1. 개요
바나흐 공간(Banach space/- 空 間/(폴란드어)Przestrzeń Banacha)은 완비성을 갖춘 노름공간이다. 바나흐 공간은 힐베르트 공간의 일반화로, 폴란드의 수학자인 스테판 바나흐가 고안했다.2. 정의
2.1. 노름공간
체 [math(\mathbb{K\in\{R, C\}})] 위의 벡터공간 [math(X)]에 대하여 다음을 만족시키는 범함수 [math(p)]를 반노름(seminorm)이라고 한다.
- 모든 [math(x,y\in X)]에 대하여 [math(p(x+y)\le p(x)+p(y))]
- 모든 [math(x\in X)]와 [math(\alpha\in\mathbb{K})]에 대하여 [math(p(\alpha x)=|a|p(x))]
다음을 추가로 만족시키는 반노름 [math(p)]를 노름(norm)이라고 한다.
- [math(p(x)=0)]이면 [math(x=0)]이다.
노름은 주로 기호 [math(\|\cdot\|)]를 사용해서 나타낸다. 노름을 갖춘 벡터공간 [math((X,\|\cdot\|))]에 대하여 함수 [math(d:X\times X\to[0,\infty))]를 [math(d(x,y)=\|x-y\|)]로 정의하면 [math(d)]는 [math(X)] 위의 거리함수로, [math(X)]는 거리공간이다. 이와 같이 노름으로부터 유도된 거리 구조를 갖는 위상벡터공간을 노름공간이라고 한다.
2.2. 바나흐 공간
노름으로부터 유도된 거리에 대한 완비성을 갖춘 노름공간을 바나흐 공간이라고 한다. 즉, [math(\mathbb{K})]-노름공간 [math((X,\|\cdot\|))]가 바나흐 공간일 필요충분조건은 [math(X)]의 임의의 코시열 [math(\{x_n\}_{n=1}^\infty)]의 극한 [math(x)]가 [math(X)]에 존재하는 것이다. 이는 임의의 [math(\epsilon>0)]이 주어졌을 때 다음을 만족시키는 [math(N\in \mathbb{N})]이 존재함을 의미한다.[math(n>N\Rightarrow\|x-x_n\|<\epsilon)]
2.3. 선형 부분공간
[math(\mathbb{K})]-바나흐 공간 [math(X)]의 부붅집합 [math(M)]이 임의의 [math(x,\ y\in M)]와 [math(\alpha,\ \beta\in\mathbb{K})]에 대하여[math(\alpha x+\beta y \in M)]
을 만족시키면 [math(M)]을 [math(X)]의 선형 다양체(linear manifold)라고 하며, 선형다양체 [math(M)]이 [math(X)]의 닫힌 부분집합일 경우 [math(M)]을 선형 부분공간(부분공간, 닫힌 부분공간, linear subspace, subspace, closed subspace)라고 한다. [math(M)]이 [math(X)]의 선형부분공간인 경우 [math(M\le X)]로 표기한다.노름공간 [math(X)]의 선형 부분공간 [math(M)]에 대하여 [math(M+N=X)], [math(M\cap N =\{0\})]을 만족시키는 [math(N\le X)]가 존재하면 [math(M)]을 대수적 여공간을 갖는 부분공간(algebraically complemented subspace)이라고 한다. 노름공간 [math(X)]의 서로 대수적 여공간인부분공간 [math(M, N)]에 대하여 [math(T:M\bigoplus_1 N\to X)]를 [math(T(m\oplus n)=m+n)]이라 하면 [math(T)]는 전단사 선형사상이다. [math(T)]가 위상동형사상이면 [math(M. N)]을 위상적 여공간을 갖는 부분공간(topologically complemented subspace)이라고 한다. 닫힌 그래프 정리에 의해 노름공간 [math(X)]가 바나흐 공간이면 대수적 여공간을 갖는 부분공간은 위상적 여공간을 갖는 부분공간이므로 두 용어를 구분하지 않고 여공간을 갖는 부분공간(complemented subspace)라고 한다.
2.4. 샤우데르 기저
[math(\mathbb{K})]-바나흐 공간 [math(X)]의 점렬 [math(\{e_n\}_{n=1}^\infty\subset X)]가 임의의 벡터 [math(x\in X)]에 대하여[math(\displaystyle x=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n e_n)]
을 만족시키는 수열 [math(\{\alpha\}_{n=1}^\infty\subset\mathbb{K})]을 가지면 점렬 [math(\{e_n\}_{n=1}^\infty)]을 [math(X)]의 샤우데르 기저(Schauder basis)라고 한다. 모든 [math(n\in\mathbb{N})]에 대하여 [math(\|e_n\|=1)]인 샤우데르 기저 [math(\{e_n\}_{n=1}^\infty)]를 정규 샤우데르 기저(normal Schauder basis)라고 한다. 샤우데르 기저의 급수 표현은
절대수렴하지 않을 수 있으므로 샤우데르 기저는 순서를 고려해야 한다. 하멜 기저와 달리 바나흐 공간은 샤우데르 기저를 갖지 않을 수 있다.2.5. 동형사상
두 바나흐 공간 [math(X, Y)]에 대하여 위상동형사상인 선형 전단사 사상 [math(T:X\to Y)]를 동형사상(isomorphism)이라고 한다.2.6. 쌍대공간
[math(\mathbb{K})]-노름 공간 [math(X)]의 유계 선형범함수의 공간, 즉 [math(\mathcal{B}(X,\ \mathbb{K}))]를 [math(X)]의 쌍대공간(dual space)이라고 하며, [math(X^*)]로 표기한다. 유계 선형범함수 공간 [math(\mathcal{B}(X,\ Y))]의 완비성은 [math(Y)]의 완비성에 따라 결정되며 [math(\mathbb{K})]는 완비 공간이므로 [math(X^*)]는 바나흐 공간이다.노름공간 [math(X)]의 쌍대공간 [math(X^*)]는 바나흐 공간이므로 쌍대공간 [math(X^{**}:=(X^*)^*)]를 갖는다. 이를 [math(X)]의 이중 쌍대공간(double dual sapce, second dual space)라고 한다. 한 [math(x\in X)]에 대하여 각 [math(x^*\in X^*)]를 [math(x^*(x))]로 대응시키는 사상 [math(\hat{x}:X^*\to\mathbb{K})]는
[math(\hat{x}(\alpha x_1^*+x_2^*)=(\alpha x_1^*+x_2^*)(x)=\alpha x_1^*(x)+x_2^*(x)=\alpha\hat{x}( x_1^*)+\hat{x}(x_2^*))]
이므로 선형사상이고, 임의의 [math(x^*\in X^*)]에 대하여 [math(|\hat{x}(x^*)|=|x^*(x)|\le\|x\|_X\cdot\|x^*\|_{X^*})]
이므로 유계이며,
한-바나흐 정리에 의해 [math(\|\hat{x}\|_{X^{**}}=\|x\|_X)]이다. 따라서 [math(X)]에서 [math(X^{**})]로의 사상 [math(x\mapsto \hat{x})]는 [math(X)]를 [math(X^{**})]에 매장하는 등장사상이다. 일반적으로, [math(X)]와 [math(X^{**})]는 등장 동형이 아니며, [math(X)]와 [math(X^{**})]가 등장 동형인 경우, 즉[math(X^{**}=\left\{\hat{x}:x\in X\right\})]
이면 [math(X)]를 반사적(reflexive)이라고 한다.노름공간 [math(X)]와 선형부분공간 [math(M\le X)]에 대하여 [math(M^\perp)]을 다음과 같이 정의한다.
[math(M^\perp :=\left\{g\in X^*:g(M)=0\right\})]
여기서 [math(M^\perp)]은 바나흐 공간 [math(X^*)]의 닫힌 집합이므로 [math(M^\perp \le X^*)]이다.3. 연산
3.1. 몫 바나흐 공간
바나흐 공간 [math(X)]의 선형 부분공간 [math(M)]에 대하여 몫 집합 [math(X/M)]에 몫노름[math(\|x+M\|=\inf\left\{\|x+y\|:y\in M\right\})]
을 부여하면 [math(X/M)]은 바나흐 공간이다. 3.2. 곱 바나흐 공간
바나흐 공간족 [math(\{(X_i,\|\cdot\|_i):i\in I\})]와 [math(1\le p \le\infty)]에 대하여 범함수 [math(\|\cdot\|_p:\prod_{i\in I}X_i\to[0,\infty])]를[math( \|x\|_p=
\begin{cases}
\displaystyle
\left(\sum_{i\in I}\|x_i\|_i^p\right)^{1/p},&\text{if }1\le p<\infty\\
\sup_{i\in I}\|x_i\|_i,&\text{if }p=\infty
\end{cases})]
라 하자. \begin{cases}
\displaystyle
\left(\sum_{i\in I}\|x_i\|_i^p\right)^{1/p},&\text{if }1\le p<\infty\\
\sup_{i\in I}\|x_i\|_i,&\text{if }p=\infty
\end{cases})]
[math(\displaystyle\oplus_p X_i:=\left\{x\in \prod_{i\in I}X_i:\|x\|_p<\infty\right\})]
라 하면 [math(\oplus_p X_i)]는 노름 [math(\|\cdot\|_p)]를 갖춘 바나흐 공간이다.4. 성질
4.1. 완비성
노름공간 [math(X)]의 점렬 [math((x_n))]에 대하여 [math(\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|)]이 수렴하면 급수 [math(\sum_{n=1}^\infty x_n)]을 절대수렴하는 급수라고 한다. 절대수렴성 급수의 수렴은 노름공간의 완비성과 동치이다.|
증명 바나흐 공간 [math(X)]의 절대수렴 급수 [math(\sum_{n=1}^\infty x_n)]에 대하여 점렬 [math((S_N))]을 [math(S_N = \sum_{n=1}^N x_n)]으로 정의하면, [math(N, M \to \infty)] (단, [math(N>M)])일 때 [math(\displaystyle \begin{aligned} 이므로 점렬 [math((S_N))]은 코시열로 수렴한다. 즉, 급수 [math(\sum_{n=1}^\infty x_n)]은 수렴한다.\| S_N-S_M \| \le \sum_{M+1}^N \|x_n\| \to 0 \end{aligned} )] 반대로 노름공간 [math(X)]의 모든 절대수렴 급수가 수렴한다고 가정하면 [math(X)]의 코시열 [math((x_n))]에 대하여 각 [math(k \in \mathbb{N})]가 주어졌을 때 [math(m, n \ge n_k)]이면 [math({\| x_m-x_n \| < 2^{-k}})]를 만족시키는 [math(n_k\in\N)]가 존재한다. [math(X)]의 점렬 [math((y_k))]를 [math({y_1= x_1,\ y_k = x_{n_k} - x_{n_{k-1}}(k>1)})]로 정의하자. 그러면 [math(\begin{aligned} 이고 [math(\lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{k\to\infty} x_{n_k} = \sum_{k=1}^\infty y_k)]이므로 [math((x_n))]은 수렴한다. 즉, [math(X)]는 바나흐 공간이다.
\sum_{k=1}^\infty \|y_k\| &\le \|y_1\| +\sum_{k=1}^\infty 2^{-k} \\ &= \|x_1\|+1 < \infty\end{aligned})] |
4.2. 쌍대공간의 성질
4.2.1. 한-바나흐 정리
4.3. 몫공간과 부분공간의 성질
노름공간 [math(X)]와 [math(M\le X)]에 대하여 [math(X^*/M^\perp)]은 [math(M^*)]과 등장 동형이다. 또한 [math((X/M)^*)]은 [math(M^\perp)]과 등장 동형이다.4.4. 작용소의 성질
열린 사상 정리, 닫힌 그래프 정리, 균등 유계 원리 및 이들의 따름 정리를 증명하는 과정에서 베르 범주 정리가 활용된다.4.4.1. 열린 사상 정리
두 바나흐 공간 [math(X,\ Y)]의 연속 선형 전사 작용소 [math(T:X\to Y)]은 열린 사상이다. 즉, [math(X)]의 임의의 열린 집합 [math(U)]에 대하여 [math(T(U))]는 [math(Y)]의 열린 집합이다. 열린 사상 정리에 의해 바나흐 공간 사이의 유계 전단사 선형 변환은 위상동형사상으로, 유계인 역상을 갖는다.|
증명 [math(0\in X)]와 양수 [math(r)]에 대하여 [math(B_r:=B(0,\ r))]이라 하자. [math(X=\bigcup_{n=1}^\infty B_n)]이고 [math(T)]가 전사이므로 [math(Y=\bigcup_{n=1}^\infty T(B_n))]이다. [math(Y)]는 완비공간이고 [math(y\mapsto ny)]는 [math(T(B_{2^{-1}r}))]을 [math(T(B_n))]으로 사상하는 [math(Y)]의 위상동형사상이므로 [math(T(B_{2^{-1}r}))]이 어디에서도 조밀하지 않은 집합이면 [math(Y)]는 어디에서도 조밀하지 않은 집합의 가산 합집합으로, 베르 범주 정리에 모순이다. 따라서 [math(\overline{T(B_{2^{-1}r})})]의 내부는 공집합이 아니고 다음을 만족시키는 [math(y_0\in Y)]와 [math(s>0)]가 존재한다. [math(B_Y(y_0, s)\subseteq \mathrm{int}\left(\overline{T(B_{2^{-1}r})}\right)\subseteq \overline{T(B_{2^{-1}r})})] [math(\|y\|<s)]인 [math(y\in Y)]를 택한다. [math(y_0\in \overline{T(B_{2^{-1}r})})]이므로 [math(T(x_n)\to y_0)]인 [math(B_{2^{-1}r})]의 점렬 [math(\{x_n\})]이 존재한다. 또한 [math(\|y\|=\|y_0+y-y_0\|<s)]에서 [math(y_0+y\in\overline{T(B_{2^{-1}r})} )]이므로 [math(T(z_n)\to y_0+y)]인 [math(B_{2^{-1}r})]의 점렬 [math(\{z_n\})]이 존재한다. 따라서 [math(T(z_n -x_n)\to y)], [math(\{z_n-x_n\}\subseteq B_r)]이므로[math(B_Y(0,s)\subseteq \mathrm{int}\left(\overline{T(B_r)}\right)\subseteq \overline{T(B_r)})] 이다.다음으로 [math(\overline{T(B_{2^{-1}r})}\subseteq T(B_r))]임을 보인다. [math(y_1 \in\overline{T(B_{2^{-1}r})} )]을 택하면 [math(0\in\mathrm{int}\left(\overline{T(B_{2^{-2}r})}\right) )]이므로 [math(\displaystyle\left[y_1 -\overline{T(B_{2^{-2}r})}\right]\cap T(B_{2^{-1}r})\ne\varnothing)] 이고, [math(T(x_1)\in\left[y_1 -\overline{T(B_{2^{-2}r})}\right])]을 만족시키는 [math(x_1\in B_{2^{-1}r})]을 선택할 수 있다. 이때, [math(T(x_1))]은 어떤 [math(y_2 \in \overline{T(B_{2^{-2}r})})]에 대하여 [math(T(x_1)=y_1-y_2)]이다. 이 과정을 반복하여 다음을 만족시키는 [math(X)]의 점렬 [math(\{x_n\})]과 [math(Y)]의 점렬 [math(\{y_n\})]을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty T(x_k)=\sum_{k=1}^n (y_k-y_{k+1})=y_1-y_{n+1})] 이고 ⅱ.에 의해 [math(\|y_n\|\le \|T\|2^{-n}r)]에서 [math(y_n\to0)]이므로 [math(y_1=\sum_{n=1}^\infty T(x_n)=T(x)\in T(B_r))]이다. 이를 종합하면 임의의 [math(r>0)]에 대하여 [math(0\in \mathrm{int}(T(B_r)))]이다.[math(X)]의 열린집합 [math(U)]와 [math(x\in U)]에 대하여 [math(B_X(x, r_x)\subseteq U)]인 양수 [math(r_x)]를 택하면 [math(0\in \mathrm{int}(T(B_{r_x})))]이므로 [math(T)]의 선형성에 의해 [math(T(x)\in \mathrm{int}\left[T(B_X(x,r_x))\right])]이다. 따라서 [math(U_x:=B_Y(T(x), s_x)\subseteq T(B_X(x, r_x)))] 를 만족시키는 양수 [math(s_x)]가 존재하고, [math(T(U)\supseteq \bigcup\{U_x:x\in U\})]이다. 또한 [math(T(x)\in U_x)]이므로 [math(T(U)= \bigcup\{U_x:x\in U\})]이다. 즉, [math(T)]는 열린 사상이다.
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4.4.2. 닫힌 그래프 정리
두 바나흐 공간 [math(X,\ Y)]의 닫힌 선형 작용소 [math(T:X\to Y)]는 유계이다. 즉, [math(T)]의 그래프[math(\Gamma(T)=\{x\oplus Tx \in X\oplus_1 Y:x\in X\})]
가 닫힌집합이면 [math(T)]는 유계로, 연속이다.|
증명 사영사상 [math(\pi_1:\Gamma(T)\to X)], [math(\pi_2:\Gamma(T)\to Y)]는 각각 [math(\mathcal{B}(\Gamma(T),X))]와 [math(\mathcal{B}(\Gamma(T),Y))]에 속한다. [math(\Gamma(T))]는 완비공간 [math(X\oplus_1 Y)]의 닫힌 부분집합이므로 완비공간이다. [math(\pi_1)]은 [math(\Gamma(T))]와 [math(X)] 사이의 전단사 사상이므로 열린 사상 정리의 따름 정리에 의해 [math(\pi_1^{-1})]은 유계이다. 따라서 [math(T=\pi_2\circ\pi_1^{-1})]도 유계이다. |
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증명 [math((\Rightarrow))] [math(T)]의 그래프가 닫힌집합이므로 [math(T)]는 연속이다. 따라서 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}T(x_n)=T\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right)=T(0)=0)] 이다.[math((\Leftarrow))] [math(\{(x_n, T(x_n))\}\in\Gamma(T))]가 수렴하는 점렬이라 하자. 즉, [math(x_n\to x)], [math(T(x_n)\to y)]라 하자. [math(w_n:=x_n-x)]라 하면 [math(w_n\to 0)]이고 [math(T(w_n)=T(x_n -x)=T(x_n)-T(x) \to y-T(x))]이다. 가정에 의해 [math(T(w_n)\to0)]이므로 [math(y-T(x)=0)]에서 [math(y=T(x))]이다. 즉, [math((x, y)=(x, T(x))\in \Gamma(T))]이므로 [math(\Gamma(T))]는 닫힌집합이다. |
4.4.3. 균등 유계성 원리
균등 유계성 원리(the principle of uniform boundedness)는 바나흐 공간에서 작용소의 점별 유계성이 균등 유계성을 함의함을 의미한다. 바나흐 공간 [math(X)]와 노름 공간 [math(Y)]에 대하여 [math(\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}(X,\ Y))]라고 하자. 각 [math(x\in X)]에 대하여 [math(\sup\{\|Tx\|_Y:T\in\mathcal{A}\}<\infty)]이면 [math(\sup\{\|T\|:T\in\mathcal{A}\}<\infty)]이다.|
증명 [math(B_n:=\{x\in X: \|Tx\|_Y\le n\ \forall \,T\in \mathcal{A}\})]라고 하면 가정에 의해 [math(X=\bigcup_{n=1}^\infty B_n)]이다. [math(X)]는 공집합이 아닌 완비 거리 공간이므로 베르 범주 정리에 의해 어떤 자연수 [math(N)]에 대하여 [math(B_N)]은 어디에서도 조밀하지 않은 집합이 아니다. 즉, [math(\mathrm{int}\,\overline{B_n}\ne \varnothing)]이다. 임의의 [math(T\in\mathcal{A})]에 대하여 [math(T0=0)]이므로 [math(0\in\mathrm{int}\,\overline{B_n} )]이고, 따라서 [math(B_X(0,r)\subseteq\mathrm{int}\,\overline{B_n})]인 양수 [math(r)]이 존재한다. [math(B_n=\bigcap_{T\in\mathcal{A}}\{x\in X:\|Tx\|_Y \le n \})]이므로 [math(B_n)]은 닫힌집합이고, 따라서 [math(\|x\|_X \le r)]\인 [math(x\in B_X(0,r))]와 각 [math(T\in\mathcal{A})]에 대하여 [math(\|Tx\|_Y\le n )]이다. 따라서 모든 [math(T\in\mathcal{A})]에 대하여 [math(\|T\|\le n/r)]이다. |
5. 예시
- 힐베르트 공간: 힐베르트 공간은 완비 내적공간으로, 바나흐 공간이다.
- [math(L^p)] 공간: [math(L^p)]공간은 [math(1\in [1,\ \infty])]일 때 바나흐 공간이다. [math(p\in(0,\ 1))]일 경우 [math(L^p)] 공간은 노름공간이 아니기 때문에 바나흐 공간이 아니다. 그러나 이 경우에도 완비성을 갖추고 있어 완비 준노름 공간을 이룬다.
- 연속함수 공간: 하우스도르프 공간 위의 유계 연속함수의 벡터공간은 균등 노름이 주어진 바나흐 공간이다.