이차함수

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1. 개요2. 그래프

2.1. 표준형2.2. 일반형2.3. 최댓값, 최솟값, 극값2.4. 대칭축2.5. 계수의 부호2.6. 이차함수의 그래프와 닮음2.7. 이차함수의 그래프와 이차방정식2.8. 이차함수의 그래프와 포물선2.9. 임의의 점에서 그을 수 있는 접선의 개수

3. 역함수4. 도함수5. 역도함수6. 복소평면7. 다변수

7.1. 2변수와 3변수의 행렬 표현법

8. 이차함수 문제

8.1. 기본문제

8.1.1. 이차함수인 함수식 찾기8.1.2. 이차함수의 항의 부호와 그래프8.1.3. 이차함수의 그래프가 지나는 점을 이용하여 미지수 찾기8.1.4. 이차함수의 최댓값·최솟값 구하기

8.2. 응용문제

8.2.1. 그래프 해석8.2.2. 이차함수의 최대/최소의 활용8.2.3. 이차함수와 직선의 위치관계8.2.4. 이차함수의 그래프에 내접하는 도형의 넓이 구하기

8.2.4.1. 삼각형8.2.4.2. 사각형

9. 각종 공식10. 기타11. 관련 문서

1. 개요

二次函數 / quadratic function

이차함수는 최고차항의 차수가 2인 다항함수를 말하며, 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다.

일반형: [math(f(x)=ax^2+bx+c )]
표준형: [math(f(x)=a(x-p)^2+q )]

여기에서 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(p)], [math(q)]는 상수이며, [math(a\neq0)]이다.

2. 그래프

이차함수의 그래프는 포물선이다. 아래의 표는 이차함수의 표준형 및 일반형에 대한 정보를 체계적으로 표현한 것이다. 단, [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(p)], [math(q)]는 실수이다.

<colbgcolor=#efefef,#555555>	[math(\boldsymbol{f(x)=a(x-p)^2+q} )]	[math(\boldsymbol{f(x)=ax^2+bx+c})]
그래프의 볼록 유형	[math(a>0)]일 때 아래로 볼록 [math(a<0)]일 때 위로 볼록
그래프의 폭	[math(\|a\|)]의 값이 클수록 감소 [math(\|a\|)]의 값이 작을수록 증가
초점-꼭짓점-준선 간 거리	[math(\|a\|)]의 값이 클수록 감소 [math(\|a\|)]의 값이 작을수록 증가
꼭짓점	[math((p,\,q))]	[math(\left(-\dfrac{b}{2a},\,\dfrac{4ac-b^2}{4a} \right))]
대칭축	[math(x=p)]	[math(x=-\dfrac{b}{2a})]
[math(\boldsymbol{x})]절편	[math(p \pm \sqrt{-\dfrac{q}{a}})] (단, [math(aq\leq 0)]일 때 존재)	[math( \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} )] (단, [math(b^2 \geq 4ac)]일 때 존재)
[math(\boldsymbol{y})]절편	[math(ap^2+q)]	[math(c )]
초점	[math(\left(p,\, q+\dfrac{1}{4a} \right))]	[math(\left(-\dfrac{b}{2a},\, \dfrac{4ac-b^2+1}{4a} \right))]
준선	[math(y = q - \dfrac{1}{4a})]	[math(y = \dfrac{4ac-b^2-1}{4a})]

2.1. 표준형

모든 이차함수는

[math(f(x)=a(x-p)^2+q \quad)](단, [math(a)], [math(p)], [math(q)]는 상수, [math(a\neq 0)])

와 같은 표준형으로 나타낼 수 있고, 이것은 그래프 [math(y=ax^2)]을 [math(x)]축의 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축의 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동한 것이다. 이에 따라, 일반적인 차원에서 이차함수의 그래프를 논하기 전에 가장 기본적인 [math(y=ax^2)]의 그래프부터 논할 필요가 있다.

[math(y=ax^2)]의 그래프는 다음과 같은 성질을 갖는다.

[math(a>0)]이면 아래로 볼록한 포물선이 되고, [math(a<0)]이면 위로 볼록한 포물선이 된다.
최솟값 혹은 최댓값이 되는 점(접선의 기울기가 [math(0)])인 점을 꼭짓점이라 하며, 꼭짓점은 원점이다.
[math(|a|)]가 커질수록 그래프의 폭은 감소하며, 작을수록 그래프의 폭은 증가한다.
[math(y)]축에 대하여 대칭이며, 이때 이 [math(y)]축을 대칭축이라 한다.

따라서 표준형 [math(f(x)=a(x-p)^2+q)]의 그래프는 다음과 같은 성질을 갖는다.

[math(a>0)]이면 아래로 볼록하며, [math(a<0)]이면 위로 볼록하다.
꼭짓점은 [math((p,\,q))]이다.
대칭축은 [math(x=p)]이다.
[math(|a|)]가 클수록 그래프의 폭은 감소하며, 작을수록 폭은 증가한다.
[math(y)]절편은 [math(ap^2+q)], [math(x)]절편은 [math(p \pm \sqrt{-\dfrac{q}{a}})](단, [math(aq \leq 0)])이거나 존재하지 않는다.

일반형에 비해 꼭짓점, 대칭축, 준선, 초점을 더 깔끔하고 극명하게 나타내기 편하지만, x절편과 y절편이 나타내기 복잡하다.

2.2. 일반형

한편, 일반형 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]는 표준형으로 나타내면

[math(\displaystyle f(x)=a\left( x+\frac{b}{2a} \right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} )]

이며 다음의 성질을 갖는다.

[math(a>0)]일 때, 아래로 볼록한 모양의 포물선을 가지며, [math(a<0)]일 때, 위로 볼록한 모양의 포물선을 갖는다.
[math(|a|)]가 커질수록 그래프의 폭은 감소하며, 작을수록 그래프의 폭은 증가한다.
꼭짓점은 [math(\left( -\dfrac{b}{2a}, \, \dfrac{4ac-b^2}{4a} \right) )]이다.
대칭축은 [math(x=-\dfrac{b}{2a})]이다.
[math(y)]절편은 [math(c)], [math(x)]절편은 [math( \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} )](단, [math(b^2 \geq 4ac)])이거나 존재하지 않는다.

표준형에 비하면, 꼭짓점, 대칭축, 초점, 준선이 매우 까다롭지만 y절편이 [math(c)]로 매우 간단하며, x절편 마저도 근의 공식과 같다.

2.3. 최댓값, 최솟값, 극값

실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 도함수는 [math(f'(x)=2ax+b)]이다. 이때, [math(f'(x)=0)]이 되도록 하는 [math(x)]값은 극값이 되며, 이차함수는 실수 전체의 집합에 대하여 오직 [math(\displaystyle x=-{b}/{2a})]에서만 극값을 갖는다. 이는 앞서 설명한 꼭짓점의 [math(x)]좌표이다. 따라서 이차함수의 그래프의 유일한 극점은 꼭짓점이며, 이차함수의 최대 혹은 최소는 단순 미분을 통해서 바로 구할 수가 있다.

이에 따라, 극값 [math(-{b}/{2a})]를 기준으로 도함수의 함숫값이 양에서 음 혹은 음에서 양으로 바뀐다. 즉, 꼭짓점을 기준으로 함숫값이 증가하다 감소하거나, 감소하다 증가하는 두 가지의 경우가 있다.

이 결과로부터 실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수의 최댓값과 최솟값을 알 수 있는데, 이차함수가 아래로 볼록하다면 최솟값은 꼭짓점의 [math(y)]좌표이며 최댓값은 없다. 위로 볼록하다면 최댓값은 꼭짓점의 [math(y)]좌표이며 최솟값은 없다.

그런데 실수 전체의 집합이 아닌 다른 집합에서 정의된 이차함수라면 최댓값과 최솟값을 모두 가질 수 있다. 다만, 그 구간 내에 꼭짓점이 포함된다면 그래프가 아래로 볼록할 경우 최솟값이, 그래프가 위로 볼록할 경우 최댓값이 꼭짓점의 [math(y)]좌표임은 변치 않는다.

2.4. 대칭축

이차함수의 그래프는 [math(x)]축과 수직인 직선에 대하여 대칭이기 때문에 이차함수 [math(f(x))]에 대하여

[math(f(k-x)=f(k+x) )]

가 성립한다. 여기서 [math(k)]는 대칭축의 [math(x)]절편이자 꼭짓점의 [math(x)]좌표이다.

위 그림과 같이, 대칭축으로부터 거리가 같은 점들의 [math(y)]좌표는 모두 같으며, 역으로 이차함수 그래프 위의 [math(y)]좌표가 같은 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]가 있을 때, 선분 [math(\overline{\rm AB})]의 중점 [math(\rm M)]은 대칭축 위에 있다. 또한, 대칭축과 이차함수의 그래프의 교점은 꼭짓점이다. 이 성질은 이차함수와 관련한 기하학적 문제를 풀 때 자주 사용한다.

또한 대칭축은 그 이차함수의 그래프의 두 근의 평균이기도 하다. 아래로 볼록한 이차함수 그래프 기준으로, 이차함수의 그래프가 x축과 서로 다른 두 지점에서 만난다면, y>0인 구간은 x<a 또는 x>b인 지점이고, y<0인 구간은 x가 a와 b 사이에 있을 때이며, y=0인 구간은 x=a 또는 x=b일 때이다. 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만날 때에는 x=a여야 y=0이므로 y>0인 구간은 x=a가 아닌 모든 실수이며, y<인 구간은 해가 없다. 마지막으로, 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않는 경우에는 x의 값이 어떠하든지 무조건 y>0이므로, y<0 및 y<0인 구간의 해가 존재하지 않는다고 결론을 도출할 수 있다.

2.5. 계수의 부호

위 내용을 종합하여 이차함수 [math(y=ax^2+bx+c)]의 그래프의 개형과 위치를 [math(a)], [math(b)], [math(c)]의 부호를 가지고 알아낼 수 있는데, 정리하면 다음과 같으며 역도 성립한다.

[math(a>0)]이면 아래로 볼록
[math(a<0)]이면 위로 볼록
[math(ab>0)]이면 대칭축은 [math(y)]축 왼쪽
[math(ab=0)]이면 대칭축은 [math(y)]축
[math(ab<0)]이면 대칭축은 [math(y)]축 오른쪽
[math(c>0)]이면 [math(y)]절편은 양수
[math(c=0)]이면 [math(y)]절편은 0
[math(c<0)]이면 [math(y)]절편은 음수

이는 이차함수의 그래프의 기하학적 의미를 묻기에 딱 좋으므로 중고등학교 시험 문제로 자주 나오는 내용이다. 예제는 아래의 '이차함수 문제' 문단을 참고하라.

2.6. 이차함수의 그래프와 닮음

모든 이차함수의 그래프는 평행이동을 통하여 [math(y=ax^2)]의 그래프로 둘 수 있으므로 가장 단순한 [math(y=ax^2)]을 고려해 보자. 다음과 같은 [math(k)]배만큼의 닮음 변환을 통해 [math(y=ax^2)]의 위의 점 [math((x,\,y) \to (x',\,y'))]로 옮겨진다고 하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k &0 \\ 0& k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \; &\to \; x'=kx,\;y'=ky\\ \; &\to \; y'=\frac{a}{k}x'^{2} \end{aligned} )]

따라서 [math(y=ax^2)]을 [math(k)]배 닮음 변환하면 포물선 [math(y=ax^2/k)]으로 옮겨지며, 이에 따라 모든 이차함수의 그래프는 닮음이다.

[math(y=ax^2)]을 닮음변환하여 [math(y=bx^2)]을 얻었다고 하자. 이때, 두 포물선의 닮음비는 다음과 같다.

[math(\displaystyle 1:\left| \frac{a}{b} \right|=|b|:|a| \quad \left(\because\displaystyle \frac{a}{k}=b \to k=\frac{a}{b}\right))]

일반적으로 두 이차함수 [math(y=ax^2+cx+d)], [math(y=bx^2+ex+f)]의 그래프의 닮음비는 다음과 같다.

[math(\displaystyle 1:\left| \frac{a}{b} \right|=|b|:|a| )]

2.7. 이차함수의 그래프와 이차방정식

이차함수의 [math(x)]절편은 [math(f(x)=0)]을 만족시키는 [math(x)]로서, 결국 이차방정식 [math(f(x)=0)]의 해이다.

따라서 이차함수 [math(y=f(x))]에 대하여 실수 범위 내에서

[math(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta))]

로 인수분해되면 [math(x)]절편은 [math(\alpha)], [math(\beta)]이다.

[math(f(x)=a(x-\alpha)^2)]

로 인수분해되면 [math(x)]절편은 [math(\alpha)]뿐이다.

[math(f(x))]가 실수 범위 내로 인수분해되지 않으면 [math(x)]절편은 존재하지 않는다.

위 성질과 포물선의 볼록 유형(상수 [math(a)]의 부호로 판단)만 파악하면 이차함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.

반대로 이 성질을 이용하여 이차함수의 그래프와 [math(x)]축의 교점이 몇 개인지를 알아볼 수 있는데, 이는 앞서 말했듯 이차함수의 그래프의 [math(x)]절편이 곧 해당 함수에 대한 방정식의 해이기 때문이다. 방정식 [math(f(x)=ax^2+bx+c=0)]은 판별식 [math(D=b^2-4ac)]에 대하여 [math(D>0)]이면 두 실근, [math(D=0)]이면 중근, [math(D<0)]이면 두 허근을 갖기 때문에 이차함수의 그래프와 꼭짓점의 개수가 각 경우에 대하여 2, 1, 0이다.

2.8. 이차함수의 그래프와 포물선

이미 포물선 문서를 통하여 이차함수 [math(x^2=4py)]는 준선이 [math(x)]축과 평행한 [math(y=-p)]이고, 초점의 좌표가 [math((0,\,p))]인 포물선임을 논했다. 따라서 이차함수 [math(y=ax^2)]을 고려한다면, 그 그래프는

초점: [math(\displaystyle \left( 0, \, \frac{1}{4a} \right) )]
준선: [math(\displaystyle y=-\frac{1}{4a} )]

인 포물선을 나타낸다. 또한 포물선의 초점을 [math(\rm F)], 이차함수 위의 임의의 점을 [math(\rm P)], [math(\rm P)]에서 준선 [math(l)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \overline{\rm PF}=\overline{\rm PH} )]

[math(y=a(x-p)^2+q)]의 그래프를 고려한다면, 이 함수는 [math(y=ax^2)]의 그래프를 아래와 같이

[math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼
[math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼

평행이동한 것이므로 초점과 준선 모두 똑같이 평행이동하게 된다. 따라서 [math(y=a(x-p)^2+q)]의 그래프는

초점: [math(\displaystyle \left( p, \, q+\frac{1}{4a} \right) )]
준선: [math(\displaystyle y=q-\frac{1}{4a} )]

인 포물선이 된다.

[math(y=ax^2+bx+c)]의 그래프를 고려한다면, 이 함수는 [math(y=ax^2)]의 그래프를 아래와 같이

[math(x)]축 방향으로 [math(-\dfrac{b}{2a})]만큼
[math(y)]축 방향으로 [math(\dfrac{4ac-b^2}{4a})]만큼

평행이동한 것이므로 초점과 준선 모두 똑같이 평행이동하게 된다. 따라서 [math(y=ax^2+bx+c)]의 그래프는

초점: [math(\displaystyle \left( -\dfrac{b}{2a}, \, \frac{4ac-b^2+1}{4a} \right) )]
준선: [math(\displaystyle y=\frac{4ac-b^2-1}{4a} )]

인 포물선이 된다.

위 식에 따라 초점과 꼭짓점, 꼭짓점과 준선 간의 거리는 [math(({4|a|})^{-1})]으로 일정하며, 최고차항의 계수 [math(a)]의 절댓값에 반비례한다. 즉, [math(|a|)]가 커지면 초점과 준선이 꼭짓점에 가까워지고, 작아지면 멀어진다.

2.9. 임의의 점에서 그을 수 있는 접선의 개수

임의의 점에서 이차함수의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 다음과 같다. 단, 그래프보다 위라는 말은 해당 점의 [math(y)]좌표가, 해당 점의 [math(x)]좌표에서의 이차함수의 함숫값보다 크다는 뜻이다. 반면, 그래프 위라는 말은, 이차함수의 그래프가 해당 점을 지난다는 뜻이다.

아래로 볼록한 경우(최고차항의 계수가 양수)

그래프보다 위에 있는 점에서 0
그래프 위에 있는 점에서 1
그래프보다 아래에 있는 점에서 2

위로 볼록한 경우(최고차항의 계수가 음수)

그래프보다 아래에 있는 점에서 0
그래프 위에 있는 점에서 1
그래프보다 위에 있는 점에서 2

이러한 특성 때문에, 이차함수의 그래프의 접선의 방정식은 굳이 미분을 하지 않고서도 구할 수 있다. 이차함수의 그래프 [math(y=f(x))]와 그 접선 [math(y=g(x))]는 접점 [math((a,\,f(a)))][1]에서만 만나기 때문에, 이차방정식 [math(f(x)-g(x)=0)]은 중근 [math(x=a)]를 가지고 판별식은 0이라는 점을 이용하면 미분 없이도 접선의 방정식을 구할 수 있다.

3. 역함수

이차함수의 역함수는 하나의 양함수로 표현할 수 없다. 이차함수 자체가 일대일대응이 아니기 때문이다. 따라서 대칭축을 기준으로 두 부분으로 나누어 조각적으로 정의하거나, 리만 곡면(Riemannsche Fläche)으로 해석적 확장을 해야 한다. 각 부분에 대한 역함수는 무리함수가 된다.

이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 역함수를 구하자. [math(x)]와 [math(y)]의 자리를 바꾸고 표준형으로 바꾼다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=ay^2+by+c \\ &=a\left( y+\frac{b}{2a} \right)^2+\frac{4ac-b^2}{a} \end{aligned} )]

위 식의 [math(y)]를 [math(x)]에 대하여 쓰면,

[math(\displaystyle \frac{1}{a}\left( x-\frac{4ac-b^2}{a} \right) =\left( y+\frac{b}{2a} \right)^2 \quad \to \quad y=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}\left(x- \frac{4ac-b^2}{4a} \right) } -\frac{b}{2a} & \left( y \geq -\dfrac{b}{2a} \right) \\ \\ \displaystyle -\sqrt{\frac{1}{a}\left(x- \frac{4ac-b^2}{4a} \right) } -\frac{b}{2a} &\left( y \leq -\dfrac{b}{2a} \right) \end{matrix}\right. )]

따라서 각 함수는 무리함수

[math(\displaystyle \begin{aligned} y=\pm \sqrt{\frac{x}{a}} \end{aligned} )]

를 다음과 같이 평행이동하여 얻은 함수이다.

[math(x)]축 방향으로 [math(\dfrac{4ac-b^2}{4a})]만큼
[math(y)]축 방향으로 [math(-\dfrac{b}{2a})]만큼

이에 따라 각각의 함수의 그래프의 꼭짓점은

[math(\displaystyle {\rm P'}\left( \dfrac{4ac-b^2}{4a},\, -\dfrac{b}{2a} \right) )]

를 공유하게 되며 이는 명백히 이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 꼭짓점 [math({\rm P})]의 [math(y=x)]에 대한 대칭점이고, 각 함수의 그래프는 [math(l':y=-b/2a)]에 대칭이며, 이는 본 함수의 대칭축 [math(l:x=-b/2a)]의 [math(x=y)]에 대한 대칭이다.

한편, 무리함수의 특성상 함수의 정의역은

[math(\displaystyle x \geq \frac{4ac-b^2}{4a} )]

이고, 역함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\displaystyle \left\{\begin{matrix} \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}\left(x- \frac{4ac-b^2}{4a} \right) } -\frac{b}{2a} & \left( y \geq -\dfrac{b}{2a} \right) &\;\cdots\;\small{①} \\ \\ \displaystyle -\sqrt{\frac{1}{a}\left(x- \frac{4ac-b^2}{4a} \right) } -\frac{b}{2a} & \left( y \leq -\dfrac{b}{2a} \right) &\;\cdots\;\small{②}\end{matrix}\right. )]

아래의 그림은 [math(a>0)]일 때 이 문단의 내용을 요약한 것이다.

한편, 표준형 [math(f(x)=a(x-p)^2+q)]의 경우

[math(\displaystyle \begin{aligned} ax^{2}+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned} )]

에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} p&=-\frac{b}{2a} \\ q&=\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned} )]

이므로 구하는 역함수는 아래와 같다.

[math( \begin{cases}\begin{aligned}&\sqrt{\dfrac1a(x-q)}+p\quad(y\geq p)\\-&\sqrt{\dfrac1a(x-q)}+p\quad(y \leq p)\end{aligned}\end{cases})]

4. 도함수

이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 도함수는 다음과 같은 일차함수이다.

[math(\displaystyle f'(x)=2ax+b)]

일차함수는 일대일대응이므로, 일차함수의 그래프에서는 [math(x)]좌표가 다른데 [math(y)]좌표가 같아질 수 없다. 따라서 이를 도함수로 하는 이차함수의 그래프에서는 접선의 기울기가 같은 서로 다른 점이 존재하지 않는다. 모든 경우에 일대일대응인 다항함수는 일차함수뿐이므로, 접선의 기울기에 관한 이러한 특성 역시 다항함수 중에서는 이차함수만의 특성이다.

5. 역도함수

이차함수 [math(f(x)=ax^2+bx+c)]의 역도함수는 다음과 같은 삼차함수이다. [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.[2]

[math(\displaystyle \int f(x)\,{\rm d}x=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx+\textsf{const.})]

6. 복소평면

복소평면에서는 포물선이 아닌 선분이 된다. [math(b^2 - 4ac \geq 0)]일 경우 [math(\Im(x) = 0)]이므로 선분이 실수축 위에 있으며, [math(b^2 - 4ac < 0)]일 경우 선분이 실수축과 수직이다.

반면에, [math(\Im(a) \neq 0)]일 때[3] 영점의 배치가 실수축에 수직도 평행도 아니다.

옆에서 보면 프링글스나 안장 같은 형태( 쌍곡포물면)가 되는데[4], 이때 꼭짓점은 안장점이 된다.

7. 다변수

변수가 둘 이상인 경우에도 이차식으로 정의되는 함수를 생각할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} y &= \sum_{ij} a_{ij} x_i x_j + \sum_i b_i x_i + c \\&= {{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} {\bf x}} + {{\bf b}^t {\bf x} }+{\bf c} \quad ({\boldsymbol{\mathsf{A}} ^t} {\boldsymbol{\mathsf{A}} } \neq 0) \end{aligned})]

이는 이차함수보다는 이차형식(quadratic form, 二次形式)이라는 이름으로 많이 불리고, 오른쪽의 행렬과 벡터로 나타낸 표현이 흔히 쓰인다.

[math(|\boldsymbol{\mathsf{A}} | \neq 0)], 즉 비퇴화(nondegenerate)이면 평행이동으로 [math(y={{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} x})]의 '기본형'으로 바꾸어 줄 수 있지만, 자주 쓰이는 개념은 아니다.

이차형식이 이차함수와 가장 다른 점은 단순히 볼록하거나 오목한 것뿐만이 아니라, 어디선 볼록하고 어디선 오목한 형태가 임계점에서 나올 수 있다는 것이다. 예를 들어 [math( y = x_1^2 - x_2^2 )] 등의 그래프를 그려보면 안장 같은 모양이 나온다. 선형대수학에서 대칭 행렬을 직교 대각화하면 이런 이차형식의 그래프 개형을 완벽히 분류할 수 있다.

곡면의 곡률을 설명할 때는 곡률을 이차형식으로 변환하여 계산한다.

7.1. 2변수와 3변수의 행렬 표현법

2변수 이차형식

[math(\displaystyle \begin{aligned} y &= \sum_{ij}^{2} a_{ij} x_i x_j\\&= a_{11} x_1^2+a_{22}x_2^{2}+(a_{12}+a_{21})x_1x_2\end{aligned})]

을 대칭행렬로 표현하면 다음과 같이 정의된다.

[math(\mathsf{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & \displaystyle \frac{a_{12}+a_{21}}{2} \\ \displaystyle \frac{a_{12}+a_{21}}{2} & a_{22}\end{pmatrix} \qquad \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} )]

3변수 이차형식

[math(\displaystyle \begin{aligned} y &= \sum_{ij}^{3} a_{ij} x_i x_j\\&= a_{11} x_1^2+a_{22}x_2^{2}+a_{33}x_3^{2}+(a_{12}+a_{21})x_1x_2+(a_{13}+a_{31})x_1x_3+(a_{23}+a_{32})x_2x_3\end{aligned})]

을 대칭행렬로 표현하면 다음과 같이 정의된다.

[math(\mathsf{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & \displaystyle \frac{a_{12}+a_{21}}{2} & \displaystyle \frac{a_{13}+a_{31}}{2} \\\\ \displaystyle \frac{a_{12}+a_{21}}{2} & a_{22} & \displaystyle \frac{a_{23}+a_{32}}{2} \\\\ \displaystyle \frac{a_{13}+a_{31}}{2} & \displaystyle \frac{a_{23}+a_{32}}{2} & a_{33} \end{pmatrix} \qquad \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} )]

8. 이차함수 문제

중3-고1 과정의 문제만 서술한다. 따라서 극한, 미분에서의 이차함수 문제, 이차곡면 문제는 서술하지 않는다.

8.1. 기본문제

8.1.1. 이차함수인 함수식 찾기

이차함수의 함수식인 것을 찾는 유형이다. 매우 쉬운 유형으로 시험에서 주로 상위번호 1-2번에 출제된다. 식이 주어지는 경우와 식을 만들어서 풀어야 하는 유형 2가지가 있다.

8.1.2. 이차함수의 항의 부호와 그래프

이차함수에서 항의 부호를 조사하여 그래프의 개형을 유추하는 유형이다.

[예제]

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2020년 고1 3월 모의고사 14번

8.1.3. 이차함수의 그래프가 지나는 점을 이용하여 미지수 찾기

이차함수의 그래프가 지나는 점을 함수식에 대입하여 미지수의 값을 구하는 유형이다. 매우 쉬운 축에 속하는 유형이다.

8.1.4. 이차함수의 최댓값·최솟값 구하기

이차함수의 최대·최소에 대한 유형이다. 최댓값·최솟값을 구하는 아주 기본적인 문제부터 정해진 범위 내에서 최댓값·최솟값 구하기, 최댓값·최솟값이 주어지고 미지수를 구하는 유형 등 여러 가지가 존재한다. 대체로 쉬운 유형이나, 심화하면 얼마든지 어려워질 수 있다.

8.2. 응용문제

8.2.1. 그래프 해석

미정계수의 범위가 주어질 때 그래프의 개형을 파악하는 문제가 주로 출제된다.

8.2.2. 이차함수의 최대/최소의 활용

변수를 [math(x)]로 설정하고 이에 따른 결과를 [math(y)]로 설정한 후 이차함수식을 세워 최댓값/최솟값을 구한다. 도형에 활용하는 문제가 많다. 범위를 구해서 푸는 것이 중요하다!

[예제]

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2021년 고1 9월 모의고사 16번

8.2.3. 이차함수와 직선의 위치관계

이차함수와 직선을 연립한 이차방정식의 판별식 [math(D)]에 대하여 [math(D>0)]이면 서로 다른 두 점에서 만나고, [math(D=0)]이면 접하고, [math(D<0)]이면 만나지 않는다는 성질을 이용한 여러 가지 문제가 출제되며, 심화하면 매우 어렵다. 방심하지 말고 열심히 연습하자. 정말 중요한 영역이다.

8.2.4. 이차함수의 그래프에 내접하는 도형의 넓이 구하기

8.2.4.1. 삼각형

이차함수의 그래프에서 꼭짓점, [math(x)]절편, [math(y)]절편을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하는 유형이다. 이미 중2 일차함수에서 비슷하게 다뤄본 유형이라 나쁘지 않으며, 기본에 충실하면 어렵지 않게 풀 수 있다.[5]

8.2.4.2. 사각형

이차함수의 그래프에 내접하는 사다리꼴, 평행사변형, 일반 사각형의 넓이를 구하는 유형은 어렵지 않은 유형이고 삼각형 넓이 문제와 유사하게 풀이하면 된다. 시험에서도 배점이 높지 않은 편이다. 정사각형, 직사각형의 넓이를 구하는 문제는 좌표를 미지수로 설정한 후 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같음을 이용하고, 직사각형은 문제에서 주어진 가로/세로의 길이의 비 또는 둘레의 길이를 이용하여 미지수에 대한 이차방정식을 세우고 이를 풀어야 한다. 그리고 네 점의 좌표를 구한 후 넓이를 구하면 된다.

9. 각종 공식

어떤 함수가 이차함수임(일 수 있음)을 알려주는 단서, 이차함수의 그래프의 거리, 이차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 그래프 속 길이와 넓이의 관계 등 각종 공식은 다항함수/추론 및 공식 참고.

10. 기타

대한민국 수학 교육과정상 중학교 3학년 1학기 끝날 즈음에 처음 배우게 된다. 이후 2학기 초반에 배우다가 삼각비로 넘어간다.
정수론에서는 2차 잉여라는 이름으로 이차함수를 다룬다.
사인함수 및 코사인함수를 취하고 적분하면, 프레넬 적분 함수를 얻을 수 있다.
이차함수이지만 영어 표기가 quadratic function이라 사차함수(quartic function)와 헷갈리기 쉽다.[6]
이차함수의 일반형에서 판별식이 0 이하이면 2개의 사분면, 판별식이 0 이상이면서 ac 값이 0 이상이면 3개, ac<0이면 모든 사분면을 지난다.[7] 또한 x절편을 두 개 가지는 이차함수가 x절편의 부호가 같으면 이차함수는 3개의 사분면을 지남과 동시에 한 사분면을 두 번 지나게 된다.

11. 관련 문서

[1] 혹은 [math((a,\,g(a)))] [2] 고등학교에서는 [math(C)]로 쓰는데, [math(\textsf{const.})]나 [math(C)]나 상수를 뜻하는 영단어 constant에서 온 것이다. [3] 즉 이차항이 허수 계수인 경우 [4] 이차함수 [math(f(x))]에 대해서 [math(\Re(f(x))=0)]이 되는 값과 [math(\Im(f(x))=0)]이 되는 값이 서로 편각이 반대이기 때문이다. 허수의 정의를 생각하면 자명한 성질. [5] 그러나 단순히 도형의 넓이를 물어보는 유형이 아닌 닮음, 무게중심 등과 융합되면 상당히 어렵다. 실제 인천의 모 중학교에서 이차함수의 그래프에 내접하는 삼각형의 넓이, 무게중심, 닮음을 융합하여 킬러문제를 출제하였다. [6] quadratic에서 d와 두번째 a를 지우면 quartic이다. [7] 이 경우 x절편의 부호가 서로 반대가 된다.