다.
[math(\displaystyle C = \bigcap_{n=0}^{\infty} C_n )]
3. 성질
3.1. 3진법 표현
위 정의에 따라 [math( \left( C_n \right))]은
[math( \displaystyle \begin{aligned} C_0 &= \left[0, 1 \right] \\ C_1 &= \left[0, \frac{1}{3} \right] \cup \left[\frac{2}{3}, 1 \right] \\ C_2 &= \left[0, \frac{1}{9} \right] \cup \left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3} \right] \cup \left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9} \right] \cup \left[\frac{8}{9}, 1 \right] \\ &\vdots\end{aligned} )]
과 같은 식으로 나아간다. 닫힌 구간 [math( \left[0, 1 \right] )]의 원소 [math(r)]를 3진법으로 다음과 같이 나타내었다고 하자.
[math(r=0.a_1 a_2 a_3 \cdots _{(3)})]
단, 이러한 3진법 표현을 유일하게 만들기 위해 1다음에 0 또는 2가 계속 이어지는 표현은 허용하지 않기로 한다.예를 들어 1/3의 경우
[math(\displaystyle \frac{1}{3} = 0.1000\cdots_{(3)} = 0.0222\cdots_{(3)} )]
에서 오직 [math(0.0222\cdots_{(3)} )]만 허용한다.2/3의 경우에는
[math(\displaystyle \frac{2}{3} = 0.2000\cdots_{(3)} = 0.1222\cdots_{(3)} )]
에서 오직 [math(0.2000\cdots_{(3)} )]만 허용한다.그러면 [math(r \in C_1)]일 때 [math(a_1 = 0 \ \text{or} \ 2)]이다.
마찬가지로 [math( C_2 )]에서 [math(r \in C_2)]이려면 [math(a_1 = 0 \ \text{or} \ 2)]이고, [math(a_2 = 0 \ \text{or} \ 2)]이어야 한다.[1]
이 과정을 반복하면, 칸토어 집합 [math( C )]는 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle C = \left\{ r \in \left[0, 1 \right] : r = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} , \ a_n = 0 \ \text{or} \ 2 \right\} )]
즉, [math( C )]의 모든 원소들은 0과 2만 나타나는 3진법 실수와 같다.이런 이유로 칸토어 집합을 Cantor ternary set이라고도 한다.
3.2. 원소의 개수
[math( C )]의 원소의 개수는 구간 [math( \left[0, 1 \right] )]의 원소의 개수와 같다. 0 또는 2의 값만을 가지는 수열 [math( \left( a_n \right) )]이 있을 때, [math( C )]의 원소들은 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} )]의 꼴로 나타내어지므로, 함수 [math( f: C \to \left[0, 1 \right] )]를 다음과 같이 정의할 수 있다.[2]
[math(\displaystyle f\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n /2}{2^n})]
그러면 [math( f )]는
전사함수가 된다. 따라서 [math(\displaystyle \text{card}(C) \geq \text{card}(\left[0, 1 \right]))]한편 [math( C )]는 [math( \left[0, 1 \right] )]의 부분집합이므로 [math( \text{card}(C) \leq \text{card}(\left[0, 1 \right]))]이고 슈뢰더-베른슈타인 정리에 의하여,
[math(\displaystyle \text{card}(C) = \text{card}\left( \left[0, 1 \right] \right) = 2^{\aleph_{0}} )]
이다. 한편 [math( C_n )]에서 구간의 끝점들을 모은 집합을 [math( D_n )]이라 하자. 즉, [math( D_n )]은
[math( \displaystyle \begin{aligned} D_0 &= \left\{0, 1 \right\} \\ D_1 &= \left\{0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right\} \\ D_2 &= \left\{0, \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}, 1 \right\} \\ &\vdots\end{aligned} )]
과 같은 식으로 정의된다. 이때 [math(\displaystyle D = \bigcup_{n=0}^{\infty} D_n )]라 하면 [math( D\subset C )]이다. 즉, [math( D )]는 [math( \left( C_n \right))]에서 구간의 끝점들을 전부 모은 집합이며, 이 점들은 모두 [math( C )]에 속한다. 그런데 각각의 [math( D_n )]은 유한집합이므로 [math( D_n )]들을 가산개 만큼 합집합한 [math( D )]는 가산집합이다. 따라서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \aleph_{0} = \text{card}(D) < \text{card}\left( C\setminus D \right) = 2^{\aleph_{0}}. )]
3.3. 길이
칸토어 집합을 만드는 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는 [math( \frac{1}{3} )], [math( \frac{2}{9} )], [math( \frac{4}{27} )], ...이다. 이렇게 빠지는 구간의 길이를 모두 합하면,[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right)=1 )] 이 된다.
따라서 칸토어 집합의 길이는 [math( 1 - 1 = 0)]으로 0이 된다. 즉, 칸토어 집합은 원소의 개수가 구간 [math([0, 1])] 혹은 실수전체와 같으면서도 길이가 0인 집합이다. 이와 같은 반직관적인 성질 때문에 반례로 자주 쓰인다.
한편, 칸토어 집합을 만드는 각 단계에서 각 구간의 1/3을 덜어내지 않고 점차 더 작은 길이를 덜어내도록 하면 칸토어 집합의 특이한 성질을 가지면서도 측도가 양수인 집합도 얼마든지 만들어낼 수 있다. 이를 뚱뚱한 칸토어 집합(fat Cantor set) 또는 스미스-볼테라-칸토어 집합(Smith-Volterra-Cantor set)이라고 하며 또다른 종류의 반례로 쓰인다.[3]
3.4. 칸토어 함수
칸토어 함수(Cantor function, 혹은 devil's staircase) [math(c: [0, 1]\to [0, 1])]는 칸토어 집합을 이용해 정의되는 함수로, 다음과 같은 반직관적인 성질을 갖는다.- [math(c(0) = 0, c(1) = 1.)]
- 칸토어 집합의 여집합에서 기울기가 0이다. 즉, 거의 모든 점에서(almost everywhere) 기울기가 0이다.
- 모든 점에서 연속이다. (다만 절대연속은 아니다.)
3.5. 위상수학
칸토어 집합은 완전 집합이면서, 제1범주 집합인데, 이런 집합을 Cantor discontiuum이라고 한다.
[1]
[math( C_n )]에 속하는 원소에 '1'이 나타나지 않도록 만들기 위한 규칙이다.
[2]
칸토어 집합을 3진법으로 표현했을 때 나타나는 모든 2를 1로 바꾸고 3진법을 2진법으로 바꾸는 함수.
[3]
뚱뚱한 칸토어 집합의 여집합([math([0,1])] 위에서만 생각할 때) 위에 를 적당히 복사-붙여넣기하면
리만적분 불가능한 유계 도함수를 갖는 특이한 미분가능한 함수를 얻을 수 있다.