다항함수/추론

1. 개요

2. 그래프의 개형

2.1. 점대칭( 홀함수)

예제 [펼치기·접기]

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2021학년도 10월 20번

문제의 조건으로 보아 [math(f(x))]의 그래프는 점 [math((1,0))]에 대하여 점대칭이다. 따라서 [math(f(0)=0)]이면 [math(f(2)=0)]이다. 한편 [math(f(x))]의 최고차항의 계수는 [math(1)]이므로 다음이 성립한다.

[math(f(x)=x(x-1)(x-2))]

참고로 [math(S)]는 다음과 같이 계산되어 정답은 [math(4S=2)]이다.

[math(\begin{aligned}S&=\displaystyle\int_{-2}^0\left|f(x)-\left(-6x^2\right)\right|\,{\rm d}x\\&=\int_{-2}^{-1}\left(x^3+3x^2+2x\right)\,{\rm d}x+\int_{-1}^0\left\{-\left(x^3+3x^2+2x\right)\right\}\,{\rm d}x\\&=\frac12\end{aligned})]

2.2. 좌우 대칭( 짝함수)

2.3. 선형

증명 [펼치기·접기]

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전자의 식의 양변에 [math(b)] 대신 [math(t)]를 대입하면

[math(\displaystyle\int_a^t f(x)\;{\rm d}x=\frac{t-a}2\{f(a)+f(t)\})]

이를 [math(t)]에 대하여 미분하면

[math(f(t)=\dfrac12\{f(a)+f(t)+(t-a)f'(t)\})]

[math(a)] 대신 [math(x)]를 대입하면

[math(\begin{aligned}f(t)&=f(x)+(t-x)f'(t)\\\therefore f(x)&=f'(t)(x-t)+f(t)\end{aligned})]

이때 [math(y=f'(t)(x-t)+f(t))]는 다름 아닌 함수 [math(y=f(x))]의 그래프 위의 점 [math((t,\,f(t)))]에서의 접선의 방정식이다. 이것이 [math(f(x))] 자체와 일치해야 하므로 [math(f(x))]의 그래프는 직선이다. 그래프가 직선인 함수는 상수함수 또는 일차함수이므로 이 두 경우에 해당 식이 성립하는 것이다. 이 증명은 위에서 소개한 두 명제를 훌륭하게 연계해 준다.

이번에는 상수함수와 일차함수는 모두 그래프가 직선이라는 사실에 입각하여 [math(f(x)=px+q)]로 놓고 직접 계산을 진행해 보자. [math(f(x))]는 [math(p=0)]이면 상수함수, [math(p\neq 0)]이면 일차함수인 것이다. [math(f(x))]의 역도함수는 [math(F(x)=px^2/2+qx)]이므로 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a) \\&=\displaystyle \left(\frac{1}{2}pb^2+qb \right)-\left(\frac{1}{2}pa^2+qa \right) \\&=\left\{\dfrac{1}{2}p(b^2-a^2)\right\}+\{q(b-a)\} \\&= \displaystyle\frac{b-a}{2}\{p(a+b)+2q\} \\&=\frac{b-a}{2}(pa+q+pb+q) \\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} \end{aligned} )]

문제에서 위 식만을 제시했을 때 함수 [math(f(x))]의 그래프가 직선임을 알아내기 위해서는 전자의 방법을 쓰는 것이 옳다. 어떤 참인 명제의 이가 무조건 참이라는 보장이 없는 만큼 [math(f(x)=px+q)]로 나타내어지지 않는 경우에는 무조건 모순이 발생한다는 보장이 없기 때문에 엄밀한 의미로서의 '증명'이 결코 아니다. 다시 말해서 [math(f(x)=px+q)]일 수 있음을 보일 수는 있지만, [math(px+q)] 이외의 다른 가능성이 정말 없는지를 제대로 확신할 수 없다는 것이다. 심지어, 후자의 방법은 처음부터 [math(f(x)=px+q)]임을 전제하여 모순이 없음을 보이기 때문에 [math(f(x)=px+q)]로 나타내어진다는 사실을 먼저 알지 않고서는 시도하기 어려운 방법이기도 하다.

대수학적으로는 계수비교법을 통해 추론할 수 있다. [math(t)]가 상수이므로 [math(f(x)=f'(t)(x-t)+f(t))]에서 우변은 일차식이므로 [math(f(x))] 역시 일차식인 것이다. 그러나 주의할 점이 있는데, 이 방법은 [math(n=0)]일 때를 포괄하지 못한다는 것이다. 이 방법은 [math((x-t))]라는 항을 보고 우변을 일차식으로 판단한 것인데, 만약 [math(f(x))]가 상수함수이면 [math(f'(t)=0)]이므로 우변의 [math((x-t))]가 무시되어 버리기 때문이다. 그래서 전체 식은 [math(f(x)=f(t))]가 되어 임의의 실수 [math(t)]에 대하여 이 식은 충분히 참이다. 결론적으로 [math(f(x))]는 상수함수 또는 일차함수이며, [math(f(x))]의 그래프는 직선이다.

계수비교법은 이러한 문제점 때문에 사실 완전한 방법이 아닌데, 이는 아래에서 소개할 [예제]에서도 중요하게 취급된다.

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좌표평면 분석 [펼치기·접기]

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상수함수 [1] [math(f(x)>0)]
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(f(a)=f(b))]인 직사각형의 넓이와 같으므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x&=(b-a)f(a)=(b-a)f(b)\\&=\dfrac{b-a}2\{f(a)+f(b)\} \end{aligned})]

상수함수 [2] [math(f(x)=0)]
이 경우 정적분은 0이 되며, 이것은

[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x&=(b-a)f(a)=(b-a)f(b)\\&=\dfrac{b-a}2\{f(a)+f(b)\} \end{aligned})]

에 [math(f(a)=f(b)=0)]을 대입한 결과와 같다.

상수함수 [3] [math(f(x)<0)]
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(-f(a)=-f(b))]인 직사각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로

[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x&=-(b-a)\{-f(a)\}=-(b-a)\{-f(b)\}\\&=-\dfrac{b-a}2\{-f(a)-f(b)\} \end{aligned})]

음의 부호는 상쇄되므로 이 경우에도 식이 성립한다. 이상의 논의를 좌표평면에 시각화하면 다음과 같다.

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일차함수 [1] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)>0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))], [math(f(b))]인 사다리꼴의 넓이와 같으므로

[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} )]

일차함수 [2] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)<0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))], [math(-f(b))]인 사다리꼴의 넓이에 음의 값을 붙인 것과 같으므로

[math(\displaystyle\begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x&=-\frac{b-a}{2}\{-f(a)-f(b)\}\\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\} \end{aligned})]

일차함수 [3] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)>0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이와 같으므로

[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}f(b))]

인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.

일차함수 [4] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)=0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(-f(a))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로

[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\left(-\frac{b-a}{2} \right)\{-f(a)\}=\frac{b-a}{2}f(a))]

인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.

일차함수 [5] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)=0)], [math(f(b)<0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(b))]인 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로

[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\left(-\frac{b-a}{2} \right)\{-f(b)\}=\frac{b-a}{2}f(b))]

인데 이는 위 공식에서 [math(f(a)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.

일차함수 [6] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)=0)]
이 경우 정적분은 높이가 [math(b-a)]이고, 밑변과 윗변의 길이가 [math(f(a))]인 직각삼각형의 넓이와 같으므로

[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}f(a))]

인데 이는 위 공식에서 [math(f(b)=0)]을 대입한 것과 같은 결과이다.

일차함수 [7] [math(f'(x)>0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)<0)], [math(f(b)>0)]
[math(f(c)=0)]이라 하면, 정적분은 [math([a,\, c])] 구간의 직각삼각형의 넓이에 음을 붙인 것과 [math([c,\, b])] 구간의 직각삼각형 넓이의 합과 같다. [3]~[6]의 결과를 사용하면,

[math(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{c-a}{2}f(a)+\frac{b-c}{2}f(b))]

한편, [math(f(x)=px+q)]로 놓으면,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x&=\frac{(c-a)(pa+q)}{2}+\frac{(b-c)(pb+q)}{2} \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+pc(a-b)+pab-pab ] \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)+q(b-a)+pab-pab ] \quad (\because pc+q=0) \\&=\frac{1}{2}[ b(bp+q)-a(ap+q)-a(pb+q)+b(pa+q) ] \\&=\frac{1}{2}[ b\{ f(a)+f(b)\}-a\{ f(a)+f(b) \} ] \\&=\frac{b-a}{2}\{f(a)+f(b) \} \end{aligned})]

일차함수 [8] [math(f'(x)<0)]이고, 구간 [math([a,\,b])]에서 [math(f(a)>0)], [math(f(b)<0)]
일차함수 [7]과 비슷한 논법으로 확인할 수 있다. 이상의 논의를 좌표평면에 시각화하면 다음과 같다.

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예제 [펼치기·접기]

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이 내용은 2020학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ & 미적분Ⅰ 178쪽 3번에 등장하여 2020학년도 수능 나형 28번에 연계 출제되었다.

2020학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ & 미적분Ⅰ 178쪽 3번

먼저 수능특강 문제를 보자. 위에서 증명한 바와 같이 (가)에 의하여 [math(f(x))]의 그래프가 직선이므로 [math(f(x)=px+q)]([math(p)], [math(q)]는 상수)로 놓을 수 있다. 여기에서 (나), (다)를 이용하면 [math(p=3,\,q=2)]가 도출되며, 따라서 [math(f(4)=14)]이다.

수능특강의 해설에는 다음과 같은 풀이가 제시되어 있다.

2020학년도 수능 나형 28번

수능특강에 [math(a)]와 [math(b)]로 나왔던 것이 수능에서는 각각 [math(1)]과 [math(x)]로 바뀌어 나왔다. (가)를 통해 [math(f(x))]의 그래프의 개형을 추론할 수 있다. (가)의 양변을 미분하면

[math(f(x)=\dfrac{1}{2}\{f(x)+f(1)\}+\dfrac{x-1}{2}f'(x))]

양변에 [math(2)]를 곱하여 정리하면

[math(f(x)=f(1)+(x-1)f'(x))]

여기에서 [math(f(x))]가 일차함수임을 알아내는 방법은 세 가지이다.

[1] 계수비교법
좌변의 [math(f(x))]의 최고차항을 [math(ax^n)]이라고 하자. 그러면 우변의 [math(f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^{n-1})]이며 [math((x-1)f'(x))]의 최고차항은 [math(nax^n)]이다. 따라서 [math(ax^n=nax^n)]이어야 하므로 계수비교법에 의하여 [math(n=1)]이며, [math(f(x))]는 일차함수가 될 수 있다. 중요한 사실은, 이것만으로 [math(\boldsymbol{f(x)})]를 일차함수로 단정해서는 안 된다는 것이다. [math(f(x))]가 상수함수인 경우를 생각해 보자. [math(f(x)=c)]라 하면 [math(f(1)=c)], [math(f'(x)=0)]이므로 다음이 성립한다.

[math(f(x)=f(1)+(x-1)f'(x)\quad\rightarrow\quad c=c+0)]

따라서 [math(f(x))]는 상수함수여도 상관없다. 위 계수비교법으로는 [math(n=1)]이라는 결과만 나왔을 뿐 이와 같은 사실을 발견하지 못했는데, 이유는 위 [증명]에서 밝혔듯이 [math(f(x))]가 상수함수이면 [math(f'(x)=0)]이 되어 전체 식이 그저 0이 되어 버리기 때문이다. 계수비교법은 이를 간과하므로 사실 완전한 방법이 아니다.


2023 수능특강 수학Ⅱ 87쪽에서 이 문제를 계수비교법으로 해설한 바 있는데, EBS마저도 이 부분에서 오류를 범했다. [math(0)]이 아닌 상수 [math(a)]에 대하여 [math(f(x))]의 최고차항을 [math(ax^n)]으로 놓고 [math(n=1)]임을 도출했다는 것은 [math(f(x))]가 상수함수일 수도 있음을 간과한 오류이다.

[2] 사다리꼴

위와 같이 그래프가 직선이면 정적분의 값은 사다리꼴 모양의 색칠된 부분의 넓이와 같은데, (가)의 우변은 사다리꼴 넓이 공식과 일치한다. 다만 위 그림은 [math(f(1),\,f(x)>0)]인 경우인데, [좌표평면 분석]에서 밝혔듯이 그래프가 직선이기만 하면 [math(f(1))]과 [math(f(x))]의 값에 관계없이 해당 식이 성립하므로, (가)를 통해 [math(f(x))]의 그래프가 직선임을 알아낼 수 있다. 그러나 [좌표평면 분석]에서 밝혔듯이 각 경우에 따른 확고한 증명을 하기에는 계산이 복잡하여 시간이 오래 걸리므로, 이 역시 그다지 좋은 방법이 아니다. 그저 해석기하학적인 직관 정도로 참고하는 편이 좋다.

[3] 직선의 기울기
위의 식을 적당히 변형하고 [math(x)]를 [math(t)]로 치환하면 다음과 같다.

[math(\dfrac{f(t)-f(1)}{t-1}=f'(1))]

좌변의 식은 [math(f(x))]의 그래프 위의 두 점 [math((1,\,f(1)))]과 [math((t,\,f(t)))]를 지나는 직선의 기울기를 뜻하며, [math(f'(1))]은 [math(f(x))]의 [math(x=1)]에서의 접선의 기울기를 뜻한다. 우변의 [math(f'(1))]은 상수로서, 일정한 값이다. [math(t)]를 [math(1)]이 아닌 어떤 값으로 잡더라도 항상 그래프 위의 해당 두 점을 이은 직선의 기울기가 같다는 것은, 곧 [math(f(x))] 자체의 그래프의 기울기가 일정하다는 뜻이며, [math(f(x))]는 그래프가 직선으로 그려지는 상수함수이거나 일차함수라는 뜻이다.[2] 앞선 두 방법보다 훨씬 깔끔하고 논리도 완전하므로, 이 방법이 정석이자 평가원의 출제 의도라고 할 수 있다.

그런데 어떤 방법이든 (가)만으로는 [math(f(x))]의 그래프가 직선이라는 것만 알 뿐 [math(f(x))]가 상수함수인지 일차함수인지까지는 결정할 수 없는데, [math(f(x))]를 상수함수로 가정하여 [math(f(x)=c)]라 하고 (나)를 계산하면 모순이 발생하여 [math(f(x))]는 일차함수라는 것을 알 수 있다.

참고로 (나)를 이용하면 [math(f(x)=\dfrac32x+1)]이며, 답은 [math(f(4)=7)]이다. 또한, 문제의 마지막에서 [math(f(0)=1)]이라는 조건을 알려주었다는 것 자체가 [math(f(x))]가 사실상 일차함수라는 뜻이 되므로 다소 미흡한 문제이다. 왜냐하면, (가)를 통해 [math(f(x))]가 상수함수 또는 일차함수라는 사실을 알았으며, (나)와 [math(f(0)=1)]이라는 조건을 통해 [math(f(x))]의 함수식을 구체화해야 하는데, 만약 [math(f(x))]가 함숫값이 일정한 상수함수라면 (나)를 볼 필요도 없이 [math(f(0)=f(4)=1)]임을 그냥 알 수 있기 때문에 문제를 내는 의미가 없어지기 때문이다.

예제 [펼치기·접기]

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2023학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 42쪽 3번

(가)에 따라 [math(f(x))]는 그래프의 기울기가 [math(2)]인 일차함수가 된다. 곧, [math(f(x)=2x+a)]로 쓸 수 있다. 참고로 정답은 [math(22)]이다.

증명 [펼치기·접기]

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먼저, [math(f(x))]는 다항함수이므로 그 함수식은 여러 단항식 또는 다항식의 합으로 나타낼 수 있다. 이에 따라 [math(f(x)=g(x)+h(x))]와 같이 [math(f(x))]를 두 다항함수 [math(g(x))]와 [math(h(x))]의 합으로 나타낼 수 있다. 이때 [math(g(x))], [math(h(x))]에 대하여 증명하고자 하는 해당 사실이 각각 성립한다면 [math(f(x))]에 대해서도 그러한데, 다음이 성립하기 때문이다.

[math(\begin{aligned}g(x-a)+g(x+a)&=2g(x)\\+\quad h(x-a)+h(x+a)&=2h(x)\\\hline f(x-a)+f(x+a)&=2f(x)\end{aligned})]

나아가 [math(f(x)=g(x)+h(x)+i(x))]와 같이 [math(f(x))]를 세 다항함수의 합으로 나타내더라도 마찬가지의 논리가 성립함은 자명하다. 논리를 더욱 확장하면, [math(f(x))]를 동류항이 아닌 [math(k)]개의 항의 합으로 나타낼 때, 이 각 항들에 대하여 임의로 [math(f_1(x),\,f_2(x),\,\cdots,\,f_k(x))]를 대응시킬 수 있으며, 이 새로운 [math(k)]개의 다항함수들이 모두 해당 사실을 만족시킨다면 [math(f(x))] 역시 그러하다. 이 [math(k)]개의 항들은 서로 동류항이 아니므로 차수가 모두 다르다. 이 항들은 또 다시 함수로 표현 가능하므로, 증명을 위해서는 여러 차수의 함수에 따른 해당 사실의 성립 여부를 판별하기만 하면 된다. 이때, 각 항들의 계수는 이 성립 여부에 전혀 영향을 미치지 못한다. 차수가 같은 두 동류항의 계수가 각각 [math(p)], [math(q)]일 때, 이들을 각각 [math(f_p(x))], [math(f_q(x))]라 하면 등식의 성질에 의하여 다음이 성립하기 때문이다.

[math(f_p(x)=\dfrac{p}qf_q(x)\quad(p,\,q\neq0))]

[math(\begin{aligned}f_p(x-a)+f_p(x+a)&=2f_p(x)\\\Leftrightarrow f_q(x-a)+f_q(x+a)&=2f_q(x)\end{aligned})]

다시 말해서 두 명제는 서로 필요충분조건의 관계에 있기 때문에, 계수를 변경하는 것만으로는 명제의 진위를 바꿀 수가 없다는 것이다. 따라서 계산을 단순화하기 위해 [math(f(x))]가 계수가 1인 단항식 또는 상수 1인 경우만 다루어도 무방하다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

[math(f(x)=x^n\quad\textsf{\footnotesize(}n\textsf{\footnotesize은 음이 아닌 정수)})]

이에 따르면

[math((x-a)^n+(x+a)^n=2x^n)]

을 만족시키는 음이 아닌 정수 [math(\boldsymbol n)]의 값이 0 또는 1뿐임을 증명하면 된다. [math(n=0)]이면 [math(f(x)=x^0=1)]이므로 상수함수, [math(n=1)]이면 [math(f(x)=x^1=x)]이므로 일차함수가 되는 것이다. 다시 말해서 [math(f(x)=1)] 또는 [math(f(x)=x)]인 경우에만 해당 사실이 성립하고 [math(f(x)=x^2,\,x^3,\,x^4,\cdots)]에 대해서는 그렇지 않음을 증명하기만 하면, 무수히 많은 모든 다항함수에 대하여 증명을 완료한 것이나 다름없으므로, 이를 증명하자.

먼저, 이항정리에 따라 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}(x+a)^n&=\displaystyle\sum_{r=0}^n{}_n{\rm C}_ra^rx^{n-r}\\&={}_n{\rm C}_0a^0x^n+{}_n{\rm C}_1a^1x^{n-1}+{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}+{}_n{\rm C}_3a^3x^{n-3}\\&\quad+\cdots+{}_n{\rm C}_{n-1}a^{n-1}x^1+{}_n{\rm C}_na^nx^0\\\\(x-a)^n&=\displaystyle\sum_{r=0}^n{}_n{\rm C}_r(-a)^rx^{n-r}\\&={}_n{\rm C}_0a^0x^n-{}_n{\rm C}_1a^1x^{n-1}+{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}-{}_n{\rm C}_3a^3x^{n-3}\\&\quad+\cdots+{}_n{\rm C}_{n-1}(-a)^{n-1}x^1+{}_n{\rm C}_n(-a)^nx^0\end{aligned})]

곧, [math((x+a)^n)]과 달리 [math((x-a)^n)]을 전개하면 [math(+)]와 [math(-)]가 교대로 출현한다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\begin{matrix}&(x+a)^n&=&{}_n{\rm C}_0a^0x^n&+&\cancel{{}_n{\rm C}_1a^1x^{n-1}}&+&{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}&+&\cancel{{}_n{\rm C}_3a^3x^{n-3}}&+&\cdots&\\+\quad\quad\quad&(x-a)^n&=&{}_n{\rm C}_0a^0x^n&-&\cancel{{}_n{\rm C}_1a^1x^{n-1}}&+&{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}&-&\cancel{{}_n{\rm C}_3a^3x^{n-3}}&+&\cdots&\\\hline\quad\quad\quad(x+a)^n\;+\!\!\!\!\!&(x-a)^n&=&2{}_n{\rm C}_0a^0x^n&&&+&2{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}&&&+&\cdots&\end{matrix})] [math(\begin{aligned}\therefore(x+a)^n+(x-a)^n&=2\left({}_n{\rm C}_0a^0x^n+{}_n{\rm C}_2a^2x^{n-2}+{}_n{\rm C}_4a^4x^{n-4}+\cdots\right)\\&=\displaystyle\sum_{r=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{}_n{\rm C}_{2r}a^{2r}x^{n-2r}\end{aligned})]

곧, 두 전개식을 비교해 보면 [math(a^0,\,a^2,\,a^4,\,\cdots)]와 같이 [math(a)]가 짝수 번 제곱되는 항은 부호가 같으므로 두 번 더해지고 [math(a^1,\,a^3,\,a^5,\,\cdots)]와 같이 [math(a)]가 홀수 번 제곱되는 항은 부호가 다르므로 상쇄되는 것이다.

[math(n=0,\,1,\,2,\,3,\,4)]일 때의 계산 결과를 통해 더 쉽게 이해해 보자.

[math(\begin{matrix}&(x+a)^0&=&1&\\+&(x-a)^0&=&1&\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^0+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^0&=&2&\\\\&(x+a)^1&=&x+a&\\+&(x-a)^1&=&x-a&\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^1+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^1&=&2x&\\\\&(x+a)^2&=&x^2+\cancel{2ax}+a^2&\\+&(x-a)^2&=&x^2-\cancel{2ax}+a^2&\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^2+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^2&=&2(x^2+a^2)&\\\\&(x+a)^3&=&x^3+\cancel{3ax^2}+3a^2x+\cancel{a^3}&\\+&(x-a)^3&=&x^3-\cancel{3ax^2}+3a^2x-\cancel{a^3}&\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^3+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^3&=&2(x^3+3a^2x)&\\\\&(x+a)^4&=&x^4+\cancel{4ax^3}+6a^2x^2+\cancel{4a^3x}+a^4&\\+&(x-a)^4&=&x^4-\cancel{4ax^3}+6a^2x^2-\cancel{4a^3x}+a^4\\\hline\quad\quad\quad\quad(x+a)^4+\!\!\!\!\!\!&(x-a)^4&=&2(x^4+6a^2x^2+a^4)&\end{matrix})]

위 계산 결과가 [math(2f(x))]와 일치하는지 판별해 보자. [math(n=0,\,1,\,2,\,3,\,4)]일 때 [math(f(x))]는 차례대로 [math(1)], [math(x)], [math(x^2)], [math(x^3)], [math(x^4)]이므로, [math(\boldsymbol{n=0,\,1})]일 경우에만 일치한다. 요컨대, [math(n\geq2)]일 경우 계산 결과에서 [math(\boldsymbol{2x^n})]과 동류항이 아닌 항이 출현하므로, [math(2f(x)=2x^n)]과 일치할 수 없게 되는 것이다. 곧, 해당 사실은 [math(\boldsymbol{f(x)})]가 상수함수이거나 일차함수일 경우에만 성립함이 증명되었다.

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3. 차수

3.1. 상수함수

증명 [펼치기·접기]

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[math(f(x)=k)]([math(k)]는 상수)로 놓으면 [math(f(a)=f(b)=k)]이므로

[math(\begin{aligned} \frac{(b-a)}{2}\{f(a)+f(b)\}&=(b-a)\dfrac{2k}{2}\\&=k(b-a) \end{aligned})]

한편, [math(f(x))]의 역도함수는 [math(F(x)=kx)]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x&=F(b)-F(a)\\&=kb-ka\\&=k(b-a)\end{aligned} )]

또한 이와 같은 사실은 [math(f(x))]가 상수함수일 경우에만 성립한다. [math(f(a)=f(b)=f(x))]라는 것 자체가 함숫값이 일정한 상수함수만의 성질이기 때문이다.

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좌표평면 분석 [펼치기·접기]

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편의상 [math(\boldsymbol{a<b})]로 가정한다. [math(a>b)]인 경우도 본질은 같으며 [math(a=b)]인 경우는 양변이 0이 됨이 자명하므로 이 경우들의 증명은 생략한다.

[1] [math(f(x)>0)]
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(f(a)=f(b))]인 직사각형의 넓이와 같으므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) \end{aligned})]

[2] [math(f(x)=0)]
이 경우 정적분은 0이 되며, 이것은

[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x=(b-a)f(a)=(b-a)f(b) \end{aligned})]

에 [math(f(a)=f(b)=0)]을 대입한 결과와 같다.

[3] [math(f(x)<0)]인 경우
이 경우 정적분은 가로의 길이가 [math(b-a)]이고, 높이가 [math(-f(a)=-f(b))]인 직사각형의 넓이에 음을 붙인 것과 같으므로

[math(\begin{aligned} \int_a^b f(x)\;{\rm d}x=-(b-a)\{-f(a)\}=-(b-a)\{-f(b)\} \end{aligned})]

음의 부호는 상쇄되므로 이 경우에도 식이 성립한다.

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3.2. 일차함수

3.3. 이차함수

3.4. 삼차함수

3.5. 사차함수

3.6. 상수함수·일차함수·이차함수

3.7. 여러 차수( 극한)

증명 [펼치기·접기]

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먼저 분모의 극한이 [math(0)]인데 전체 식은 수렴하므로, 분자의 극한도 [math(0)]이어야 한다. [math(f(x))]는 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 연속인바 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0)]

곧, [math(f(x))]는 상수항을 갖지 않는다. 따라서 우선 [math(f(x))]를 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(f(x)=\cdots+cx^{n+2}+bx^{n+1}+ax^n+dx^{n-1}+ex^{n-2}+\cdots+zx)]

식의 맨 앞에 [math(\cdots)]을 표시하는 이유는 [math(f(x))]의 차수를 모르기 때문이다. 이렇게 놓고 위 식의 분모와 분자를 약분하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+cx^{n+2}+bx^{n+1}+ax^n+dx^{n-1}+ex^{n-2}+\cdots+zx}{x^n}\\&=\lim_{x\to0}\left(\cdots+cx^2+bx+a+\dfrac{d}{x}+\dfrac{e}{x^2}+\cdots+\dfrac{z}{x^{n-1}}\right)\\&=\begin{cases}a\quad&(d=e=\cdots=z=0)\\\textsf{\footnotesize{수렴하지 않음}}\quad&(\textsf{otherwise})\end{cases}\end{aligned})]

곧, [math((n-1))]차 이하의 항들의 계수에 따라 식의 수렴 여부가 달라진다. 곧, [math((n-1))]차 이하로는 항이 존재하지 않아야 식이 일정한 값 [math(a)]로 수렴하는 것이다. 따라서 [math(f(x))]를 다시 쓰면

[math(f(x)=\cdots+cx^{n+2}+bx^{n+1}+ax^n\;(a\neq0))]

이며 [math(f(x))]의 최저차항은 [math(ax^n)]이 된다. 그리고 이는 [math(\boldsymbol{f(x)})]의 차수가 [math(\boldsymbol n)] 이상임을 의미한다. 한편, [math(a=0)]이면 같은 과정을 거쳤을 때 [math(n)]차항이 없어지므로 [math(f(x))]는 자연스럽게 [math((n+1))]차 이상이 되는 것이다.

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예제 [펼치기·접기]

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2020학년도 6월 고3 나형 20번

[math(f(x))]는 다항함수이고 [math(n)]은 자연수이며 [math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}=4)]이므로 [math(f(x))]의 최저차항은 [math(4x^n)]이며 [math(f(x))]의 차수는 [math(n)] 이상이다. 참고로 정답은 ③이다.

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증명 [펼치기·접기]

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[math(f(x))]와 [math(g(x))]의 최저차항의 차수를 각각 [math(f)], [math(g)]라 하고 [math(n)]차항의 계수를 각각 [math(F_n)], [math(G_n)]이라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f\\g(x)&=\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g\end{aligned})]

[math((f,\,g\geq0,\;f,\,g\in\mathbb{Z},\;F_fG_g\neq0))]

식의 맨 앞에 [math(\cdots)]을 표시하는 이유는 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 차수를 모르기 때문이다. 이때 극한

[math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f}{\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g})]

은 [math(fg\neq0)]이면 [math(0/0)] 꼴의 부정형이며, [math(fg=0)]이면 상수항이 발생하므로 [math(0/0)] 꼴이 되지 않는다. 그러나 어느 쪽이든지, 분모와 분자를 [math(x^{\min\{f,\,g\}})][4]으로 약분하여 극한을 구할 수 있다. 이는 기본적으로 [math(0/0)] 꼴의 부정형을 계산하는 대표적인 방법인데, 이에 해당하지 않는 [math(fg=0)]의 경우에도 이 표현 자체는 통한다는 것이다. 왜냐하면 이 경우 [math(f)]와 [math(g)] 중 적어도 하나가 [math(0)]이므로 [math(\min\{f,\,g\})]의 값도 [math(0)]이 되어 [math(x^0=1)]로 약분하는 셈인데, 이는 결국 식에 아무런 조작을 가하지 않는 것과 같기 때문이다. 따라서 [math(f(x))]와 [math(g(x))]가 상수항을 갖는지의 여부에 상관없이 다음과 같이 경우를 분류할 수 있으며, 각 경우의 극한이 어떠한지를 조사하면 된다.

[1] [math(\boldsymbol{f<g\;(\min\{f,\,g\}=f)})]
이 경우 [math(f(x))]가 [math(g(x))]보다 최저차항의 차수가 낮다. 따라서 분모와 분자를 [math(x^f)]으로 약분해서 극한을 구한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f}{\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g}\\&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x+F_f}{\cdots+G_{g+1}x^{g-f+1}+G_gx^{g-f}}\end{aligned})]

따라서 분모는 [math(0)]으로, 분자는 [math(F_f)]에 수렴하므로 극한은 [math(F_f>0)]이면 [math(\infty)]가, [math(F_f<0)]이면 [math(-\infty)]가 된다. [math(F_f\neq0)]임에 유의하자.

[2] [math(\boldsymbol{f>g\;(\min\{f,\,g\}=g)})]
이 경우 [math(g(x))]가 [math(f(x))]보다 최저차항의 차수가 낮다. 따라서 분모와 분자를 [math(x^g)]으로 약분해서 극한을 구한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f}{\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g}\\&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f-g+1}+F_fx^{f-g}}{\cdots+G_{g+1}x+G_g}\\&=\dfrac0{G_g}=0\end{aligned})]

위 경우와는 정반대로 분모는 [math(G_g)]로, 분자는 [math(0)]에 수렴하므로 극한은 [math(0)]이다. [math(G_g\neq0)]임에 유의하자.

[3] [math(\boldsymbol{f=g\;(\min\{f,\,g\}=f=g)})]
이 경우 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 최저차항의 차수가 같다. 따라서 분모와 분자를 [math(x^f=x^g)]으로 약분해서 극한을 구한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x^{f+1}+F_fx^f}{\cdots+G_{g+1}x^{g+1}+G_gx^g}\\&=\lim_{x\to0}\dfrac{\cdots+F_{f+1}x+F_f}{\cdots+G_{g+1}x+G_g}\\&=\dfrac{F_f}{G_g}\quad(\because F_fG_g\neq0)\end{aligned})]

[math(F_fG_g\neq0)]이므로 극한값은 [math(0)]이 아닌 실수가 된다.

위의 내용을 요약하면 다음과 같으므로, 해당 사실이 증명되었다.

• [math(f<g)]: 극한이 무한대로 발산
• [math(f>g)]: 극한이 [math(0)]
• [math(f=g)]: 극한이 [math(0)]이 아닌 실수

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증명 [펼치기·접기]

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먼저, [math(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x^n+\cdots}=p)]이면 [math(f(x))]의 최고차항은 [math(px^n)]임을 쉽게 알 수 있다. 이제 그 다음 단서를 보자. 위에서 [math(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^n}=a\neq0)]이면 [math(f(x))]의 최저차항은 [math(ax^n)]이라고 했다. 그렇다면 지금 언급하는 [math(\displaystyle\lim_{x\to k}\dfrac{f(x)}{(x-k)^m}=q)]인 경우는 어떨까? 이 경우 [math(x-k=t)]로 치환한 뒤 똑같이 생각하면 된다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to k}\dfrac{f(x)}{(x-k)^m}=\lim_{t\to0}\dfrac{f(t+k)}{t^m}=q)]

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{f(t+k)}{t^m}&=\lim_{t\to0}\dfrac{\cdots+ct^{m+2}+bt^{m+1}+qt^m+dt^{m-1}+et^{m-2}+\cdots+zt}{t^m}\\&=\lim_{t\to0}\left(\cdots+ct^2+bt+q+\dfrac{d}{t}+\dfrac{e}{t^2}+\cdots+\dfrac{z}{t^{n-1}}\right)\\&=\begin{cases}q\quad&(d=e=\cdots=z=0)\\\textsf{\footnotesize{수렴하지 않음}}\quad&(\textsf{otherwise})\end{cases}\\\\\therefore f(t+k)&=\cdots+ct^{m+2}+bt^{m+1}+qt^m\quad(q\neq0)\\\\\rightarrow f(x)&=\cdots+c(x-k)^{m+2}+b(x-k)^{m+1}+q(x-k)^m\quad(q\neq0)\end{aligned})]

한편, [math(\displaystyle\lim_{x\to k}\dfrac{f(x)}{(x-k)^m}=q)]에서 분모가 [math(0)]에 수렴하는데 극한값이 존재하므로 분자 역시 [math(0)]으로 수렴해야 한다. 곧, [math(\displaystyle\lim_{x\to k}f(x)=f(k)=0)]이다. 이상의 내용을 종합하면, [math(f(x))]의 최고차항은 [math(px^n)]이고 최저차항의 차수는 [math(m)]이며 [math(f(k)=0)]이다. 곧, [math(f(x))]는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(f(x)=p(x-k)^n+\cdots+c(x-k)^{m+2}+b(x-k)^{m+1}+q(x-k)^m)]

이때, [math(k=0)]이면 위와 같은 치환을 거칠 필요가 없으므로 간단히

[math(f(x)=px^n+\cdots+cx^{m+2}+bx^{m+1}+qx^m)]

이 되며, 이는 [math(f(x))]의 최고차항은 [math(px^n)], 최저차항은 [math(qx^m)]임을 뜻한다.

3.8. 차수별 특징

• 상수함수
• 유일
• 차수가 로그함수와 동일
• 원시함수가 도함수와 차수가 같음( 참고)
• 원시함수가 도함수와 일치할 수 있음([math(y=0\Rightarrow y'=0)])( 참고)
• 가능한 모든 그래프의 기울기가 일치(0으로 일정)( 참고)
• 극점의 개수가 무한대( 참고)
• 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 존재하되 유한할 수 없음
• 같은 차수의 그래프끼리 교점이 존재하되 유한할 수 없음
• 홀함수가 아니면서 그래프가 점대칭
• 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최댓값이 함수의 차수와 다름( 참고)
• 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최솟값이 함수의 차수와 같음( 참고)
• 그래프 위의 모든 점이 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점( 참고)
• 최소
• 그래프의 기울기가 일정(그래프가 선형)( 참고)
• 그래프와 수직인 직선에 대하여 대칭
• 그래프 위의 임의의 점에 대하여 대칭
• 선대칭이면서 점대칭
• 극값의 개수가 1( 참고)
• 가능한 모든 그래프의 극값의 개수가 일치(1)( 참고)
• 극댓값과 극솟값이 일치할 수 있음( 참고)
• 극댓값과 극솟값을 동시에 가질 수 있음
• 가능한 모든 그래프가 합동( 참고)
• 가능한 모든 그래프가 닮음( 참고)
• 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 존재하지 않을 수 있음
• 일대일대응이 아님
• 같은 차수의 그래프끼리 교점의 개수가 유한할 수도 있고 무한할 수도 있음
• 그래프 위의 점의 접선과 그래프의 교점의 개수가 무한대(접선과 그래프가 일치)( 참고)
• 서로 다른 차수의 다항함수(일차함수)와 그래프가 닮음/ 합동일 수 있음[A]
• 오목성 및 볼록성을 띠지 않음[B]
• 일차함수
• 유일
• 역함수와 차수가 같음( 참고)
• 가능한 모든 그래프에서 극값이 존재하지 않음( 참고)
• 가능한 모든 그래프에서 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않음
• 최소
• 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최댓값이 함수의 차수와 같음( 참고)
• 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최솟값이 함수의 차수와 다름( 참고)
• 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 항상 존재( 참고)
• 역함수가 존재( 일대일대응)
• 그래프에 따라 역함수의 그래프와의 교점의 개수가 달라짐
• 역함수의 그래프와의 교점의 개수가 무한대일 수 있음
• 극값이 존재하지 않을 수 있음( 참고)
• 그래프의 접선이 그래프와 교차하지 않음
• 최대
• 그래프의 기울기가 일정(선형)( 참고)
• 그래프와 수직인 직선에 대하여 대칭
• 그래프 위의 임의의 점에 대하여 대칭
• 가능한 모든 그래프가 합동( 참고)
• 그래프 위의 점의 접선과 그래프의 교점의 개수가 무한대(접선과 그래프가 일치)( 참고)
• 같은 차수의 그래프끼리 교점의 개수가 유한할 수도 있고 무한할 수도 있음
• 서로 다른 차수의 다항함수(상수함수)와 그래프가 닮음/ 합동일 수 있음[A]
• 오목성 및 볼록성을 띠지 않음[B]
• 기타
• 가능한 모든 그래프가 닮음( 참고)
• 가능한 모든 그래프의 극값의 개수가 일치(0)
• 그래프의 접선이 그래프와 교차하지 않음
• 이차함수
• 유일
• 가능한 모든 그래프가 닮음이면서 직선이 아님( 참고)
• 그래프가 선대칭이면서 직선이 아님( 참고)
• 그래프가 선대칭이면서 점대칭이 아님( 참고)
• 그래프의 접선의 기울기가 같은 서로 다른 점이 존재하지 않음( 참고)
• 그래프 위의 점의 접선과 그래프의 교점의 개수가 유한하고 일정(1)( 참고)
• 그래프가 직선이 아니면서 극값의 개수가 1( 참고)
• 그래프가 직선이 아니면서 볼록성이 바뀌지 않음
• 평균값 정리를 만족시키는 점이 항상 해당 구간의 정중앙에만 존재( 참고)
• 최고차항의 계수가 고정되어 있을 때 그래프와 임의의 한 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 전적으로 두 교점의 [math(x)]좌표의 차에 의존
• 최소
• 기울기가 일정하지 않음(그래프가 직선이 아님)( 참고)
• 그래프가 직선이 아니면서 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 존재하지 않을 수 있음( 참고)
• 그래프가 직선이 아니면서 일대일대응이 아님( 참고)
• 그래프가 직선이 아니면서 점대칭이 아님( 참고)
• 가능한 모든 그래프가 합동이지는 않음( 참고)
• 최대
• 극값의 개수가 1( 참고)
• 가능한 모든 그래프의 극값의 개수가 일치(1)( 참고)
• 그래프의 접선이 그래프와 교차하지 않음
• 삼차함수
• 유일
• 가능한 모든 그래프가 점대칭이면서 직선이 아님( 참고, 참고)
• 가능한 모든 그래프가 점대칭이지만 선대칭이 아님( 참고, 참고)
• 가능한 모든 그래프가 변곡점이 존재하면서 변곡점의 개수가 일치(1)( 참고)
• 가능한 모든 그래프에 평균값 정리의 역의 반례가 존재( 참고)[9]
• 최소
• 변곡점이 존재( 참고)
• 변곡점의 개수가 홀수( 참고)
• 그래프가 선대칭이 아님( 참고)
• 평균값 정리의 역의 반례가 존재( 참고)
• 일대일대응일 수도 있고 아닐 수도 있음( 참고)[10]
• 그래프가 직선이 아니면서 일대일대응일 수 있음( 개형 ②, ③, ⑤, ⑥)
• 역함수가 존재하면 역함수의 그래프와의 교점의 개수가 유한함
• 임의의 점에서 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수의 최솟값이 0이 아님( 참고)
• 그래프가 직선이 아니면서 그래프와 [math(x)]축과의 교점이 항상 존재( 참고)
• 그래프에 따라 극값의 개수가 달라질 수 있음( 참고)
• 그래프가 직선이 아니면서 극값이 존재하지 않을 수 있음( 참고)
• 그래프가 직선이 아니면서 극값의 개수가 항상 짝수( 참고)
• 그래프가 직선이 아니면서 극댓값과 극솟값을 동시에 가질 수 있음( 개형 ①, ④)
• 그래프가 직선이 아니면서 볼록성이 바뀜[11]
• 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점이 그래프 위에 존재할 수 있음( 개형 ②, ⑤)
• 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 그래프 위의 점이 존재하면 그 개수는 일정함(1)( 개형 ②, ⑤)
• 역함수가 존재하면 역함수의 그래프에 미분불능점이 존재할 수 있음( 개형 ②, ⑤)
• 그래프의 접선이 그래프와 교차할 수 있음
• 접선의 기울기가 변곡점에서 무조건 최대 혹은 최소
• 변곡점을 중심으로 접선의 기울기가 같은 두 대칭점을 가지며, 그 접선들 또한 변곡점에 대해 대칭
• [math(y)]좌표가 같은 그래프 위의 두 점의 [math(x)]좌표의 차에 최댓값이 존재할 수 있음( 참고)
• 사차함수
• 유일
• 이중접선이 존재하면 이중접선의 개수는 일정함(1)( 참고)
• 이중접선이 존재하면 이중접선은 그래프와 교차하지 않음( 참고)
• 이중접선이 존재하면 이중접선과 그래프의 교점의 개수가 일정함(2)
• 최소
• 그래프에 따라 변곡점의 개수가 달라짐( 참고)
• 변곡점의 개수가 짝수( 참고)
• 그래프가 비대칭일 수 있음[12]( 개형 ①, ②를 제외한 모든 개형)
• 그래프가 비대칭이면서 극값의 개수가 1일 수 있음( ⑨, ⑩)
• 한 그래프에 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점과 극점이 동시에 존재할 수 있음( 개형 ⑤, ⑥)
• 극값의 개수와 극점의 개수가 달라질 수 있음( 개형 ②, 참고)
• 극댓값 또는 극솟값이 둘 이상 존재할 수 있음( 개형 ③, ④)
• 그래프의 이중접선이 존재할 수 있음( 개형 ①, ⑨, ⑩을 제외한 모든 개형, 참고)
• 그래프에 따라 이중접선의 개수가 달라질 수 있음( 참고)
• 그래프의 접선이 그래프와 교차할 수도 있고 교차하지 않을 수도 있음
• 변곡점이 존재하면 모든 변곡점에서의 접선의 기울기는 최대도 최소도 아님
• 변곡점이 존재할 수 있으면서 변곡점의 존재와 이중접선의 존재가 서로 필요충분조건
• 오차함수
• 최소
• 역함수를 초등함수로 표현할 수 없음[13]
• 그래프가 직선이 아니면서 극댓값과 극솟값이 일치할 수 있음
• 극솟값이 극댓값보다 클 수 있음
• 최댓값과 최솟값이 존재하지 않으면서 한 그래프에 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 점과 극점이 동시에 존재할 수 있음
• 변곡점이 둘 이상일 때 변곡점에서의 접선의 기울기의 부호가 모두 같을 수 있음
• 서로 다른 변곡점의 접선의 기울기가 동일할 수 있음
• 접선의 기울기가 변곡점에서 최대 혹은 최소일 수 있고 그렇지 않을 수도 있음
• 이중접선이 존재하면 그래프에 따라 이중접선의 개수가 달라질 수 있음
• 이중접선이 존재하면 이중접선과 그래프가 교차함
• 이중접선이 존재하면 그래프에 따라 이중접선과 그래프의 교점의 개수가 달라질 수 있음
• 육차함수
• 유일
• 삼중접선이 존재하면 삼중접선의 개수는 일정함(1)
• 삼중접선이 존재하면 이중접선은 그래프와 교차하지 않음
• 삼중접선이 존재하면 이중접선과 그래프의 교점의 개수가 일정함(3)
• 최소
• 최댓값 또는 최솟값이 존재하면서 극댓값과 극솟값이 일치할 수 있음
• 최댓값 또는 최솟값이 존재하면서 극솟값이 극댓값보다 클 수 있음
• 이중접선이 존재하면 이중접선이 그래프와 교차할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있음
• 그래프의 삼중접선이 존재할 수 있음
• 그래프의 이중접선과 삼중접선이 동시에 존재할 수 있음
• 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 그래프 위의 점이 두 개 존재할 수 있음
• 그래프에 따라 접선의 기울기가 0이면서 극점이 아닌 그래프 위의 점이 존재하면 해당 점의 개수가 달라질 수 있음

4. 인수

증명 [펼치기·접기]

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어떤 정수 [math(k)]에 대하여 [math(f(x))]가 [math((x-a)^{n+k}\;(n+k\geq0))]으로 나누어떨어진다고 하자. 그러면 다항함수 [math(g(x))]에 대하여 [math(f(x))]를 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=(x-a)^{n+k}g(x)\quad(g(a)\neq0)\\\\\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^n}{f(x)}&=\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^n}{(x-a)^{n+k}g(x)}\end{aligned})]

이때, [math(k\geq0)]이면 다음과 같이 분모와 분자를 [math((x-a)^n)]으로 약분하여 극한을 구할 수 있다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^n}{(x-a)^{n+k}g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac1{(x-a)^kg(x)})]

[math(k)]의 값에 따라 다음과 같이 극한은 달라지지만 [math(0)]이 되지는 않는다.

• [math(\boldsymbol{k=0})]
• [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac1{(x-a)^0g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac1{g(x)}=\dfrac1{g(a)}\neq0)]
• [math(\boldsymbol{k>0})]
• [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac1{(x-a)^kg(x)}=\infty)]

[math(k<0)]이면 다음과 같이 분모와 분자를 [math((x-a)^{n+k})]으로 약분하여 극한을 구할 수 있으며, 극한값은 무조건 [math(0)]이다.

• [math(\boldsymbol{k<0})]
• [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^n}{(x-a)^{n+k}g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)^{-k}}{g(x)}=\dfrac0{g(x)}=0)]

결국 [math(k<0)]일 때만 극한값이 [math(0)]이 된다. 이는 다시 말하면 [math(f(x))]가 [math((x-a)^{n-1})]까지만 인수로 가질 수 있다는 뜻으로서, [math(f(x))]를 [math((x-a))]로 [math((n-1))]회 나눌 때까지는 계속 나누어떨어져도 되지만 [math(n)]회째 나눌 때부터는 나누어떨어져서는 안 된다는 뜻이다. 이때, 꼭 [math((n-1))]회까지 나누어떨어져야 하는 것은 아님에 유의하자. 나누어떨어짐을 '허용하는 최대 횟수'가 [math((n-1))]회라는 것이다.

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증명 [펼치기·접기]

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먼저, 어떤 상수 [math(d_0,\,d_1,\,d_2,\,\cdots)] 및 [math(a)]에 대하여 [math(n)]차함수 [math(f(x))]를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=d_n(x-a)^n+\cdots+d_1(x-a)+d_0\\&=\displaystyle\sum_{i=0}^nd_i(x-a)^i\end{aligned})]

이에 따라 [math((x-a)f'(x))]는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f'(x)&=\displaystyle\sum_{i=0}^nid_i(x-a)^{i-1}\\\rightarrow(x-a)f'(x)&=\displaystyle\sum_{i=0}^nid_i(x-a)^i\end{aligned})]

그러면 구하고자 하는 값은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{(x-a)f'(x)}{f(x)}&=\lim_{x\to a}\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^nid_i(x-a)^i}{\displaystyle\sum_{i=0}^nd_i(x-a)^i}\\&=\lim_{x\to a}\frac{nd_n(x-a)^n+\cdots+1\cdot d_1(x-a)+0\cdot d_0}{d_n(x-a)^n+\cdots+d_1(x-a)+d_0}\end{aligned})]

바로 아래에서 살펴 보겠지만, 위 극한식의 값은 분자와 분모가 [math((x-a))]로 몇 번 약분되는지에 따라 달라진다. 이때 어떤 [math(d_i)]의 값이 [math(0)]이라면 그 [math(d_i)]가 곱해진 항은 무시해도 좋으므로, 결국 위 식의 극한을 계산할 때는 [math(d_i)]의 값이 [math(0)]이 아니어서 항 [math((x-a))]가 그대로 남아 있게 되는 [math(i)]의 최솟값을 조사해야 한다. 그 이유를 알아보자. 예를 들어 [math(d_1\neq0)]이면 [math((x-a))]로는 약분할 수 있어도 [math((x-a)^2)]으로는 약분할 수 없는 반면, [math(d_1=0)]이면 해당 항들이 아예 사라져 [math((x-a)^2)]으로도 약분할 수 있게 된다. 이와 같이 [math(d_i\neq0)]인 [math(i)]의 최솟값에 따라서 분자와 분모가 [math((x-a))]로 약분되는 횟수가 달라지는 것이다. 이에 따라 그 최솟값을 [math(k)]라 하면 극한값은 다음과 같이 계산된다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{(x-a)f'(x)}{f(x)}&=\lim_{x\to a}\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^nid_i(x-a)^i}{\displaystyle\sum_{i=0}^nd_i(x-a)^i}\\&=\lim_{x\to a}\frac{\displaystyle\sum_{i=k}^nid_i(x-a)^i}{\displaystyle\sum_{i=k}^nd_i(x-a)^i}\\&=\lim_{x\to a}\frac{nd_n(x-a)^n+(n-1)d_{n-1}(x-a)^{n-1}+\cdots+kd_k(x-a)^k}{d_n(x-a)^n+d_{n-1}(x-a)^{n-1}+\cdots+d_k(x-a)^k}\\&=\lim_{x\to a}\frac{nd_n(x-a)^{n-k}+(n-1)d_{n-1}(x-a)^{n-1-k}+\cdots+kd_k}{d_n(x-a)^{n-k}+d_{n-1}(x-a)^{n-1-k}+\cdots+d_k}\\&=\frac{kd_k}{d_k}=k\quad(\because d_k\neq0)\end{aligned})]

곧, [math(d_i\neq0)]인 [math(i)]의 최솟값 [math(k)]가 그대로 극한값이 되며, 이때의 [math(f(x))]는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle\sum_{i=0}^nd_i(x-a)^i=\sum_{i=k}^nd_i(x-a)^i\\&=d_n(x-a)^n+d_{n-1}(x-a)^{n-1}+\cdots+d_k(x-a)^k\\&=(x-a)^k\left\{d_n(x-a)^{n-k}+d_{n-1}(x-a)^{n-1-k}+\cdots+d_k\right\}\end{aligned})]

따라서 [math(f(x))]는 [math((x-a)^k)]을 인수로 가지지만 [math((x-a)^{k+1})]을 인수로 가지지는 않으며, [math((x-a))]로 [math(k)]번까지만 나누어떨어진다. [math(f(x))]가 이러한 형태일 때 극한값이 [math(k)]가 되는 것이다.

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예제 [펼치기·접기]

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2016학년도 6월 고3 A형 21번

[math(f(x))]는 다항함수이므로 인수정리에 의하여 [math(f(n)=0)]이면 [math(f(x))]는 [math((x-n))]을 인수로 갖는다. 그러면 (나)의 [math((x+n)f(x))]는 [math((x+n))]과 [math((x-n))]을 인수로 갖는다. 그러면 이 함수의 그래프가 [math(x=n)]과 [math(x=-n)]에서 [math(x)]축과 만나는데, 그러면서도 함수가 항상 [math(0)] 이상이려면 여기에서 [math(x)]축과 접해야만 한다. [math(f(x))]는 삼차함수이므로, 결국 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=(x+n)(x-n)^2\\(x+n)f(x)&=(x+n)^2(x-n)^2\end{aligned})]

참고로 [math(a_n=32n^3/27)]이며 정답은 ③이다.

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증명(제곱) [펼치기·접기]

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증명하고자 하는 명제는

다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^2)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftrightarrow\; f(a)=f'(a)=0)]

과 같이 쌍조건문이다. 따라서 if 조건과 그 역을 모두 증명해야 한다. 먼저 if 조건을 증명하자. [math(f(x))]가 [math((x-a)^2)]으로 나누어떨어지면 그 몫을 [math(Q(x))]라 하여

[math(f(x)=(x-a)^2Q(x))]

로 인수분해할 수 있다. 양변에 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f(a)=0)]이고, 양변을 미분하면

[math(f'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)^2Q'(x))]

이므로 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f'(a)=0)]이다. 이제 역을 증명하자. [math(f(x))]를 [math((x-a)^2)]으로 나눈 몫을 [math(Q(x))]라 하고 나머지를 [math(ax+b)]라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(f(x)=(x-a)^2Q(x)+px+q\;\cdots\,(\rm A))]

여기에서 조건 [math(f(a)=0)]과 [math(f'(a)=0)]을 이용하면 [math(p)]와 [math(q)]의 값을 구할 수 있다. [math((\rm A))]의 양변을 미분하면

[math(f'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)^2Q'(x)+p)]

이고 양변에 [math(x=a)]를 대입하면

[math(f'(a)=p)]

에서 [math(p=0)]이다. 또한 [math((\rm A))]의 양변에 바로 [math(x=a)]를 대입하면

[math(f(a)=pa+q=q)]

이므로 [math(q=0)]이다. 따라서 다음과 같이 [math(f(x))]는 [math((x-a)^2)]으로 나누어떨어진다.

[math(f(x)=(x-a)^2Q(x))]

이 내용은 다음과 같이 2023학년도 수능특강 수학Ⅱ 36쪽에 실린 적도 있다.[14]

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증명(세제곱) [펼치기·접기]

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증명하고자 하는 명제는

다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^3)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftrightarrow\; f(a)=f'(a)=f''(a)=0)]

과 같이 쌍조건문이다. 따라서 if 조건과 그 역을 모두 증명해야 한다. 먼저 if 조건을 증명하자. [math(f(x))]가 [math((x-a)^3)]으로 나누어떨어지면 그 몫을 [math(Q(x))]라 하여

[math(f(x)=(x-a)^3Q(x))]

로 인수분해할 수 있다. 양변에 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f(a)=0)]이고, 양변을 미분하면

[math(f'(x)=3(x-a)^2Q(x)+(x-a)^3Q'(x))]

이므로 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f'(a)=0)]이다. 양변을 또 미분하면

[math(\begin{aligned}f''(x)&=6(x-a)Q(x)+3(x-a)^2Q'(x)\\&+3(x-a)^2Q(x)+(x-a)^3Q'(x)\end{aligned})]

이므로 [math(x=a)]를 대입하면 [math(f''(a)=0)]이다. 이제 역을 증명하자. [math(f(x))]를 [math((x-a)^3)]으로 나눈 몫을 [math(Q(x))]라 하고 나머지를 [math(px^2+qx+r)]이라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(f(x)=(x-a)^3Q(x)+px^2+qx+r\;\cdots\,(\rm A))]

여기에서 조건 [math(f(a)=0)], [math(f'(a)=0)], [math(f''(a)=0)]을 이용하면 [math(p)], [math(q)], [math(r)]의 값을 구할 수 있다. [math((\rm A))]의 양변을 두 번 미분하면

[math(\begin{aligned}f(x)&=6(x-a)Q(x)+3(x-a)^2Q'(x)\\&+3(x-a)^2Q'(x)+(x-a)^3Q(x)\\&+2p\end{aligned})]

이고 양변에 [math(x=a)]를 대입하면

[math(f''(a)=2p)]

에서 [math(p=0)]이다. 또한 [math((\rm A))]의 양변을 한 번 미분하면

[math(f'(x)=3(x-a)^2Q(x)+(x-a)^3Q'(x)+2px+q)]

이고 양변에 [math(x=a)]를 대입하면

[math(f'(a)=2pa+q=q)]

에서 [math(q=0)]이다. 이제 [math((\rm A))]에 바로 [math(x=a)]를 대입하면

[math(f(a)=pa^2+qa+r=r)]

이므로 [math(r=0)]이다. 따라서 다음과 같이 [math(f(x))]는 [math((x-a)^3)]으로 나누어떨어진다.

[math(f(x)=(x-a)^3Q(x))]

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증명(모든 n) [펼치기·접기]

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증명하고자 하는 명제는

다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^n)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftrightarrow\; f(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0)]

과 같이 쌍조건문이다. 따라서 if 조건과 그 역을 모두 증명해야 한다. 이때, if 조건은 자연수 [math(n)]에 대하여

다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^n)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Rightarrow\; f(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0)]

이 성립하는 것이다. 이를 명제함수 [math(P(n))]으로 정의하여 수학적 귀납법으로 증명하고, [math(P(n))]의 역

다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^n)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftarrow\; f(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0)]

은 별도로 모든 [math(n)]에 대하여 동시에 증명하자.

먼저 [math(P(n))]을 수학적 귀납법으로 증명하자. 그러면 [math(P(1))]이 참임을 보인 뒤, 자연수 [math(k)]에 대하여 [math(P(k))]가 참일 때 [math(P(k+1))] 역시 참임을 보이면 된다. 먼저 [math(P(1))]은 사실 인수정리의 일부[15]로서, 이는 참으로 잘 알려져 있다. 이제 [math(P(k))]가 참이라고 가정하자. 그러면

다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^k)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Rightarrow\; f(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0)]

이 성립하게 되어 [math(f(x))]를 [math((x-a)^k)]으로 나눈 몫을 [math(Q_1(x))]라 하면

[math(f(x)=(x-a)^kQ_1(x))]

로 쓸 때, [math(f(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0)]이 성립한다. 이 상태에서 또 다른 함수

[math(g(x)=(x-a)f(x)=(x-a)^{k+1}Q_1(x))]

를 정의하여 [math(g(x))]가

[math(g(a)=\cdots=g^{(k)}(a)=0)]

을 만족시킴을 보이자. 이를 위하여 [math(g(x))]를 [math(n)]번 미분한 식을 쓰자. 이때 [math(n)]은 [math(k)] 이하의 음이 아닌 정수로서, 라이프니츠 법칙에 의하여 다음이 성립한다.[16]

[math(\begin{aligned}g^{(n)}(x)&=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^n}(x-a)f(x)\\&=\displaystyle\sum_{i=0}^n\binom nif^{(n-i)}(x)\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^i}(x-a)\;\cdots\;(\rm a)\end{aligned})]

여기에서 [math(\binom ni)]는 조합으로, 고등학교 교육과정에서는 [math({}_n{\rm C}_i)]로 표기한다. 이때, [math((x-a))]는 미분하면 다음과 같이 변해 간다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}(x-a)&=1\\\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^2}(x-a)&=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^3}(x-a)=\cdots=0\end{aligned})]

따라서 [math((\rm a))]를 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}g^{(n)}(x)&=\binom n0f^{(n)}(x)\cdot(x-a)+\binom n1f^{(n-1)}(x)\cdot1\\&=(x-a)f^{(n)}(x)+nf^{(n-1)}(x)\end{aligned})]

앞서 [math(P(k))]가 참이라고 가정했으므로

[math(f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0)]

인 상태이다. 즉, [math(k)] 이하의 모든 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대하여 [math(f^{(n)}(a)=0)]이다. 따라서 [math(k)] 이하의 자연수 [math(n)]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}g^{(n)}(a)&=(a-a)f^{(n)}(a)+nf^{(n-1)}(a)\\&=nf^{(n-1)}(a)=0\end{aligned})]

한편 [math(g(a))]의 경우

[math(g(x)=(x-a)f(x)=(x-a)^{k+1}Q_1(x))]

이므로 당연히 [math(g(a)=0)]이 된다. 따라서 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(P(n))]은 참이다. 이제 [math(P(n))]의 역을 모든 [math(n)]에 대하여 동시에 증명하자. 다시 말해서,

[math(g(a)=g'(a)=\cdots=g^{(n)}(a)=0)]

이면 [math(g(x)=(x-a)f(x))]가 [math((x-a)^{n+1})]을 인수로 가짐을 증명하자. 우선 다음과 같이 쓰자.

[math(\begin{aligned}g(x)&=(x-a)^{n+1}Q_3(x)+R_nx^n+R_{n-1}x^{n-1}+\cdots+R_1x+R_0\\&=(x-a)^{n+1}Q_3(x)+\displaystyle\sum_{i=0}^nR_ix^i\end{aligned})]

즉, [math(g(x))]를 [math((x-a)^{n+1})]으로 나눈 몫은 [math(Q_3(x))]이며, [math((n+1))]차식으로 나누었으므로 그 나머지는 [math(n)]차 이하의 다항식이 된다는 것이다. 이때 [math(R_i)]는 상수로서, 나머지의 [math(i)]차항의 계수이다. 그러면 [math(g(x))]가 [math((x-a)^{k+1})]을 인수로 가지려면 모든 [math(R_i)]들이 [math(0)]이어야 한다. 미지수는 [math(R_0)]부터 [math(R_n)]까지 [math((n+1))]개이며, 방정식 역시 [math(g(a)=0)]부터 [math(g^{(n)}(a)=0)]까지 [math((n+1))]개이므로 이 연립방정식을 풀면 모든 미지수의 값을 결정할 수 있다. 따라서 [math(g^{(k)}(a))]를 계산하자. 이때, [math(k)]는 물론 [math(0\leq k\leq n)]인 정수이다.

[math(\begin{aligned}g^{(k)}(x)&=\underbrace{\left[\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^k}(x-a)^{n+1}Q_3(x)\right]}_{\large(\rm b)}+\dfrac{\rm d}{{\rm d}x^k}\underbrace{\displaystyle\sum_{i=0}^nR_ix^i}_{\large=R(x)}\\&=({\rm b})+R^{(k)}(x)\end{aligned})]

이때, [math((\rm b))]는 위에서 계산했던 [math((\rm a))]와 같은 형태이므로, 결국 모든 [math(n)]에 대하여 [math((x-a))]를 인수로 가짐을 이미 안다. 그렇다면 위 식에 [math(x=a)]를 대입하면 [math((\rm b))]는 사라지고 [math(R(x))]만이 남는다. 결국 풀어야 할 연립방정식은 모든 [math(k)]에 대하여

[math(g^{(k)}(a)=R^{(k)}(a)=0)]

이 성립하는 것과 같다. 우선 [math(R(x))]를 전개하면

[math(R(x)=R_nx^n+R_{n-1}x^{n-1}+\cdots+R_1x+R_0)]

이다. 미분의 성질에 의하여 합의 미분은 미분의 합과 같으므로[17] 각 항의 미분을 조사하자. 일반적으로, 다항식의 미분에서 [math(ax^n)]을 미분하면 [math(nax^{n-1})]이 되므로 [math(i)]차항은 [math(i)]번 미분할 때 상수가 되며 그 값은 다음과 같다.

[math(R_i\times i!)]

이에 따라 [math(i)]차항은 [math((i+1))]번 이상 미분하면 [math(0)]이 된다. 이 점을 이용하여 [math(R^{(n)}(x)=0,)] [math(R^{(n-1)}(x)=0...)] 순으로 풀어가는 것이 증명의 열쇠이다. 앞서 [math(n=2)]일 때와 [math(n=3)]일 때의 증명에서도 이 순서로 푼 것이 바로 이 때문이다. [math(R^{(n)}(x)=0)]을 먼저 보자. [math(R(x))]의 최고차항은 [math(n)]차항이므로

[math(R^{(n)}(x)=R_n\times n!=0)]

이 된다. [math(n)]차 미만의 항들은 모두 [math(0)]이 되어 버린 것이다. 이때 [math(n!\neq0)]이므로 조건을 만족시키기 위해서는 [math(R_n=0)]이어야 한다. 결국 [math(R(x))]의 차수는 [math((n-1))]로 줄어들었다. 이 상태에서 [math(R^{(n-1)}(x)=0)]을 풀면 마찬가지로

[math(R^{(n-1)}(x)=R_{n-1}\times(n-1)!=0)]

이 되며, [math((n-1)!\neq0)]이므로 [math(R_{n-1}=0)]이다. 이러한 과정을 반복하면 결국 다음의 결론에 도달한다.

[math(R_n=R_{n-1}=\cdots=R_1=R_0=0)]

즉, [math(R(x)=0)]이므로

[math(\begin{aligned}g(x)&=(x-a)^{n+1}Q_3(x)+R(x)\\&=(x-a)^{n+1}Q_3(x)\end{aligned})]

이며, [math(g(x))]는 [math((x-a)^{n+1})]을 인수로 가짐이 증명되었다. 즉, [math(P(n))]이 수학적 귀납법으로 증명된 데 이어 [math(P(n))]의 역까지 증명되었다. 최종적으로, 처음에 증명하고자 했던 다음의 쌍조건문이 모든 [math(n)]에 대하여 완전히 증명되었다.

다항식 [math(f(x))]가 [math((x-a)^n)]으로 나누어떨어진다.
[math(\Leftrightarrow\; f(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0)]

5. 반례

• 상수함수: 계단함수( [math({rm sgn}(x))], [math(pi(x))], [math(u(x))] 등)가 있다. 적분열 일부가 상수함수와 일치한다. 계단함수는 아니지만 디리클레 함수 [math({\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]는 두 끝점이 무리수라는 조건 하에 위의 상수함수의 공식이 성립한다.
• 일차함수: 일차함수가 아닌 선형함수( [math(|x|)], [math(x - lfloor x rfloor)], [math(xu(x))] 등)가 있다.
• 삼차함수: 삼차함수 중 일부 개형과 닮은꼴인 함수( [math(sinh x)], [math({rm artanh}, x)], [math({rm erfi}(x))], [math({rm igd}(x))], [math({rm Shi}(x))] 등)가 있다. 홀함수라는 점만 본다면 다항함수가 아닌 홀함수( [math({rm sgn}(x))], [math(sin x)], [math({rm erf}(x))], [math({rm Si}(x))], [math(S(x))], [math(C(x))] 등)도 있다.[20]
• 이차함수, 사차함수: 다항함수가 아닌 짝함수( [math(|x|)], [math(cos x)], [math(cosh x)], [math(e^{-x^2})] 등)가 있다.[21] 특히 [math(\cos x)]의 경우는 일부분만 그리는 경우가 많아[22] 개형만 보면 차수 많은 다항함수로 오해하기 딱 좋다. [math(\cosh x)] 역시 이차함수와 그래프의 개형이 닮았기 때문에[비교] 혼동이 잦다.

6. 관련 문서

• 다항함수
• 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수
• 극값
• 극한
• 도함수, 역도함수
• 방정식
• 변곡점
• 접선
• 미분, 정적분, 부정적분

[1] 다루는 함수의 범위를 다항함수로 한정하지 않으면 점대칭이 아닌데도 대칭구간의 적분값이 [math(0)]인 경우를 배제할 수 없게 된다. 예를 들어 디리클레 함수로 알려진 [math(y={\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]는 [math(y)]축에 대하여 선대칭이면서도 르베그 적분의 값이 항상 [math(0)]이다. [2] [math(t=1)]일 때는 [math(0/0)] 꼴의 부정형이 되어 버려 [math(f'(1))]을 제대로 알 수 없어 보이지만, [math(f(x))]가 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 미분 가능하다는 점을 이용하면, [math(t\neq1)]일 때 항상 기울기가 [math(1)]이라면 [math(t=1)]일 때도 기울기가 [math(1)]임을 알 수 있다. [3] 이 조건이 없으면 다항함수가 아닌 초등함수([math(\cos x)], [math(\sin x/x)], [math(e^{-x^2})] 등)나 절댓값 같은 교육과정 내의 비 다항함수로 함정을 파는 짓거리가 가능하다. [4] [math(\min)] 함수는 최솟값 함수로서, 두 수 [math(f)]와 [math(g)] 중에서 크지 않은 값을 함숫값으로 하는 함수이다. [A] 이런 경우는 상수함수와 일차함수뿐인데, 차수가 다른데도 둘 다 그래프가 완벽한 선형이기 때문이다. [B] 엄밀하게는 '위아래로 모두 볼록'하다. 혹은 '위아래로 모두 오목하다'라고도 표현할 수 있다. [A] [B] [9] 다름 아닌 변곡점이다. [10] 즉, 극값을 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있다. 고등학교 수학에서는 사차함수까지만 명시적으로 다루기 때문에, 이 범위에서는 삼차함수만이 이 특징을 가지게 되어 '극값을 가질/갖지 않을 조건' 등의 유형으로 중요하게 취급된다. [11] 볼록성이 바뀌는 지점은 다름 아닌 변곡점이다. [12] 즉, 선대칭도 아니고 점대칭도 아님 [13] 그래서 오차함수부터는 브링 근호를 사용해야 한다. [14] 무슨 이유에서인지 매년 언급되는 것은 아니다. 2024학년도 수능특강에서는 결론만 언급되었고 증명은 누락되었다. [15] 인수정리는 정확히 말하면 [math(P(1))]과 그 역이 모두 성립한다는 정리이다. [16] 물론 라이프니츠 법칙 자체는 모든 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대하여 훌륭히 성립한다. 단 지금은 [math(k)]계 미분의 값까지만 고려하는 상황이므로 [math(k\geq n)]으로 놓은 것이다. [17] 곧, [math((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x))] 등의 것을 말한다. [18] 당장 삼차함수 추론 공식에 [math(y=\tan x)]를 넣어 보자. 탄젠트함수가 삼차함수가 되는 기적이 벌어진다. [19] 이로 인한 출제오류 가능성 때문에 다항함수 추론 문제는 무조건이라고 할 정도로 지문에 '다항함수'라는 것을 명시한다. [20] 참고로 다항함수가 아닌 홀함수는 다항함수인 홀함수의 무한합으로 근사할 수 있다. [21] 참고로 다항함수가 아닌 짝함수는 다항함수인 짝함수의 무한합으로 근사할 수 있다. [22] 사실 [math(\cos x)]는 끝이 없는 주기함수여서 공간이 얼마나 있든 그래프를 전부 그릴 수는 없다. [비교]
[24] 대칭축이 [math(x=0)]이니, [math(f(-x)=f(x))]이고 임의의 실수 [math(t)]에 대해서 [math(\int_{-t}^0 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{t} f(x) \,\mathrm{d}x)]이므로. [25] 예시로 든 아래의 정규분포 함수의 경우 점근선 [math(y=0)]이 있는데, 이차·사차함수에는 [math(\boldsymbol y)]축과 수직인 점근선이 없다는 것만 알면 이 함수가 이차함수나 사차함수가 아님을 쉽게 알 수 있다. [26] 더 엄밀히는, 함수의 콤팩트성이 일치하는지를 비교하는 것이다.

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