다각형

평면기하학 Plane Geometry
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1. 개요2. 특징3. 공통 성질4. 분류5. 종류6. 관련 항목

1. 개요

多角形 / polygon

기하학에 등장하는 2차원 도형의 일종. 사전적 정의는 '2차원 평면 내에 존재하면서 오로지 선분으로만 이루어진 도형'. 좀 더 정확하게는 '한 평면 위에 있으면서 유한 개의 선분들이 차례로 이어져 이루어진 경로'라고 정의된다.[1]

4학년 2학기 때 나오며, 중학교 1학년 2학기 평면도형 파트에 들어가면 4학년 1학기 때 배운 삼각형과 사각형의 각의 크기의 합, 그리고 대각선의 공식과 함께 또 배운다. 고등학교 1학년에 들어가면 하위개념을 적용할때에 필요한 파트이기 때문에 반드시 알아둬야 한다.

2. 특징

기하학에서 '한 면'이 성립할 수 있는 조건들 중에는 '꼭짓점이 세 개'인 경우나 세 직선이 한 점이 아닌 지점에 서로 만날 경우가 있다. 따라서 2차원 평면에서 존재할 수 있는 가장 적은 수의 다각형은 삼각형이다. 그렇기에 일각형과 이각형은 2차원 평면에서 존재할 수 없으며, 3차원 구면좌표에서 이론적으로나마 표현이 가능하다.[2] 정확하게는 이각형은 유클리드 평면상에서 선분이 겹치는 형태로 나타나되 여러가지 정의가 안맞아서 다각형으로 인정을 못받는 것이며, 일각형은 유클리드 평면에서는 아예 나타낼 수 없다. 마찬가지로, 내각이 360도 이하인 삼각형도 2차원 평면에서 구현할 수 없고 3차원 구면좌표에서나 표현할 수 있으나 세 각의 총합이 900도를 넘어설 수 없다. 세 각이 900도~1080도인 삼각형은 180도 미만인 것과 마찬가지로 하이퍼볼릭 기하학에서 나타낼 수 있다.

다각형의 내각 중 하나가 180도를 넘어가면 그것을 오목다각형, 그 외의 것을 볼록다각형이라고 칭하기도 한다. 오목다각형은 각 모서리의 수가 4개 이상인 경우에만 존재할 수 있으며[3] 사각형의 경우 부메랑 모양이다. 다만 정확히 180도면 선분 2개가 아니라 1개로 취급한다.

어떤 다각형의 모든 꼭짓점이 원에 접하면 이것을 내접다각형이라고도 한다.

특히 모든 변의 길이와 각의 크기가 같은 다각형을 '정다각형'이라고 하는데, n이 무한대로 발산하면 정다각형은 모든 점에서의 곡률이 같은 폐곡선인 원에 가까워진다. 즉 변과 꼭짓점의 수가 많은 다각형일수록 원에 가깝다.[4][5] 백각형 이상은 육안으로 원과 구분하기 매우 어렵다. 물론 n이 3 이상의 임의의 자연수인 경우엔 항상 각이 존재하며, 이는 정의 상 원이라 할 수 없으므로 원 자체라고는 할 수 없다. 자세한 건 극한 항목 참고.

3. 공통 성질

말 그대로, 곡면이 없다.
모서리의 수 = 각의 수라는 등식이 항상 성립한다.
대각선의 수는 변의 개수를 n이라 할 때, n(n-3)/2.

이 밑의 성질은 사전적 정의에서는 깨진다. 예를 들어 삼각형에 삼각형 모양의 구멍이 있는 도형은 사전적 정의로는 육각형으로 내각의 합이 1080도, 외각은 0도가 되며, 모든 다각형과 마찬가지로 변과 꼭짓점의 수가 같지만, 경로로 다각형을 정의하여 엄밀히 따지자면 이 도형은 다각형이 아니다. 비유클리드 기하학에서도 마찬가지로 깨진다.

볼록다각형의 외각의 크기의 합은 360도이다. 왜냐하면 다각형을 따라 한 바퀴 돌았을 때 튼 각도의 합은 360이 되어야 하기 때문이다. 오목다각형에서 180도가 넘는 내각에 대한 외각을 내각과 더해서 180도가 되는 각, 즉 음의 각으로 정의하면 이 때도 외각의 합은 360도이다. (내각의 크기의 합) + (외각의 크기의 합) = 180n이 성립하는데 여기에 (외각의 크기의 합) = 360을 넣으면 내각의 크기의 합 공식을 얻을 수 있다.

내각의 합은 180(n-2)
외각의 합은 항상 360도.

곡선이 약간이라도 포함된 도형, 선이 연결되지 않은 도형은 다각형이 아니다.

4. 분류

볼록다각형(convex polygon) : 수학적 정의로는 다각형을 가로지르는 모든 선 하나가 다각형과 교점을 2개 갖는다는 걸 의미한다. 여기에서 모든 각이 180도보다 작은 다각형이라는 결론이 나온다.
볼록하지 않은 다각형(non-convex polygon) : 다각형을 가로지르는 어떤 선 하나라도 교점이 3개 이상인 다각형. 필수적으로 한 각은 180도를 넘게 된다.
간단한 다각형(simple polygon) : 모든 변들이 서로 가로지르는 변이 없는 다각형.
복잡한 다각형(complex polygon) : 한 변이라도 서로 가로지르는 다각형. 삼각형 두개를 꼭짓점 하나로 이어져있는 것을 생각해보면 된다. 케플러-푸앵소 다면체의 2차원 버전.
오목다각형(concave polygon) : 볼록하지 않으면서 간단한 다각형. 마찬가지로 한 각 이상 180도를 넘는다.
정다각형 : 모든 각의 크기가 같고, 모든 변의 길이가 같은 다각형.[6]

오목 정다각형(정다각별) : 위 정의에 따르면, 정오각형의 꼭지점을 한 번씩 건너 뛰어 연결하면 만들어지는 도형인 정오각별과 같은 별 다각형도 정다각형에 속한다.

5. 종류

6. 관련 항목

[1] '모서리'가 되는 각 선분이 만나는 '꼭지점'에 '각'이 반드시 형성되기 때문에 다각형이라는 이름이 붙었다. [2] 전문 용어로는 두 변이 만나거나, 변이 점이 될 수밖에 없다 하여 축퇴된다고 하기도 한다. [3] 360도인 경우 오각형 이상만 가능하다. [4] 삼각형보다는 사각형이, 사각형보다는 오각형이 원에 가깝다. 카를 프리드리히 가우스가 묘비에 정17각형을 새겨달라는 바람이 끝내 이뤄지지 못한 이유도 원과 구별이 잘 되지 않았기 때문. [5] 실제로 폴리곤 그래픽이 원을 이런 식으로 처리한다. [6] 정삼각형은 두 조건 중 하나가 성립하면 나머지 한 조건도 자동적으로 성립된다. [7] 웃기기 위한 개그성 도형인 듯싶지만, 이 도형은 '소수 p에 대하여 p각형의 작도가 가능하면, p는 페르마 소수이다'라는 명제를 증명하는 데 쓰였던 도형이다. 실제로 65537은 페르마 소수이다. 참고로 이 명제를 증명한 사람이 바로 수학의 황제 카를 프리드리히 가우스다.