1. 개요
극댓값/극대치( 極 大 値, local maximum)과 극솟값/극소치( 極 小 値, local minimum)을 통틀어 극값/극치( 極 値, local extremum)라고 하며, 극대점( 極 大 點, local maximum point)과 극소점( 極 小 點, local minimum point)을 통틀어 극점( 極 點, local extremum point)[1]이라고 한다. 'local'이라는 영단어는 '부분적', '국소적'이라는 뜻이다. 다시 말해서 함수의 그래프의 전체가 아닌 특정 부분만을 놓고 대소를 비교했을 때 가장 함숫값이 크면 극대, 가장 작으면 극소라고 하는 것이다. 반면 함수의 그래프 전체를 놓고 대소를 비교하는 개념은 최댓값/최대치( 最 大 値, global maximum), 최솟값/최소치( 最 小 値, global minimum)이다. 'global'이라는 영단어는 '전체적'이라는 뜻이다. 이 개념들의 정의는 다음과 같다.
|
2. 오개념
2.1. 극값의 정의
고교 교육과정에서 다항함수를 많이 다루고, 자연스럽게 극값의 개념도 다항함수에서 가장 많이 언급되기 때문에 학생들은 극값을 ' 미분계수가 0이 되는 지점의 함숫값' 정도로 오해하곤 한다.[2] 다항함수의 극값은 죄다 그렇기 때문이다. 이 오개념은 결국, '어떤 점이 극점이 되려면 그 점에서 미분가능해야 하며, 따라서 연속이어야 한다'라는 전제를 내포한다. 그러나 이것들은 극값의 정의에 비추어 보면 모두 틀린 생각으로, 다음과 같이 첨점(미분 가능하지 않은 점), 불연속점, 그래프의 양 끝점도 얼마든지 극점이 될 수 있다. 비록 고등학교에서는 상술한 대학 수준의 정의 대신 후술할 더욱 쉬운 정의를 사용하지만, 결국 맥락은 같다.|
|
| [math(f(x) = |x|)] |
|
|
| [math(f(x) = |x| + {\bold 1}_{\{0\}}(x))][4][5] |
|
|
| [math(f(x)= x - lfloor x rfloor)] [math((0 \leq x < 2) )][6] |
|
|
| [math(f(x)= x^3 - x \; (|x| \leq 1))] |
|
|
| [math(f(x) = 1)] |
2.2. 극값의 개수
극값이란 극점에서의 함숫값이므로, 서로 다른 둘 이상의 극점의 함숫값이 같다면 그 극값은 한 개로 세는 것이다. 심지어 하나는 극댓값이고 다른 하나는 극솟값인 경우도 마찬가지이다.[7] 다음 예를 보자.이는 [math(f(x)=x^2(x-2)^2)]의 그래프이다. 극점은 분명히 [math((0,\,0))], [math((1,\,1))], [math((2,\,0))]으로 세 개이지만, 두 극소점의 [math(y)]좌표가 같기 때문에 극값은 [math(0)], [math(1)] 두 개인 것이다. [math(0)]을 두 번 셀 수는 없는 노릇이다. 요컨대, 극점의 개수와 극값의 개수는 항상 같지는 않다. 사차함수가 이러한 성질을 갖는 최소 차수의 다항함수로, 위 그림과 같이 좌우 대칭이고 극점이 세 개인 개형인 경우가 그렇다. 고등학교 수학의 범위에서는 사차함수, 사인 함수, 코사인 함수가 조각적 정의 없이도 이러한 성질을 가질 수 있다.
===# 예제 #===
|
|
| 2020학년도 EBS 수능완성 수학 나형 실전 모의고사 3회 30번 |
[math(g(x))]의 그래프는 결국, 다음 예시와 같이 [math(x\leq a)]에서는 [math(f(x))]의 그래프와 같고, 나머지는 왼쪽의 [math(f(x))]의 그래프와 연속이면서 기울기가 1인 직선으로 이루어져 있다.
[math(h(a))]에 관한 단서를 통해 [math(f(x))]를 알아내야 하는데, 그 과정에서 여러 개형의 [math(g(x))]의 그래프가 등장한다. 이때 극값의 개념을 제대로 알고 있는지가 판가름난다. 우선 실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했다.
세 경우 중 첫째 경우는 별로 문제가 되지 않을 것이다. 둘째 경우와 셋째 경우를 자세히 설명하면 다음과 같다.
[math(g(x))]의 그래프가 위와 같으면 극댓값은 1개, 극솟값은 2개로 [math(h(a)=1-2=-1)]이다. 꼭 미분가능해야만 극점인 것은 아니기 때문이다.
[math(g(x))]의 그래프가 위와 같으면 극댓값은 1개, 극솟값은 1개로 [math(h(a)=1-1=0)]이다. 두 극소점의 [math(y)]좌표가 같기 때문에 극소점은 두 개이지만 극솟값은 한 번만 세기 때문이다.
참고로 [math(f(x)=x(x-2)(x+2)^2)]이고 정답은 [math(f(4)=288)]이다.
2017학년도 6월 고3 나형 21번에서는 첨점도 극점이 될 수 있다는 점을 함정으로 삼았는데, 여기에 걸려든 학생이 많아서 21번치고는 매우 쉬운 문제였는데도 정답률이 38%에 머물렀다.
문제가 된 선지는 ㄴ이었는데, [math(f'(0)=f'(2)=0)]이고 [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이므로 [math(f(x))]는 [math(x=0)]에서 극대, [math(x=2)]에서 극소이다. 따라서 다음과 같은 그림으로 ㄴ이 참임을 쉽게 알 수 있다.
주의할 점은 첨점도 극점이므로 극소점은 한 개가 아닌 두 개라는 것이다. 그림에는 [math(f(0)f(2)=0)]인 경우가 생략되어 있지만, 그래프의 개형은 위 그림과 다를 것이 없다.
3. 활용
- 함수 [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능하고 극값 [math(M)]을 가지면, [math(f'(a)=0)]이고 [math(f(a)=M)]이다. 그러나 [math(f'(a)=0)]이라고 해서 [math(f(a))]가 극값인 것은 아니며,[8], 극점에서 미분불가능하면 미분계수가 정의되지 않으므로 [math(f'(a))]의 값을 정할 수 없다.
- 실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수가 극값을 가지면 일대일대응이 아니다. 역도 성립한다.
- 미분가능한 함수 [math(f(x))]가 상수함수가 아닐때 [9] 극값을 가질 필요충분조건은 [math(f'(x))]가 [math(x)]축과 교차하는 것이다. 즉, 도함수의 부호가 바뀌면 그 점에서 극값이 발생하며, 부호가 바뀌지 않으면 도함수의 값이 아무리 0이 되더라도 극값은 발생하지 않는다.
- [math(x)]값이 증가할 때, 도함수의 부호가 [math(-)]에서 [math(+)]로 바뀌면 원시함수는 감소하다가 증가하므로 그 점에서 극솟값이 발생하며, [math(+)]에서 [math(-)]로 바뀌면 원시함수는 증가하다가 감소하므로 그 점에서 극댓값이 발생한다.
- 다항함수의 극점에 관한 여러 공식에 대해서는 다항함수/공식 문서 참고.
- 다변수함수에서도 극값을 생각할 수 있다. 이때, 어떤 변수에 대해서 최댓값, 다른 변수에 대해서 최솟값인 점은 안장점이 된다.
===# 예제 1: 2022학년도 7월 20번 #===
|
|
| 2022학년도 7월 20번 |
[math(\begin{aligned}g'(x)&=x^2f(x)+2x\displaystyle\int_0^x f(t)dt-x^2f(x)\\&=2x\displaystyle\int_0^x f(t)dt\end{aligned})]
이며, [math(f(x))]가 이차함수이므로 [math(g'(x))]는 사차함수이다. 한편 (나)에 의하여 [math(g'(x))]의 그래프는 [math(x=0)]과 [math(x=3)]에서 [math(x)]축과 만난다. 그러나 (가)를 만족시키기 위해서는 만나기만 할 뿐 교차해서는 안 된다. 다시 말해서, 이 두 점에서 [math(g'(x))]의 그래프는 [math(x)]축과 접한다. 한편 [math(f(x))]가 이차함수이고 최고차항의 계수는 [math(3)]이므로 [math(\int_0^x f(t)dt)]의 최고차항의 계수는 [math(1)]이다. 따라서 [math(g'(x))]의 최고차항의 계수는 최종적으로 [math(2)]이므로 그 방정식은 다음과 같다.
[math(g'(x)=2x^2(x-3)^2)]
참고로 [math(f(x)=3(x-1)(x-3))]이며 정답은 [math(8)]이다.
===# 예제 2: 2022학년도 6월 고3 20번 #===
|
|
| 2022학년도 6월 고3 20번 |
| [math(\begin{aligned}g(x)&=\displaystyle\int_a^x\{f(x)-f(t)\}\times\{f(t)\}^4\,{\rm d}t\\&=\int_a^xf(x)\times\{f(t)\}^4\,{\rm d}t-\int_a^xf(t)\times\{f(t)\}^4\,{\rm d}t\\&=f(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\,{\rm d}t-\int_a^x\{f(t)\}^5\,{\rm d}t\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}g'(x)&=\cancel{f(x)\times\{f(x)\}^4}+f'(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\,{\rm d}t-\cancel{\{f(t)\}^5}\\&=f'(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\,{\rm d}t\\&=3(x-3)(x-5)\int_a^x\{f(t)\}^4\,{\rm d}t\\&=3(x-3)(x-5)(x-a)Q(x)\end{aligned})] |
[math((a-3)(a-5)\neq0)]일 경우, [math(g'(x))]는 [math(x=a)], [math(x=3)], [math(x=5)]에서 모두 [math(x)]축과 교차하므로 [math(g(x))]의 극값이 세 개 발생하고 만다. 반면 [math(a=3)]이거나 [math(a=5)]이면 다음과 같이 극값이 하나만 발생한다.
[math(f'(x))]의 부호는 [math(x=3)]에서 양에서 음으로, [math(x=5)]에서 음에서 양으로 변한다. 이때 [math(h(x))]의 부호는 [math(x=a)]에서 음에서 양으로 변한다. 결국 [math(a=3)]이면 [math(g'(x)=f'(x)h(x))]의 부호는 [math(x=3)]에서 변하지 않으며, [math(a=5)]이면 [math(x=5)]에서 변하지 않는 것이다. 따라서 답은 [math(3+5=8)]이다.
이 문제는 극값이 발생하려면 도함수가 [math(0)]이 되기만 하면 되는 것이 아니라, [math(0)]이 되는 지점을 중심으로 도함수의 부호가 바뀌어야만 함을 알아야 풀 수 있는 문제였다. 한편 [math(\{f(t)\}^4)]이 짝수 거듭제곱이므로 항상 [math(0)] 이상이므로 이를 정적분한 [math(h(x))]는 일대일대응이 되어 [math(x)]축과 한 번만 만난다는 사실을 추론하는 것이 가장 중요했다.
참고로, 2024학년도 수능특강 87쪽에서는 이 문제를 수록하여 다음과 같은 해설을 제시한 바 있다.
4. 고교 교육과정의 변천
고등학교에서는 2009 개정 교육과정에서 수정된 극값의 정의를 지금까지 가르치고 있는데, 먼저 이전 2007 개정 교육과정의 극값의 정의는 다음과 같았다.
|
|
|
|
|
[math(f(x)=\begin{cases}\begin{aligned}&-x+2\quad & (0\leq x<1)\\&1\quad & (1\leq x<2)\\&2x-3\quad & (2\leq x<3)\\&3\quad & (3\leq x<4)\\&-x+7\quad & (4\leq x\leq 5)\end{aligned}\end{cases})] |
이라고 하며 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다.
|
5. 여러 함수의 극값
- 상수함수
- 앞서 밝혔듯이 그래프가 직선이면 무수히 많은 극점을 가지고, 한 점이면 극점이 하나이다. 그러나 상수함수의 함숫값은 일정하므로 두 경우 모두 극값은 하나이다.
- 일차함수
- 다항함수를 차수로 분류할 경우, 유일하게 모든 경우에서 극값을 갖지 않는다. 모든 일차함수의 그래프는 일대일대응이기 때문이다.
- 이차함수
- 꼭짓점에서 유일한 극값을 갖는다. 최고차항의 계수가 양이면 극솟값, 음이면 극댓값이다.
- 삼차함수
- 극값을 갖는다면 극댓값과 극솟값을 하나씩 갖는다. 도함수의 판별식에 따라 극값의 유무가 결정되는데, 이는 일대일대응 여부와도 관련이 있다. 삼차함수 참고. 고등학교 수학에서 명시적으로 다루는 사차 이하의 다항함수 중에서, 유일하게 극값을 갖기도 하고 갖지 않기도 한다는 점에서 중요하게 취급된다.[12]
- 사차함수
- 지수함수, 로그함수, 복소로그함수
- 다항함수를 제외한 초등함수 가운데 극값을 갖지 않는 함수다.
- 정규분포 함수, 혹 함수
- 중앙값이 극댓값이다.
- 사인 곡선
- 주기함수이므로 극댓값과 극솟값이 번갈아 무한히 나온다. 코사인 함수도 결국 이 함수를 x축 방향으로 [math(-\pi/2)]만큼 평행 이동한 것이므로 마찬가지다.
- 쌍곡선 코사인 함수
- 이차함수와 비슷하다.
- 역사인, 역코시컨트 함수
- 실수 범위 내에서 [math(x=1)]에서 [math(\pi/2)]의 극값을 갖는다.
- 역코사인, 역시컨트 함수
- 실수 범위 내에서 [math(x=1)]에서 0의 극값을, [math(x=-1)]에서 [math(\pi)]의 극값을 갖는다.
- 삼각 적분 함수
- [math({\rm Si}(x))]는 [math(x=\pm\pi)]에서 극댓값과 극솟값을, [math({\rm Ci}(x))]는 실수 범위 한정으로 [math(x=\pi/2)] 에서 극댓값을 갖는다. 한편 [math({\rm Si}(x))]의 극댓값은 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다.
- 프레넬 적분 함수
- [math(S(x))]는 [math(x=\pm\sqrt2)]에서, [math(C(x))]는 [math(x=\pm1)]에서 극댓값과 극솟값을 갖는다.
- 감마 함수, 로그 감마 함수
- [math(x > 0)]에서는 극값이 유일하며, [math(x < 0)]에서는 1 간격으로 극값이 하나씩 나타난다.
- 리만 제타 함수
- [math(s)]가 [math(-2)], [math(-4)], [math(-6)] 같은 음의 짝수이거나[14] [math(Re(s) = 1/2)]인 일부 복소수에서 0의 극값을 갖는다.
- 람베르트 [math(W)] 함수
- [math(x=-1/e)]에서 [math(-1)]의 극점을 갖는다.
- 완전 제2종 타원 적분
- [math(x=1)]에서 [math(1)]의 극점을 갖는다.
- 에어리 함수
- [math(x \geq 0)]에서는 극점이 없고, [math(x <0)]에서는 무한 개의 극점을 갖는다.
- 부호 함수
- [math(0)]의 극점을 갖는다.
- 헤비사이드 계단 함수
- [math(1/2)]의 극점을 갖는다.
- 최대 정수 함수, 최소 정수 함수
- 정수 극값을 갖는다.
- 소수 계량 함수
- 소수에서 극값을 갖는다.
- 지시함수
- 정의역이 해당하는 집합에 속하면 극댓값 [math(1)], 그렇지 않으면 극솟값 [math(0)]을 갖는다.
- 바이어슈트라스 함수
- 위 각주에서 서술했듯, 모든 점이 극점이면서 유일하지 않은 값을 가지며, 모든 극점에서 연속이다.
- 칸토어 함수
- 연속 계단 함수이므로 양 끝점인 [math(0)], [math(1)]이 극점이다.
- 무한 지수 탑 함수
- 실수 범위 내에서 극솟값 [math(0)], 극댓값 [math(e)]를 갖는다.
- 디랙 델타 함수
-
[math(x=0)][특이점]을 제외한 모든 점에서 극값 [math(0)]을 갖는다.
6. 기타
'극댓값', '극솟값', '최댓값', '최솟값'은 각각 '극대( 極 大)', '극소( 極 小)', '최대( 最 大)', '최소( 最 小)'라는 한자어와 '값'이라는 순우리말을 합성한 단어이고 뒤 단어 '값'의 첫소리 'ㄱ'이 된소리로 나므로 사이시옷을 넣는다. 그러나 '극대점( 極 大 點)', '극소점( 極 小 點)', '최대점( 最 大 點), '최소점( 最 小 點)'은 한자어와 한자어( 點)의 결합이므로 사이시옷을 넣지 않는다.극댓값이 극솟값보다 작거나 같을 수도 있다. 다항함수의 경우 5차 이상부터 가능하며, 극댓값과 극솟값이 각각 2개 이상이어야 한다. 불연속함수라면 극댓값 하나와 극솟값 하나로도 충분하다.
7. 관련 문서
[1]
복소해석학에서 말하는 극점(pole)과 다르다. 이쪽은
고립특이점의 하나이다.
[2]
상당히 미흡한 설명인데, 심지어 미분계수가 0이지만 극값이 아닌 경우도 존재하므로 더욱 문제가 심하다. [math(y=x^3)]의 [math((0,\,0))]이 대표적인 예.
[3]
이 특징을 극대화한 함수 중 하나가
바이어슈트라스 함수인데, 모든 점이 첨점이면서 모든 점에서 연속이다.
[4]
[math({\bold 1}_{\{0\}}(x))]는 [math(x \in \{0\})]일 경우에만 함숫값이 1이고 나머지 경우에는 함숫값이 0인
지시함수이다.
[5]
중등 교육과정에서는 지시함수를 가르치지 않기 때문에 아래의
조각적 정의가 더 익숙할 것이다.
[math(f(x) = \begin{cases} 1 & (x =0) \\ |x| & (x \neq 0) \end{cases})] [6] [math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수이다. 입말로 '바닥 함수', '가우스 기호(함수)'라고 불리는 그 함수다. [7] 다항함수의 경우 5차 이상부터 가능하다. [8] [math(y=x^3)]의 그래프 위의 점 [math((0,\,0))]이 대표적인 예이다. [9] [math(f(x))]가 상수함수라면 부호를 바꾸지 않고도 극값을 가질수있다. [10] 위에서 설명할 때 두 가지 경우만으로 분류한 것에서 짐작할 수 있듯이, '증감 상태'에는 '증가'와 '감소'밖에 없으며, '증가도 감소도 아닌 상태'는 생각하지 않는다. [11] 우리나라 고등학교 수학 교과서에서 함수의 증감과 극대.극소를 설명하는 방식에 대한 비판적 논의 [12] 차수가 홀수인 다항함수는 극값을 가질 수도 있고 가지지 않을 수도 있다. 단 일차함수는 극값을 항상 가지지 않는다. 차수가 짝수인 다항함수는 적어도 하나 이상의 극값을 가진다. [13] 차수가 짝수인 다항함수는 4차 이상의 함수부터는 극값을 여러 개 가질 수 있다. [14] 파울하버의 공식에서 도출된다. [특이점] 함숫값이 발산하는 곳이다.
[math(f(x) = \begin{cases} 1 & (x =0) \\ |x| & (x \neq 0) \end{cases})] [6] [math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수이다. 입말로 '바닥 함수', '가우스 기호(함수)'라고 불리는 그 함수다. [7] 다항함수의 경우 5차 이상부터 가능하다. [8] [math(y=x^3)]의 그래프 위의 점 [math((0,\,0))]이 대표적인 예이다. [9] [math(f(x))]가 상수함수라면 부호를 바꾸지 않고도 극값을 가질수있다. [10] 위에서 설명할 때 두 가지 경우만으로 분류한 것에서 짐작할 수 있듯이, '증감 상태'에는 '증가'와 '감소'밖에 없으며, '증가도 감소도 아닌 상태'는 생각하지 않는다. [11] 우리나라 고등학교 수학 교과서에서 함수의 증감과 극대.극소를 설명하는 방식에 대한 비판적 논의 [12] 차수가 홀수인 다항함수는 극값을 가질 수도 있고 가지지 않을 수도 있다. 단 일차함수는 극값을 항상 가지지 않는다. 차수가 짝수인 다항함수는 적어도 하나 이상의 극값을 가진다. [13] 차수가 짝수인 다항함수는 4차 이상의 함수부터는 극값을 여러 개 가질 수 있다. [14] 파울하버의 공식에서 도출된다. [특이점] 함숫값이 발산하는 곳이다.