| 수 체계 | ||||||
|
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px" |
사원수 [math(mathbb H)] | |||||
| ↑ 확장 ↑ | ||||||
| 복소수 [math(mathbb C)] | ||||||
| ↑ 대수적 폐포, 행렬 표현, 순서쌍 구성 등 ↑ | [[허수|허수 [math(\mathbb{C}]] | |||||
| 실수 [math(mathbb R)] | ||||||
| ↑ 완비화, 데데킨트 절단 등 ↑ | 무리수 [math(mathbb{R} setminus mathbb{Q})] | |||||
| 유리수 [math(mathbb Q)] | ||||||
| ↑ 곱셈의 역원 ↑ | 정수가 아닌 유리수 [math(\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z})] | |||||
| 정수 [math(mathbb Z)] | ||||||
| ↑ 덧셈의 역원 ↑ | 음의 정수 [math(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N})] | |||||
| 범자연수 [math(mathbb N_0)] | ||||||
| ↑ 자연수의 집합론적 구성 ↑ | ||||||
| [math(0)] | ||||||
| 소수 [math(\mathbb P)] · 초실수 [math(\mathbb R^{\ast})] · 대수적 수 [math(\mathbb A)] · 초월수 [math(\complement {\mathbb A})] · 벡터 공간 [math(\mathbb V)] | }}}}}}}}} | |||||
| {{{#!wiki style="margin-top:-10px;margin-bottom:-10px;" |
<tablebordercolor=#2667a9><tablealign=center><tablewidth=310><tablebgcolor=#2667a9> |
}}} | |
|
{{{#!wiki style="margin: -0px -10px -5px; min-height: 26px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -2px -12px" |
<colbgcolor=#2667a9> ㄱ | <colbgcolor=#ffffff,#191919> 각도 · 규칙 · 각기둥 · 곱셈 공식 · 공약수 · 그래프 · 각뿔대 · 겉넓이 · 거듭제곱 | |
| ㄴ | 내각 · 내접 · 농도 | ||
| ㄷ | 다각형 · 도형 · 단항식 · 등식 · 다항식 · 도수분포표 · 대푯값 · 동위각 · 도수분포다각형 · 등변사다리꼴 | ||
| ㅁ | 막대 그래프 · 무리수 · 미지수 · 면 · 맞꼭지각 · 마름모 | ||
| ㅂ | 부채꼴 · 부피 | ||
| ㅅ | 소수 · 사각형 · 삼각형 · 삼각비 · 실수 · 소인수분해 · 순환소수 · 사분면 · 선 · 수선 · 선분 · 상대도수 · 산포도 · 산점도 · 수직이등분선 | ||
| ㅇ | 원 · 원기둥 · 일차방정식 · 이차방정식 · 유리수 · 유한소수 · 일차함수 · 연립방정식 · 이차함수 · 완전제곱식 · 외각 · 엇각 · 외심 · 이등변삼각형 · 원주각 · 원주율 | ||
| ㅈ | 자연수 · 좌표평면 · 제곱근 · 정수 · 점 · 작도 · 전개도 · 중선 · 중근 · 지수 · 직사각형 | ||
| ㅊ | 최소공배수 · 최대공약수 | ||
| ㅍ | 피타고라스 정리 · 평행선 · 평행사변형 | ||
| ㅎ | 함수 · 합동 · 히스토그램 · 합성수 · 회전체 · 현 · 확률 | ||
| 기타 | 수학교육학 | ||
| 수학(교과) 관련 틀 둘러보기 | }}}}}}}}} | ||
1. 개요
整 數 / integer[英] / zahlen[獨][3][math(n)]이 0 또는 자연수일 때, [math(n+x=0)][4]을 만족하는 모든 [math(x)], 모든 [math(n)]을 통틀어 '정수'라고 한다. 그리고 특정 [math(n)]에 대한 [math(x)]의 표기를 [math(x=-n)]으로 한다.
정수 내에서는 자연수를 양의 정수라 부르며, [math(\{ -1,\,-2,\,-3,\cdots \} )]를 음의 정수라고 한다. [math(0)]은 양의 정수도, 음의 정수도 아닌 정수이다. 집합 기호 표현으로는 독일어의 Zahlen의 앞글자에서 따온 [math( \mathbb{Z} )]를 사용한다.[5] 한자 '정( 整)-'은 가지런하다는 뜻을 담고 있다.
정수 집합 기호의 응용으로, 양의 정수의 집합을 [math(\Z^+)], 음의 정수의 집합을 [math(\Z^-)], [math(0)] 이상의 정수의 집합을 [math(\Z^{0+})], [math(0)] 이하의 정수의 집합을 [math(\Z^{0-})]라고 표기한다.
유리수의 기약분수 표현에서 분모가 [math(1)]인 것들만이 정수가 된다. 임의의 실수는 정수 [math(n)]과 [math(0 \le x < 1 )]인 소수 [math(x)]의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다는 성질이 있고, 여기서 [math(x)]가 [math(0)]일 때만이 정수가 되는 것은 당연하다. 이때 [math(n)]을 정수부분, [math(x)]를 소수부분이라 한다. 상용로그의 지표와 가수를 생각하면 된다. [6]
정수(와 자연수)의 성질을 연구하는 학문을 정수론이라 한다. 항목을 참고하면 알겠지만 정수론은 수학의 굵직한 분야 중 하나고, 어찌 보면 이는 정수가 실수보다 복잡한 성질을 갖고 있다는 의미이다.[7]
이 정수론에서는 정수 뿐만 아니라, 정수와 비슷하게 덧셈과 곱셈이 정의되고 닫혀 있는 여러 가지 '정수 비슷한 집합'들도 생각한다.[8] 대표적인 예로 정수 [math(a)]가 square free일 때[9] [math(\mathbb{Z}\left[\sqrt{a}\right] = \left\{ n + m \sqrt{a} : n, m\in \mathbb{Z} \right\})] 같은 집합을 생각할 수 있다. [math(a=-1)]일 때 이 집합은 실수부와 허수부가 모두 정수인 가우스 정수(Gaussian integer)라는 이름으로 불린다. 이 가우스 정수에서는 [math(2)]가 소수가 아니게 된다. [math(2=\left(1+i\right)\left(1-i\right))]이기 때문. [math(\sqrt{a})]를 공통수학에서 나오는 3차 단위근 [math(\omega)][10]으로 바꾸면 이 집합은 아이젠슈타인 정수(Eisenstein integer)라는 이름이 붙고, 페르마의 마지막 정리에서 [math(n=3)]인 경우를 증명할 때 사용된다. [11]
컴퓨터 분야에서는 정확도 손실이 불가피한 실수보다는 표현이 확실한 정수가 선호된다. 어찌 보면 암호학이나 전산학 등의 이산수학이 발전하면서, 쓸모없는 정수론에 그나마 눈곱만큼의 수요가 생겼다고 볼 수도 있겠다.
2. 정수 집합의 크기
정수 집합 [math(\mathbb{Z})]은 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]과 그 농도가 같은데, 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]에서 정수 집합 [math(\mathbb{Z})]으로 가는 일대일 함수를 다음과 같이 정의할 수 있기 때문이다.| [math(f\left(n\right)=\displaystyle\left(-1\right)^{n}\cdot\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)] |
3. int형 변수(정수형 변수)
int형 변수는 실생활에서는 거의 쓰이지 않지만 C언어와 아두이노에서 아주 많이 사용된다.비트 수에 따라 다르며, 정수형 중 가장 작은 short 형의 경우 최소값이 -32768, 최댓값이 32767이다.
4. 닫혀 있는 연산
- 나눗셈을 제외한 사칙연산 전부.
- 실수부 함수 [math(\Re)][12], 허수부 함수 [math(\Im)][13]
- 부호 함수 [math(\mathrm{sgn})]
- 지시함수 [math(\bold{1}_{\mathbb P}, \bold{1}_{\mathbb N}, \bold{1}_{\mathbb Z}, \bold{1}_{\mathbb Q}, \bold{1}_{\mathbb I}, \bold{1}_{\mathbb R})] 등
- 어림할 때의 함수 [math(\lfloor \, \rfloor,\lceil \, \rceil)]
5. 목록
6. 여담
일본어와 중국어에서는 양수를 나타내는 正 数(정수)와 발음이 같아서 종종 혼동된다. 整 数와 正数는 일본어로 せいすう로 발음이 같고, 중국어에서는 각각 zhěngshù, zhèngshù로 성조만 다르다.[14] 문화어로는 '옹근수'라고 한다.7. 둘러보기 틀
|
수와
연산 Numbers and Operations |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
<colbgcolor=#765432> 수 체계 | 자연수 ( 홀수 · 짝수 · 소수 · 합성수) · 정수 · 유리수 ( 정수가 아닌 유리수) · 실수 ( 무리수 · 초월수) · 복소수 ( 허수) · 사원수 | |
| 표현 | 숫자 ( 아라비아 숫자 · 로마 숫자 · 그리스 숫자) · 기수법( 과학적 기수법 · E 표기법 · 커누스 윗화살표 표기법 · 콘웨이 연쇄 화살표 표기법 · BEAF· 버드 표기법) · 진법 ( 십진법 · 이진법 · 8진법 · 12진법 · 16진법 · 60진법) · 분수 ( 분모 · 분자 · 기약분수 · 번분수 · 연분수 · 통분 · 약분) · 소수 { 유한소수 · 무한소수 ( 순환소수 · 비순환소수)} · 환원 불능 · 미지수 · 변수 · 상수 | ||
| 연산 | 사칙연산 ( 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 구구단 · 나눗셈) · 역수 · 절댓값 · 제곱근 ( 이중근호) · 거듭제곱 · 로그 ( 상용로그 · 자연로그 · 이진로그) · 검산 · 연산자 · 교환자 | ||
| 방식 | 암산 · 세로셈법 · 주판 · 산가지 · 네이피어 계산봉 · 계산기 · 계산자 | ||
| 용어 | 이항연산( 표기법) · 항등원과 역원 · 교환법칙 · 결합법칙 · 분배법칙 | ||
| 기타 | 수에 관련된 사항 ( 0과 1 사이의 수 · 음수 · 작은 수 · 큰 수) · 혼합 계산 ( 48÷2(9+3) · 111+1×2=224 · 2+2×2) · 0으로 나누기( 바퀴 이론) · 0의 0제곱 | }}}}}}}}} | |
|
정수론 Number Theory |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
공리 | ||
| 페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법 · 아르키메데스 성질 | |||
| 산술 | |||
| 나눗셈 | 약수· 배수 | 배수 · 약수( 소인수) · 소인수분해( 목록 · 알고리즘) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수 | |
| 약수들의 합에 따른 수의 분류 | 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 혼약수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수 | ||
| 정리 | 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 호제법 · 서로소 | ||
| 디오판토스 방정식 | 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버치-스위너턴다이어 추측(미해결) | ||
| 모듈러 연산 | |||
| 잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리 | |||
| 소수론 | |||
| 수의 분류 | 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수( 사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수 | ||
| 분야 | 대수적 정수론( 대수적 정수론/심화) · 해석적 정수론 | ||
| 산술함수 | 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식 | ||
| 정리 | 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)( 천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리 | ||
| 기타 | 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식 | ||
[英]
영어
[獨]
독일어
[3]
임의의 정수의 미지수나 집합 기호로 독일어의 약자인 [math(Z)] 내지 [math( \mathbb{Z} )]를 쓰기도 한다.
[4]
이때 [math(x)]를 'n의 덧셈에 대한 역원'이라고 한다.
[5]
정수 한정이 아니라 그냥 '숫자', '수'라는 의미도 있다. 간단히, Zahlen 의 동사형인 zahlen 이 하나하나 '세다'라는 의미이다. 친숙한 용례로는 Zahlenteufel(
수학 귀신). 영어로도
정수론을 number theory 라고 하고, 독어로도 Zahlentheorie 니 맥락이 닿아 있는 표현.
[6]
이렇게 보면 실수가 먼저이고 정수가 나중이라고 보기 쉽고 고등학교 과정까진 (심지어 수학과를 뺀 다른 대학교 과정에서도) 이런 식으로 배우는 것이 보통이다. 하지만 현대수학에선, 당장 대학교 수학과 학부 과정에 이르러선, 오히려 그 반대로 가는 것이 맞는다. 현대수학에서는 공리적으로 접근하므로 가장 구성하기 쉬운 자연수에서 시작해서 정수, 유리수, 실수 등으로 확장해나가는 방식을 사용한다. 즉, 정수로부터 (일단 유리수를 만든 다음 여기서) 실수를 '만들어내는' (정확히 말하자면 '확장하는') 것이 맞는다. 물론, 정수도 자연수로부터 만들어지는 것이다. 물론 이건 수학적인 관점, 특히 대수학(algebra)적 관점에 치중한 것이고, 자연계에서 측정되는 물리량들이 모두 실수인 것을 생각하면 생각보다 복잡한 문제이겠다. 사실, 현대수학이 탄생하기 이전 약 백수십여 년 전만 해도 유리수까지만 수(number) 취급을 하였고, 실수는 수가 아닌 다른 것(magnitude) 취급을 하였다.)
[7]
그렇다고 실수의 성질이 복잡하지 않다는 이야기는 아니다.
실해석학 문서를 보면 알겠지만, 실수에는 별별 희한한 성질이 나온다.
[8]
엄밀하게는
대수학의
환(Ring)을 참고하면 된다.
[9]
[math(n^{2}\mid a)]면 [math(n=\pm 1)]
[10]
[math(\omega^2 + \omega + 1 = 0)]의 복소근이며, [math((\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = \omega^3 -1)] 이므로 [math(\omega^3 = 1)] 의 허근이기도 하다.
[11]
이런 게 무슨 쓸모냐며 까는 이들도 있지만, 이 개념은 현대정수론에서 무척 중요한 역할을 하는 녀석이다.
[12]
[math(\Re(x) = x \in \mathbb{Z})]
[13]
[math(\Im(x) = 0 \in \mathbb{Z})]
[14]
이와 비슷한 사례로 한국어의
소수가 있다.
소수점 이하의 수로 나타낼 수 있는 수는 [소:수\]로,
나머지가 1과 자기 자신뿐인 수는 [소쑤\]로 발음하는데, 이 발음 구분이 모호해지고 있다.