최소공배수

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1. 개요2. 찾는 법3. 성질4. 증명5. n 이하의 모든 자연수의 최소공배수6. 관련 문서

1. 개요

最小公倍數 · least common multiple, LCM

초등학교 5학년 때 약수(divisor or factor)와 배수(multiple)를 배운 뒤에 최대공약수(greatest common divisor or greatest common factor) 와 함께 배우게 되는 내용. 공배수(common multiple)란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 수들의 공통인 배수라는 뜻이다. 최소공배수(least common multiple)는 당연히 공배수 중에서 가장 작은 것. 두 수 [math(a,b)]의 최소공배수를 기호로 [math(\text{lcm}\left(a,b\right))] 혹은 [math(\text{LCM}\left(a,b\right))]로 표기하며,[1] 더욱 줄이면 [math(\left[a,\,b\right])]로 표기하기도 한다.[2]

간혹 최대공배수로 잘못 부르는 경우가 있는데, 최대공배수는 존재하지 않는다. 공배수는 한없이 커지므로, 가장 큰 숫자를 정의할 수 없기 때문. 마찬가지로 최소공약수 또한 어떤 수 집합이든 무조건 1이므로 의미가 없다.

2. 찾는 법

예시로 두 수 10, 12의 공배수를 찾고 싶다고 하자. 먼저 두 수의 배수를 쭉 나열한다.

10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...

여기서 위아랫줄 동시에 나타나는 수가 바로 공배수이다. 최소공배수는 앞서 설명했듯이 공배수 중 가장 작은 것. 이 예시의 경우에는 60이 최소공배수가 된다. 같은 방법으로 세 수 이상의 최소공배수도 구할 수 있다.

하지만 숫자를 나열하는 방법으로 최소공배수를 찾는게 힘들다면? 이 때는 소인수분해를 이용해서 최소공배수를 찾는다. 10과 12를 각각 소인수분해하면,

[math(10=2\cdot5)]
[math(12=2^2\cdot3)]

이제 중복되는 소인수는 차수가 큰 횟수만큼, 그리고 나머지 소인수를 모두 곱해주면 그 값이 최소공배수이다. 위 예시에서는 2를 두 번,[3] 3을 한 번, 그리고 5를 한 번 곱한 값, 즉 60이 최소공배수가 된다. 특히, 숫자가 서로소이면, 그냥 아무런 생각도 하지않고 두 수를 곱해주기만 하면 그 값이 최소공배수가 됨을 알 수 있다.

위에서 봤듯이 최소공배수는 대수학적으로는 그 성질을 다루기가 매우 까다롭기 때문에 특수함수에 속한다.

최대공약수 [math(\gcd)]를 이용하는 방법도 있다. 최대공약수와 다음과 같은 관계가 성립한다:

[math(\mathrm{lcm}(a,\,b) = \dfrac{|ab|}{\gcd(a,\,b)})]

단, 최대공약수도 최소공배수도 모를 경우 순환논법이 될 수 있음을 주의해야 한다.

세 수 이상의 최소공배수를 구하려면 다음과 같이 함수를 계속 취해주면 된다.

세 수 [math(a,\,b,\,c)]에 대해서
[math(\mathrm{lcm}(a,\, b,\, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a,\, b),\, c) \equiv \dfrac{| abc |}{\gcd\left( \frac{| ab |}{\gcd(a,\,b)},\, c \right)})]
이 성립한다.

3. 성질

두 정수 [math(a,b)]에 대하여,

[math(\text{lcm}\left(a,b\right)\mid ab)]
[math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=ab)]
[math(a\mid \text{lcm}\left(a,b\right))]
[math(b\mid \text{lcm}\left(a,b\right))]

~~최대공약수는 성질이 많은데 얘는... 그나마 있는 하나도 최대공약수가 끼어있다.~~

4. 증명

1. [math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m)], [math(n)]에 대해 [math(a=Gm,b=Gn)], ([math(m,n)]은 서로소)가 성립한다. 이때, lcm[math(\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn\mid G^2mn=ab)]

2. [math(\gcd\left(a,b\right)=G)]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math(m,n)]에 대해 [math(a=Gm)], [math(b=Gn)], ([math(m,n)]은 서로소)가 성립한다. 이때, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn)]이다. 따라서, [math(\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=G^{2}mn=ab)]

5. n 이하의 모든 자연수의 최소공배수

<colbgcolor=#CEF> n	<colbgcolor=#EEE> n 이하의 모든 자연수의 최소공배수
3	6
4	12
5, 6	60
7	420
8	840
9, 10	2,520
11, 12	27,720
13~ 15	360,360
16	720,720
17, 18	12,252,240
19~ 22	232,792,560
23, 24	5,354,228,880
25, 26	26,771,144,400
27, 28	80,313,433,200
29, 30	2,329,089,562,800
31	72,201,776,446,800
32~ 36	144,403,552,893,600
37~ 40	5,342,931,457,063,200

6. 관련 문서

[1] [math(\text{lcm})]은 least common multiple의 줄임말 [2] 다만 [math(\left[a,\,b\right])]은 폐구간 표현과 겹치므로 사용에 주의할 필요가 있다. [3] 2는 중복되는 소인수인데, 12쪽의 2가 차수가 크므로 그 차수만큼(2번) 곱해준다. ~~콩까지마~~