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최근 수정 시각 : 2024-04-15 15:05:46

초기하함수

특수함수
Special Functions
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[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.
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1. 개요2. 정의3. 몇 가지 특수한 경우4. 관련 문서

1. 개요

초기하함수(, hypergeometric function) 멱급수를 이용해 기하급수들을 일반화하는 특수함수이다. 초기하함수는 특정 선형 상미분방정식을 만족시킨다.

2. 정의

초기하함수의 정의는 다음과 같다. 여기서 [math(a^{\bar n})]는 상승 계승[1]이다.
[math(\displaystyle
_2F_1(a,b; c; z) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{\bar n}b^{\bar n}}{c^{\bar n}}\frac{z^n}{n!}
)]
일반화된 초기하함수(generalized hypergeometric function)의 정의는 아래과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
_pF_q(a_1,a_2,\cdots,a_p; b_1,b_2,\cdots,b_q; z) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{{a_1}^{\!\bar n}{a_2}^{\!\bar n}\cdots {a_p}^{\!\bar n}}{{b_1}^{\!\bar n}{b_2}^{\!\bar n}\cdots {b_q}^{\!\bar n}}\frac{z^n}{n!}
\end{aligned} )]
[math(p)], [math(q)]는 각각 [math(\{a_1,a_2,\cdots,a_p\})], [math(\{b_1,b_2,\cdots,b_q\})]의 노름(집합의 원소의 개수)이다.[2]

[math(p=2)], [math(q=1)]인 경우가 초기하함수이고, 일반화된 초기하함수 [math(_pF_q)]와 구분하기 위해 [math(_2F_1)]을 '가우스 초기하함수'라고 부르기도 한다.

3. 몇 가지 특수한 경우

4. 관련 문서



[1] 중복조합 [math(\left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right))]에 [math(r!)]를 곱한 것이라고 생각하면 된다. [2] 즉, 매개변수로 들어갈 집합 크기에 맞춰서 [math(p)], [math(q)]를 넣어야 한다.