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특수함수 Special Functions |
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1. 개요
gamma function감마 함수는 계승(factorial) 함수의 해석적 연속(analytic continuation)이다.
계승(factorial) 함수는 오로지 음이 아닌 정수만을 정의역으로 하는 함수다. [math((-0.5)!)]이나 [math(\sqrt{2}!)] 따위는 정의되지 않는다. (다만, 감마 함수의 이해를 돕기 위해 편의상 팩토리얼을 써서 표기하는 경우는 많이 있다.) 그 이후 수학자들이 계승 함수의 정의역을 복소수 범위로 확장한 걸 감마 함수라고 부른다. 후술하겠지만 감마 함수도 [math(0)] 이하의 실수에서는 정의되지 않는다.
2. 정의
불완전 감마 함수에서 [math(b=0)]인 경우에 해당한다.감마 함수와 같이 특수 함수로 묶이는 함수들은 정의가 접근 방향에 따라 여러 가지인데, 역시 제일 중요한 발원적 정의는 '계승 함수의 성질을 그대로 가지면서 [math(0)]보다 큰 영역에서 그래프가 아래로 볼록한 꼴인 함수'이다. 만족하는 함수꼴은 다음과 같다.
| 적분꼴 [1] | [math(\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}{\rm d}x)] |
| 오일러 무한곱꼴 | [math(\displaystyle \Gamma(z)=\frac 1z \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\dfrac 1n \right)^z}{1+\dfrac zn})] |
| 단순항꼴[2] | [math(\displaystyle \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)})] |
| 바이어슈트라스꼴 | [math(\displaystyle \Gamma(z)=\frac 1z e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn})] |
3. 역사
오늘날에는 적분 꼴의 정의식이 가장 널리 알려져있지만, 역사적으로는 오일러 무한곱 꼴이 먼저 발견되었다.[4] 정의역이 [math(0)] 이상의 정수로 한정되어있던 팩토리얼을 실수로 확장하고자 하는 논의가 1720년대에 다니엘 베르누이[5]와 크리스티안 골드바흐[6]를 중심으로 이루어졌는데, 십년도 채 되지 않아 이 문제는 오일러에 의해 해결되었고, 1729년 10월 13일 오일러가 골드바흐에게 보낸 편지에 그 기록이 남아있다. 실제로 오일러 무한곱 꼴은 적분과는 무관하게 극한에 대한 고등학교 수준의 지식만 있으면 쉽게 유도할 수 있다.먼저 [math(\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)})]에 대해 [math(k\to\infty)]일 때의 극한값을 구해보자. 해당 식은 다음과 같이 변형할 수 있으며
| [math(\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{k\left(1+\frac ik \right)\right\}}=\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle k^n \prod_{i=1}^n \left(1+\frac ik \right)}=\dfrac{\left(1+\dfrac 1k \right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\frac ik \right)})] |
| [math(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{n!\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)} = n!\lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)} = n!)] |
| [math(\displaystyle n! = \lim_{k\to\infty}\frac{n!\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)} = \lim_{k\to\infty}\frac{k!\,n!\left(k+1\right)^n}{(k+n)!} = \lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{n!}})] |
| [math(\displaystyle n!=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{n!}} = \lim_{k \to \infty} \frac{\displaystyle \cancel{k!} \prod_{i=1}^k \left( 1+\frac 1i \right)^n}{\displaystyle \cancel{k!} \prod_{i=1}^k \left(1+\frac ni \right)} = \lim_{k \to \infty} \prod_{i=1}^k \frac{\left(1+\dfrac 1i \right)^n}{1+\dfrac ni} = \prod_{k=1}^\infty \frac{\left(1+\dfrac 1k \right)^n}{1+\dfrac nk})] |
이후 반년도 채 되지 않은 1730년 1월 8일에 오일러는 골드바흐에게 다시 편지를 보내 다음과 같은 관계가 성립한다는 것을 보였다. 이것이 적분꼴로 정의된 팩토리얼의 최초 형태이며 부분적분을 이용하면 우변으로부터 좌변을 쉽게 유도할 수 있다.[7]
| [math(\displaystyle n!=\int_0^1 \left(-\ln t\right)^n \mathrm{d}t)] |
| [math(\displaystyle n!=\int_0^1 \left(-\ln t\right)^n \mathrm{d}t = -\int_\infty^0 x^n e^{-x}\mathrm{d}x = \int_0^\infty x^n e^{-x}\mathrm{d}x \\ \therefore \Gamma(n)=(n-1)! = \int_0^\infty x^{n-1} e^{-x}\mathrm{d}x)] |
19세기에 들어서, 가우스는 오일러 무한곱꼴을 다음과 같이 고쳐썼다.[8]
| [math(\displaystyle (n-1)! = \lim_{k \to \infty} \frac{k!\,k^n}{\displaystyle \prod_{i=0}^k (n+i)})] |
| [math(\displaystyle (n-1)! = \lim_{k \to \infty} \frac{k! \left(n-1\right)!\,k^n}{(n+k)!})] |
| [math(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=\lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{k!}}=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{(k+n)!})] |
바이어슈트라스는 복소수로 확장된 단순항꼴에서 오일러-마스케로니 상수를 묶어내어 또다른 무한곱꼴을 유도했는데, 사실 그는 양이 아닌 정수에서 극을 갖는 감마 함수를 꺼려 감마 함수의 역수 [math(\dfrac 1{\Gamma(z)})]에 대한 무한곱꼴을 유도했던 것으로 알려져 있다. 물론 굳이 역수를 취하지 않아도 도출해 낼 수 있으며, 이 아이디어에 착안하여 그는 바이어슈트라스 분해 정리를 증명하는 데에 이른다. 단순항꼴
| [math(\displaystyle \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \Gamma(z) &= \lim_{n\to\infty}\frac{n!\,e^{z\ln n}}{z\displaystyle \prod_{i=1}^n (z+i)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{n!\,e^{z\ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{ i \left(1+\dfrac zi \right) \right\}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{\cancel{n!}\,e^{z \ln n}}{\displaystyle \cancel{n!} \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)}\end{aligned})] |
|
[math(\begin{aligned} \Gamma(z) &= \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{e^{z \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i}} \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac 1z e^{z \left( \ln n - \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i \right)} \prod_{i=1}^n \frac{e^{\frac zi}}{1+\dfrac zi} \\ &= \frac 1z e^{-\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn}\end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \dfrac1{\Gamma(z)}=e^{\gamma z}z \prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac zn\right)e^{-z/n})] |
4. 성질
감마 함수는 팩토리얼의 상위호환격 함수이기 때문에, 팩토리얼의 성질을 모두 가지고 있다.[math(\Gamma(n)=(n-1)!)] ([math(n)]이 자연수일 경우)
[math(\Gamma(n+1)=n\Gamma(n))]
[math(\Gamma(1)=1)]
다만 [math(0)]과 [math(1)] 사이의 계산에는 감마 함수의 정의에 있는 적분을 계산해야 하며, 음수로 가면 더욱 골치 아파진다.[10] 아래 그래프에도 나와 있겠지만 양이 아닌 정수에서는 감마 함수가 정의되지 않는데, 이는 [math((-1)!\times 0=0!)]을 만족하는 [math((-1)!)]의 값이 존재하지 않기 때문이다. 좌변은 [math(0)], 우변은 [math(1)]이므로 얄짤없이 모순이다. [math((-1)!)]이 없으므로, 당연히 그보다 작은 정수의 계승 또한 존재하지 않는다.[math(\Gamma(n+1)=n\Gamma(n))]
[math(\Gamma(1)=1)]
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예를 들어, [math(\Gamma(1+3)=3!=3\times 2\times 1=6)], [math(\Gamma(1+5)=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120)]으로 양의 정수를 넣었을 때는 모두 양의 정수이지만, 소수인 [math(1.5)]를 넣으면 [math(\Gamma(1+1.5)=1.5!=\dfrac 34 \Gamma\left(\dfrac 12 \right)=\dfrac 34 \sqrt\pi\approx 1.32934)]인 무리수가 된다.
[math(i!=\Gamma(1+i)\approx 0.4980-0.1549i)]
복소수에 대한 감마 함수는 이렇게 정의된다. 오일러의 공식에서 유도할 수 있다.
정규분포나 제타 함수와도 관련이 있다. 변수를 치환하거나 특정 연산을 취하면 결과로 튀어나온다.
4.1. 반사 공식
정수가 아닌 [math(z)]에 대하여, [math(\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\dfrac{\pi}{\sin\,(z\pi)})]
[math(z=\dfrac 12)]을 기준으로 반사시켜서 나오게 된 이름이다. 복소적분을 이용해서 유도할 수 있다.
복소해석을 사용하지 않는 증명4.2. 르장드르의 2배 공식
[math(\Gamma(2z)=\dfrac{2^{2z-1}}{\sqrt\pi}\Gamma(z)\Gamma\biggl(z+\dfrac 12 \biggr))]
말 그대로 2배 공식이다. 마치 삼각함수의 배각 공식과 비슷한 맥락이라 생각하면 된다.4.3. 스털링 공식
감마 함수 자체는 기본적인 초등함수로 나타낼 수 없지만, 만일 z의 값이 커질 경우 다음과 같은 형태로 근사시킬 수 있다.| [math(\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\dfrac ze\right)^z)] |
인도의 수학자 스리니바사 라마누잔이 위 식을 잘 이용해서
| [math(\ln N!=N\ln N-N+O(\ln N))] |
5. 미적분
[math(lnGamma(z))]의 [math(n)]계 도함수들을 폴리감마 함수(polygamma functions)라고 하며, 많은 서적들에서는 보통 [math(\psi_n(z))]으로 표기한다.[11][math(\psi_n(z)=\dfrac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}z^{n+1}}\ln\Gamma(z))]
특히|
[math(\displaystyle \begin{aligned} \psi(z) &\equiv \psi_0(z) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln\Gamma(z) = \dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} \\ \psi_1(z) &= \dfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}z^{2}} \ln\Gamma(z) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \biggl(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln\Gamma(z)\biggr) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\psi(z) \end{aligned} )] |
[math(\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi(z))]
이 다이감마 함수는 조화수와 깊은 관계가 있는데, 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(H_n=\psi_0 (n+1)+\gamma)]의 관계가 있다. 이 말은 곧 [math(\psi_0(n)=\psi_0(n-1)+\dfrac 1{n-1})]이라는 것인데, 증명은 다음과 같다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi_0(n) -\psi_0(n-1) &= \frac{\rm d}{{\rm d}n} (\log\Gamma(n) -\log\Gamma(n-1) ) \\ &= \frac{\rm d}{{\rm d}n} \log \frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-1)} = \frac{\rm d}{{\rm d}n} \log (n-1) \\ &= \frac1{n-1} \end{aligned} )] |
[1]
적분꼴은 [math(z)]의 실수부가 양수일 때만 수렴하는 이상 적분이나, 밑의 세 식은 [math(z)]가 [math(0)] 이하의 정수가 아니면 무조건 수렴한다.
[2]
아래에 후술한 바이어슈트라스 분해 꼴 감마함수는 이 단순항꼴로부터 유도되었다.
[3]
간단히 말하면 [math(\dfrac 1x)] 함수 아래의 넓이와 직사각형들 넓이의 합의 차(식으로 쓰면 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \!\left( \sum_{k=1}^n \frac1k - \int_1^n \frac{{\rm d}k}k \right) \\)])다. 참고로 이 상수가 유리수인지 무리수인지는 아직도 밝혀내지 못했다.
[4]
이때까지만 해도 정의역은 [math(0)]이 아닌 실수 [math(n)]이었으나, 추후 연구를 통해 복소수로 확장할 수 있다는 점이 밝혀지게 된다.
[5]
베르누이 정리의 그 베르누이 맞다.
베르누이 수열을 발견한
야콥 베르누이의 조카이다.
[6]
역시
골드바흐 추측의 그 골드바흐이다. 오일러와 친했던 것으로 알려져 있다.
[7]
물론 당시 오일러는 편지에서
지수함수의 적분에 대한 특징과 극한, 로피탈의 정리를 통해 유도하는 방식으로 증명했다.
[8]
[math(n)]에 [math(z)]를, [math(k)]에 [math(n)]을 대입해보면 알 수 있듯이 아래 식은 감마 함수의 단순항꼴이다.
[9]
상술한 극한값 증명 과정에서 분자를 [math(k^n)]으로 바꿔보면 바로 알 수 있다.
[10]
음수의 감마 함수 그래프는 [math(1)] 간격으로 종유석과 석순을 교대로 그린다고 생각하면 된다.
[11]
후술할 다이감마 함수를 염두에 둔다면
[math(digamma)](digamma)로 표기할 수도 있겠으나, 라틴 문자 [math(F)]와 혼동할 수 있기 때문에 채택되지 못한 것으로 보인다.