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평면기하학 Plane Geometry |
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피타고라스 정리 Pythagorean theorem |
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| [math(a^2+b^2=c^2)] |
| 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이를 제곱한 뒤 더한 것과 같다. |
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1. 개요
직각 삼각형의 세 변의 길이를 각각 [math(a,\,b,\,c)][1]라 하고 변 [math(a,\,b)] 사이 각도가 직각을 이룰 때, 즉 변 [math(c)]가 빗변일때 [math(a^2+b^2=c^2)][2] 가 성립함을 뜻하는 것으로서,[3] 고대 그리스의 피타고라스가 처음으로 증명했다고 하여 '피타고라스 정리'라고 한다.[4] 페르마의 대정리의 함수 표현을 빌려 [math(\rm FLT(2))]로 쓰기도 한다.피타고라스는 이 정리를 발견한 후 기쁨에 가득차 신에게 감사의 제사를 지냈다는 기록[5]까지 존재한다. 그러나 이 때문에 자연수의 비, 즉 분수로는 표현할 수 없는 무리수의 존재가 증명되었다.[6] 그 후 피타고라스학파는 혼란에 빠졌다. 피타고라스 학파가 거의 종교 단체 수준이었기에, 세상은 숫자(유리수)만으로 이루어졌다는 진리에 어긋난다는 이유로 함구하고 '신의 실수'로 만들어졌으며 없는 수로 취급하기로 했다. 하지만 히파소스라는 제자가 세상에 알리려다가 참수당했다느니 수장당했다느니 하는 이야기도 있다.[7]
대한민국에서는 중학교 과정에서 배우는 수학의 진리 중 하나. 본래 3학년 2학기 내용에서 다루었으나 2학년 2학기에서 다루는 것으로 변경되었다.[8] 다만 2학년 과정에서는 아직 무리수를 배우지 않았으므로[9] 자연수 범위 내에서의 피타고라스 수만 다룬다. 이후 3학년 때 무리수를 배우면서 피타고라스의 정리의 활용[10]을 배우게 된다. 이렇게 한 이유는 세계 국가 대부분이 피타고라스 정리를 중2 나이대에 배우는데[11] 유독 한국만 무리수와 묶어서 중3 나이대에 배우니 국제적으로 학력을 비교, 평가할 때 문제가 된다는 이유에서이다. 다만 일본은 아직도 피타고라스 정리가 중3 과정에 있다. 과거 중3 과정에 실려 있었을 시 원의 성질과 같이 나왔다.
참고로 유클리드 기하학의 평행선 공준과 동치이며, 이와 동치인 명제가 바로 이 정리의 확장인 코사인 법칙이다.
2. 증명
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| 피타고라스 본인의 증명으로 알려져 있는 것[12] | 유클리드의 증명[13] |
가장 많이 증명된 정리이기도 하다. 피타고라스의 정리의 증명들만 모아놓은 책도 있을 정도.[17] 혹시 다른 증명법이 있으면 학계에 발표해보자. 자신의 이름을 따서 증명법을 만들어줄 것이다. 하지만 이게 말처럼 쉬운 건 아닌 게, 지금까지 피타고라스의 정리를 증명하는 방법으로 알려진 것만 400개가 넘어간다. # 그리고 이 방법 중에는 제임스 A. 가필드 20대 미국 대통령이 발견한 것도 있다.[18]
기존에는 피타고라스 정리를 삼각법만을 사용하여 증명하는 것이 불가능하다는 주장이 대세였으나, 2023년에 미국 뉴올리언스의 두 고등학생이 사인 법칙만을 사용한 증명을 내놓았다. 물론 무한등비급수라는 해석학의 영역을 끌어다 쓰기는 했지만 다행히도 순환논증을 피할 수 있었다. 수학적으로 보완된 해당 증명
그뿐만 아니라 정리의 '역'도 성립하는 명제중 하나다. 즉, 임의의 삼각형이 [math(a^2+b^2=c^2)]을 만족하면 그 사이의 각은 직각이다. 이게 역이 성립한다는 건 피라미드가 세워질 때부터 세계 거의 모든 문화권에서 귀납적으로 알려져 있었지만 연역적으로 증명하는 건 은근히 어렵다. 2015 개정 교육과정에서는 "피타고라스 정리의 역은 직관적으로 이해하게 한다."라고 하여, 직관적으로 이해시킬 뿐 연역적 증명까지 다루지는 않고 있다.[증명][증명2] 코사인 법칙을 사용하지 않고도 삼각형의 합동 조건으로 설명할 수도 있다. 피타고라스 정리를 만족하는 삼각형의 두 변을 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변의 길이는 피타고라스 정리에 의해 남은 한 변의 길이와 같으며 이 직각삼각형과 원래의 삼각형은 SSS 합동조건에 의해 합동이 된다. 따라서 원래 삼각형은 직각삼각형임을 알 수 있다.
이 정리 덕에 [math(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1)]라는 식을 유도할 수 있다.[21]
피타고라스 정리의 일반화로 코사인 법칙이란 것이 있다. 쉽게 말하자면 피타고라스 정리 확장팩. 직각삼각형뿐 아니라 모든 삼각형에 대해 성립하는 법칙이다. 위 그림의 기호를 그대로 붙이면 [math(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C)]. [math(C=90\degree)]일 때 [math(\cos C=0)]이므로 이 식은 피타고라스 정리가 된다. 코사인 법칙은 2009 개정 교육과정에서 제외되었다가, 2015 개정 교육과정의 수학Ⅰ으로 부활했다.
발전형이 있다. 드가의 정리(de Gua's theorem)라는, 3면이 직각삼각형이고 직각인 꼭짓점이 한 점에 모이는 삼각뿔에서 각각 세 직각삼각형의 넓이의 제곱의 합이 나머지 한 삼각형의 넓이의 제곱이라는 버전.[22][식전개]
일반적인 유클리드 공간 [math(\mathbb R^n)]에서 [math(m~(m<n))]차원 르베그 가측인 부분집합 [math(S)]가 있을 때 [math(\mathbb R^n)]의 표준기저(standard basis)에서 [math(m)]개의 원소를 뽑아 만들 수 있는 부분공간 [math(W_1,\,W_2,\,\cdots,\,W_x)]에 대하여([math(x={}_n{\rm C}_m)]) [math(S)]의 [math(W_i)]로의 정사영을 [math(S_i)]라고 할 때, [math(\displaystyle \mu (S)^2=\sum_{i=1}^x\mu (S_i)^2)]이 성립한다. Donald R. Conant와 William A. Beyer가 증명하였다.
참고로 피타고라스의 정리는 유클리드 기하학에서만 성립한다. 예를 들어, 구의 표면에 직각삼각형을 그렸을 때에는 피타고라스의 정리는 성립하지 않는다. 유클리드 제5공준의 다른 표현이 피타고라스의 정리란 말도 있는 이상 당연한 결론. 애초에 구면 위에선 모든 각이 직각인 삼각형도 아무렇지 않게 그릴 수 있다.
피타고라스의 정리에 대한 역사를 다룬 책이 갈릴레오 총서에서 번역되어 나왔다. 제목은 "피타고라스의 정리 4천년 비밀의 역사(원제: The Pythagorean Theorem : A 4,000-Year History)" 관심있으면 구해볼 것.
3. 활용
'증명' 자체는 고대 그리스에서 이루어졌지만, 직각삼각형의 3변 길이 공식 자체는 3800년 전 메소포타미아의 라르사에서 발견된 점토판 Plimton 322(1820–1762 BC)에서 이미 등장했다. # 중국에서는 3000여년 전에 진자란 사람에 의해 '구고현의 정리[24]'로 독자적으로 발견했다. #주요 문명권에서는 직각삼각형을 그리기 위해 ([math(3,\,4,\,5)])를 활용했다. 직각을 활용하는 것은 매우 중요했는데, 피라미드 같은 건축물은 말할 것도 없고, 문명권이 발생한 범람원에서 범람으로 인해 땅의 모양이 바뀌었을 때 땅을 분배하기 위해 땅의 면적을 정확히 특정하는 데에도 직각을 그리는 것이 필수적이었다.
[math(c^2 = a^2 + b^2)]를 만족하는 세 자연수 [math(a,\,b,\,c)]를 피타고라스 수(pythagorean triple)라고 하며 어떤 세 자연수 [math(x,\,y,\,z)]가 피타고라스 수라면, 그 세 수에 자연수 [math(k)]를 각각 곱한 [math(kx,\,ky,\,kz)]도 피타고라스 수가 된다. 따라서 피타고라스 수 중에서도 세 수가 서로 서로소가 되는 경우가 중요한데, 그 때의 세 수를 원시 피타고라스 수라고 한다. 원시 피타고라스 수는 무한히 존재한다.[25]
하지만 [math(c^n = a^n + b^n)] 에서 자연수 [math(n)]이 [math(n\ge3)]이면 이 방정식을 만족시키는 세 자연수 [math(a,\,b,\,c)]는 한 쌍도 존재하지 않는다. 이 놀라운 명제를 전세계의 수학자들이 수백년간 증명하려고 했으나 줄줄이 실패하였고, 앤드루 와일스가 최종적으로 증명에 성공하였다. 이 명제를 페르마의 마지막 정리라고 한다.
한편 [math(c)]가 가장 긴 변일 때 [math(c^2 > a^2 + b^2)]이면 그 삼각형은 둔각삼각형이고, [math(c^2 < a^2 + b^2)]이면 그 삼각형은 예각삼각형이다.
[math(\textsf{Win} = \dfrac{\textsf{runs scored}^2}{\textsf{runs scored}^2 + \textsf{runs allowed}^2} = \dfrac1{1 + \left(\dfrac{\textsf{runs allowed}}{\textsf{runs scored}}\right)^2})]
야구를 원자단위로 분해하는 것을 업으로 하는 세이버메트릭스에서는 팀의 득실점을 가지고 시즌 승률을 예측하는 공식을 개발했는데, 그 공식의 생김새가 피타고라스의 정리와 닮았다 하여 피타고리안 승률이라 부른다. 공식은 위와 같은데 해석을 하자면 득점의 제곱/(득점의 제곱+실점의 제곱)이다.[26]
| [math(\sqrt{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}} = \begin{cases}\dfrac1h\begin{bmatrix} b & a \\ a & -b \end{bmatrix} \\ \dfrac1h\begin{bmatrix} -b & -a \\ -a & b \end{bmatrix} \\ \dfrac1h\begin{bmatrix} -b & a \\ a & b \end{bmatrix} \\ \dfrac1h\begin{bmatrix} b & -a \\ -a & -b \end{bmatrix}\end{cases}\,{\sf or}\,\begin{cases}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\end{cases})] |
행렬에 나오기도 하는데, 단위행렬의 제곱근행렬 중에 피타고라스의 정리를 만족하는 자연수로 이뤄진 행렬이 등장한다.
물리학에서 변위를 구하는데 사용될 수 있다.
건축에서는 건축물의 모서리 직각을 잡는 규준틀을 세울 때 응용된다.
4. 확장
선형대수학에서는, 내적 공간으로 이 정리를 확장하여 사용한다.[math(\bf u)]와 [math(\bf v)]가 실벡터로 정의된 내적 공간(real inner product space)에 속하는 직교(orthogonal) 벡터라면, 다음이 성립한다.
[math(\|{\bf u} + {\bf v}\|^2 = \|{\bf u}\|^2 + \|{\bf v}\|^2)]
내적의 값이 0이 되는 직교 벡터의 성질을 활용하면 쉽게 증명할 수 있다. [math(\mathbb R^2)]에서 위 정리를 생각하면 앞서 설명한 2차원 유클리드 공간에서의 피타고라스 정리가 된다.
복소수의 절댓값을 정의할 때에도 쓰인다. 절댓값의 정의가 원점으로부터의 거리이기 때문에 자연스레 나온다.
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[math(z = x+iy)]로 둘 경우 [math(|z| = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{x^2 + y^2})] |
5. 여담
- 피타고라스 정리를 이용한 기하학적 도형 중 앵무조개를 닮은 제곱근의 앵무조개가 있다.
- 피타고라스 정리가 중학교 3학년에서 중학교 2학년으로 내려간 것에 불만을 가지고 있는 사람이 많다. 기하 문제를 풀이하는 과정에서 피타고라스 정리는 아주 유용한 것 중 하나다. 닮음파트에서 꼼수로 써먹을 수 있다. 그런데 공간에서의 피타고라스 정리의 활용 부분이 교육과정에서 제외되고, 평면의 경우에도 제한적으로 사용할 수 있어 관련 심화 문제를 풀이할 때 어려움을 겪는 경우가 많다. 차라리 제곱근을 배울 때 같이 배우는 게 더 낫다고 말하는 사람들도 적지 않다. 게다가 2020년 코로나19 사태로 인하여 당시 중학교 2학년들은 학교를 안 가서 그 '축소된' 피타고라스 정리도 EBS e학습터로 배운 경우가 매우 많다.
- 피타고라스 정리의 활용이 편리한 특성상 고등 수(상) 인수분해 파트에서 주어진 식을 인수분해하고 삼각형의 성질과 엮어서 내는 등 다양한 분야에서 다양한 방식으로 활용된다. 적어도 공식이라도 알아두자.
- 피타고라스의 정리에 대한 역사를 다룬 "피타고라스의 정리(The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History)"란 책이 나왔지만 현재 품절.
- 비유클리드 기하학에서는 일반적으로 피타고라스 정리가 성립하지 않는다. 피타고라스 정리 자체가 유클리드적 공간에서의 평행선 공준 개념을 전제로 하고 성립하기 때문이다. 예컨대, 구 위에서 직각삼각형을 그리면 세 각 모두 90도인 삼각형이 그려지는데, 이 경우 [math(a^2 + b^2 = 2c^2)]가 되어 피타고라스 정리가 성립하지 않는다. 구면삼각형 문서로.
- 영미권 서브컬쳐계에서는 갑자기 천재가 된 캐릭터가 피타고라스 정리를 줄줄 읊는 식으로 묘사되는 경우가 간혹 있다. 틀린 버전으로. '이등변삼각형'의 두 변의 '제곱근'의 합은 다른 한 변의 '제곱근'의 합과 같다는 게 주된 바리에이션이다. 그런데 그 이후에 천재가 되는 것은 또 맞는 게 아이러니.
-
역수에 대한 버전도 있는데, 역 피타고라스 정리(Inverse Pythagorean theorem)라고 한다.
직각삼각형의 직각을 사이에 둔 두 변의 길이를 [math(a, b)], 직각에서 빗변에 그은 수선의 길이를 [math(h)]라고 하면
[math(\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2})]
이런 식이 성립한다. 증명은 간단한데, 직각삼각형의 세 변의 길이를 각각 [math(a, b, c)], 수선의 길이를 [math(h)]라고 했을 경우, 피타고라스 정리에 의해서 [math(c^2=a^2+b^2)]이 성립한다.
그런데, 직각삼각형의 넓이는 [math(\displaystyle S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch)]이므로, [math(ab=ch)]가 성립한다. 이 식의 좌우변을 각각 제곱하면 [math(a^{2}b^{2}=c^{2}h^{2})]가 되고, 조금 더 정리하면 [math(\displaystyle \frac{1}{h^2}=\frac{c^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}})]가 된다. 우변을 부분분수로 정리하면 [math(\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})]가 되므로 증명 완료.
6. 선분의 명칭
직각삼각형의 선분(segment)의 명칭은 밑변과 높이 그리고 빗변이다. 유클리드 기하학 원론 제1권 법칙47에서 피타고라스 정리는 밑변의 정보와 높이의 정보가 함께 등적변형의 원리에서 빗변의 정보를 만들어 낸다는 사실을 보여준다. 바꾸어 말하면 각 변의 정보들은 서로 연관되어있다는 정보를 제공한다. 각 변의 정보들에는 선분(segment)의 길이 뿐만아니라 인접한 변들이 만들어내는 각도(angle)도 포함된다.7. 관련 문서
[1]
[math(a,\,b,\,h)] 라고 쓰기도 한다. [math(h)]는 빗변(hypotenuse)을 뜻한다.
[2]
[math(c=\sqrt{a^2+b^2})]로도 쓸 수 있다.
[3]
이런 꼴의
방정식을 피타고라스 방정식(pythagorean equation)이라고도 한다.
[4]
피타고라스가 실제로 이 정리를 증명했는지는 불확실하다. 피타고라스와 동시대 사람들의 기록에는 피타고라스의 수학적 업적에 대한 내용이 없다.
[5]
황소 100마리를 바쳤다고.
[6]
정확하게 무리수임을 증명한 것으로 기록에 남는것은
유클리드의 증명. 흔히 아는 대표적인
귀류법을 이용한 증명 중 하나이다.
[7]
정확히는 신념과 어긋나는 사실을 발견했다는 이유로 비밀을 지키기 위해 살해했다고 한다.
[8]
비상과 동아출판(강옥기)에서는 중간고사범위(
삼각형의 성질 끝나고), 기타
출판사에서는 기말고사범위(도형의
닮음 끝나고)에서 배운다.
[9]
정확히는 무리수가 있다는 식으로 배우고 자세한 건 3학년 때 제곱근 배우면서 배운다.
[10]
정삼각형의 높이와 넓이, 직육면체의 대각선의 길이 등
[11]
미국은 철저하게 수학을 수준별로 운영해서 수학을 잘 하는 학생들은 8학년 때 기하를 배우지만 수학에 약한 학생은 10학년 때 기하를 배우는 등 유동적이다.
[12]
피타고라스가 실제로 어떻게 증명하였는지는 전해지지 않는다.
[13]
뭔가 중간에 휙 건너뛴 증명이지만... 삼각형 KAB와 삼각형 CAD의 같음을 이용해서 사각형 ADML와 KACH가 면적이 같음 그리고 같은 원리로 CBFG와 LMEB가 같음을 증명하는 유클리드 증명이다.
[14]
어떤 정사각형의 네 변을 [math(a:b)]의 비율로 나눈 후, 나누어진 네 점을 잇는 한 변의 길이가 [math(c)]인 새로운 정사각형을 그려서 원래 정사각형을 새로운 정사각형과 4개의 합동인 삼각형으로 구분하고, "새로운 정사각형의 넓이 = 원래 정사각형의 넓이 + 삼각형 4개의 넓이"임을 이용하여 증명하는 방법. 유클리드 증명법과 함께 중학교 수학 피타고라스의 정리 단원에서 다룬다.
[15]
등적변형과 삼각형의 합동을 이용
[16]
아인슈타인이 어렸을 때 발견하였다고 하나, 사실 이미 다른 사람이 발견하여 다음 주석에 나올 Loomis의 책에 실려 있다.
[17]
Elisha Scott Loomis가 쓴 The Pythagorean Proposition이란 책이다. 371개의 정리가 수록되어 있다.
[18]
이 네임밸류 때문인지 교과서나 참고서에 이 방법이 같이 실려있는 경우가 있다. 그런데, 사실 가필드의 증명에 등장하는 사다리꼴을 뒤집어 붙이면 완벽하게 피타고라스바스카라의 증명이다.
[증명]
코사인 법칙을 이용하면 역을 증명할 수 있다. 코사인 법칙에 의해 [math(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A)]이니 [math(a^2=b^2+c^2)]라면 [math(\cos A=0)]이 성립한다. 이 때 삼각형의 내각의 크기는 [math((0,\,\pi))]안에 있으므로 [math(\angle A = \dfrac\pi2)]이다. ■ 여기서 코사인 법칙은 피타고라스의 정리에서 쉽게 증명할 수 있다.
[증명2]
길이가 [math(a\le b\le d)]인 직각삼각형을 가정하고, [math(a^2 + b^2 = d^2)]이며, [math((a,\,b,\,d) = (a,\,b,\,c))]에서 합동임을 얻는다.
[21]
직각삼각형의 한 각을 [math(\theta)]라 하고, [math(\theta)]에 대한 밑변의 길이를 [math(a)], 높이를 [math(b)], 빗변을 [math(c)]라 하면 [math(a^2+b^2=c^2)]가 성립하는데, 여기서 양변을 [math(c^2)]로 나누면 [math(\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}=1)], 여기서 [math(\dfrac ac=\cos \theta)], [math(\dfrac bc=\sin \theta)]이니 [math({\left(\dfrac ac\right)}^2+{\left(\dfrac bc\right)}^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1)]이 된다.
[22]
직각삼각형인 세 면을 구성하는 세 변의 길이가 각각 [math(a,\,b,\,c)]라 하면 남은 한 면의 세 변의 길이는 [math(\sqrt{a^2+b^2},\,\sqrt{b^2+c^2},\,\sqrt{c^2+a^2})]이다. 헤론의 공식에 의해 이 삼각형의 넓이는 [math(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=2s)]라 할 때 [math(\sqrt{s{\left(s-\sqrt{a^2+b^2}\right)}{\left(s-\sqrt{b^2+c^2}\right)}{\left(s-\sqrt{c^2+a^2}\right)}})], 이를 풀어 간략히 하면(가독성 등을 위해 식 전개 주석으로 추가 서술) [math(\dfrac{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}2)]이다. 직각삼각형 세 면의 넓이는 각각 [math(\dfrac{ab}2,\,\dfrac{bc}2,\,\dfrac{ca}2)]이므로 드 가의 정리에 대입하면 성립한다.
[식전개]
[math(\sqrt{s(s-\sqrt{a^2+b^2})(s-\sqrt{b^2+c^2})(s-\sqrt{c^2+a^2})} \\ = \sqrt{\dfrac{2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2c^2}4{\cdot}\dfrac{2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}-2c^2}4} \\ =\sqrt{\dfrac{(b^2+c^2)(c^2+a^2)-c^4}4} \\ =\dfrac{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}2)]
[24]
구고현(勾股弦)이란 각각 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변 중에서 짧은 변(勾), 긴 변(股), 빗변(弦)을 의미한다.
[25]
홀수인 [math(a^2)]은 언제나 [math(2n+1)]의 형태로 나타낼 수 있으며, [math(a)]와 [math(n)]은 서로소이다. 따라서, [math(a,\,n,\,n+1)]의 원시 피타고라스 수 묶음의 갯수[math(=)]홀수의 갯수[math(=)]무한 개.
[26]
반쯤 우스갯소리로는 야구에서 뜬공을 잡으려고 수비수 3명이 모이면 거의 대부분 공을 놓친다는 야타고라스의 법칙이 있다. 전문용어로는 텍사스 안타.