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특수함수 Special Functions |
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| [math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | ||
1. 개요
초기하함수( 超 幾 何 函 數, hypergeometric function)는 멱급수를 이용해 기하급수들을 일반화하는 특수함수이다. 초기하함수는 특정 선형 상미분방정식을 만족시킨다.2. 정의
초기하함수의 정의는 다음과 같다. 여기서 [math(a^{\bar n})]는 상승 계승[1]|
[math(\displaystyle
_2F_1(a,b; c; z) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{\bar n}b^{\bar n}}{c^{\bar n}}\frac{z^n}{n!} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
_pF_q(a_1,a_2,\cdots,a_p; b_1,b_2,\cdots,b_q; z) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{{a_1}^{\!\bar n}{a_2}^{\!\bar n}\cdots {a_p}^{\!\bar n}}{{b_1}^{\!\bar n}{b_2}^{\!\bar n}\cdots {b_q}^{\!\bar n}}\frac{z^n}{n!} \end{aligned} )] |
[math(p=2)], [math(q=1)]인 경우가 초기하함수이고, 일반화된 초기하함수 [math(_pF_q)]와 구분하기 위해 [math(_2F_1)]을 '가우스 초기하함수'라고 부르기도 한다.
3. 몇 가지 특수한 경우
- [math(\displaystyle {}_0F_0(;;z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=e^z )]
-
[math(\displaystyle {}_0F_1\left(;\frac{1}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\cos z )]
[math(\displaystyle z\cdot{}_0F_1\left(;\frac{3}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\sin z )]
- [math(\displaystyle {}_1F_0(a;;z)=\frac{1}{(1-z)^a} )]
- 특히 [math(a=1)]인 경우, [math(\displaystyle {}_1F_0(1;;z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n)]이고, [math(\left\vert z \right\vert<1)]일 때 초기값 [math(1)], 공비가 [math(z)]인 기하급수이다.
- [math(\displaystyle -z\cdot{}_2F_1(1,\,1;\,2;\,z)= \ln\left(1-z\right) )]
-
[math(\displaystyle {}_2F_1\left(\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} K(z) )]
[math(\displaystyle {}_2F_1\left(-\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} E(z) )] -
[math(K(z))], [math(E(z))]는
타원 적분이다. 증명은 해당 문서의
초기하함수를 통한 정의 문단 참고.
- [math(\displaystyle {}_4{F}_3\left(\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{5};\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{4},\,\frac{5}{4};\,-5\left(\frac{5z}{4}\right)^4\right) = -\frac{\mathrm{BR}(z)}{z})]
- [math(\mathrm{BR}(z))]는 브링 근호(Bring radical)이다.