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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
segment of a circle · 弓 形[1]원주 위의 서로 다른 두 점이 만드는 호(弧)와 현(弦)으로 둘러싸인 도형. 활처럼 생겨서 붙은 이름이다.[2] 특별히 현이 원주에 딸린 지름과 같은 도형은 반원이라고 한다. 일상생활에서는 흔히 ' 반달 모양'이라고 한다.
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호의 높이 [math(\rm\overline{EB})], 호의 (밑변)길이(또는
현) [math(\rm\overline{CD})] , 호(둘레길이) [math( |
2. 둘레
반지름의 길이를 [math(r)], 현의 길이를 [math(c\,(0\le c\le 2r))][3]라고 하면 활꼴의 둘레 길이 [math(l)]은 다음과 같다.| [math(\begin{aligned} l &= c + r\operatorname{acrd}\,\dfrac cr \\ &= c + 2r\arcsin\dfrac c{2r}\end{aligned})] |
현의 길이를 모르고 중심각 [math(\theta)](단, [math(underlinetheta = theta/{rm rad})])를 알 경우, 둘레 공식은 아래처럼 바뀐다.
| [math(\begin{aligned} l &= r( \operatorname{crd}\underline\theta + \underline\theta) \\ &= r{\left( 2 \sin \dfrac{\underline\theta}2 + \underline\theta \right)} \end{aligned})] |
3. 넓이
활꼴의 넓이는 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 빼서 구한다. 활꼴의 호의 길이에 따라 부채꼴의 중심각 [math(\theta)]와 넓이가 결정된다. 원의 반지름을 [math(r)], 중심각을 [math(\theta)](단위는 라디안)이라고 하면 부채꼴의 넓이는 [math(\dfrac12r^2\underline\theta)], 삼각형의 넓이는 [math(\dfrac12r^2 \sin\underline\theta)]이므로 활꼴의 넓이는 다음과 같다.| [math(\dfrac12r^2(\underline\theta-\sin\underline\theta))] |
4. 교육과정
대한민국에서는 중1 때 배운다.5. 관련 문서
[1]
활꼴을 한자어로
궁형(
弓
形)이라고 하나 거의 쓰지 않으며, 우리나라 교육과정에서도 '활꼴'이라는 명칭만을 사용한다.
[2]
호가 활 몸체, 현이 활시위에 대응한다.
[3]
현의 길이는 지름을 넘을 수 없지만, 현 함수인 [math(\rm crd)] 함수가 [math(\operatorname{crd}\underline\theta = 2\sin\dfrac{\underline\theta}2)], 즉 사실상 삼각함수의 특별한 케이스이기 때문에
해석적 확장을 통해 [math(\underline\theta)]가 복소수라고 하면 [math(c>2r)]인 경우의 해도 충분히 구할 수 있기는 하다. 이를 테면 [math(c=7,\,r=1)]이라고 할 때
이 문서의 예제처럼 풀면 정수를 [math(n)]이라 할 때 [math(l=7+\pi+4n\pi-2i\log\dfrac{7\pm3\sqrt5}2)]가 된다. [math(c < 0)]의 경우 [math(\arcsin)] 함수가
홀함수이므로 [math(c > 0)]에서의 값 앞에 음수 기호가 붙는 정도이다. 그러나 [math(l)]이 '활꼴의 둘레'로 정의된 물리량( [math(l \in (\{0\} \cup {\mathbb R}^+))])이기 때문에 복소수나 음수가 등장하는 [math(c>2r)] 또는 [math(c<0)] 조건에서는 그냥 해가 없다고 결론짓는 게 맞는다.