|
특수함수 Special Functions |
||
|
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="letter-spacing: -1px" {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; word-break: keep-all" |
적분 | 오차함수(error function)( 가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수( 불완전 베타 함수) · 감마 함수( 불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수 |
| 미분방정식 | 르장드르 함수* · 구면 조화 함수 · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수 | |
| 역함수 | 브링 근호 · 람베르트 [math(W)] 함수 · 역삼각함수 | |
| 급수 | 제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 바이어슈트라스 타원 함수 | |
| 정수론 | 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수 | |
| 기타 | 헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션( 무한 지수 탑 함수) · 집합 판별 함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수 | |
| * 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | }}}}}}}}}}}} | |
1. 개요
초기하함수( 超 幾 何 函 數, hypergeometric function)는 멱급수를 이용해 기하급수들을 일반화하는 특수함수이다. 초기하함수는 특정 선형 상미분방정식을 만족시킨다.2. 정의
일반적으로, 확장된 정의에서는 다음과 같다.[math(\displaystyle \begin{aligned} {}_pF_q(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p;\,b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q;\,z) & \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a_1^{\bar{n}}a_2^{\bar{n}}\cdots a_p^{\bar{n} }}{b_1^{\bar{n}}b_2^{\bar{n}}\cdots b_q^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!}
\end{aligned} )]
\end{aligned} )]
여기에서 [math(\displaystyle a^{\bar{n}} )]는 상승 팩토리얼[1]이다. [math(p, q)]는 각각 [math(\{a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p\})], [math(\{b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q\})]의 노름이다.[2]
[math(p=2)], [math(q=1)]인 경우를 특히 많이 사용하는데, 이러한 경우를 가우스 초기하함수(Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} {}_2F_1(a,\,b;\,c;\,z) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{\bar{n}}b^{\bar{n} }}{c^{\bar{n} }}\frac{z^n}{n!}
\end{aligned} )]
3. 몇 가지 특수한 경우
- [math(\displaystyle {}_0F_0(;;z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=e^z )]
- [math(\displaystyle {}_0F_0(;;z) )]는 항상 지수함수이다.
- [math(\displaystyle {}_0F_1\left(;\frac{1}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\cos z )]
- [math(\displaystyle z\cdot{}_0F_1\left(;\frac{3}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\sin z )]
- [math(\displaystyle {}_1F_0(a;;z)=\frac{1}{(1-z)^a} )]
- 특히 [math(a=1)]인 경우, [math(\displaystyle {}_1F_0(1;;z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n)]이고, [math(\left\vert z \right\vert<1)]일 때 초기값 [math(1)], 공비가 [math(z)]인 기하급수이다.
- [math(\displaystyle -z\cdot{}_2F_1(1,\,1;\,2;\,z)= \ln\left(1-z\right) )]
- [math(\displaystyle {}_2F_1\left(\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} K(z) )]
- [math(\displaystyle {}_2F_1\left(-\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} E(z) )]
-
[math(K(z))], [math(E(z))]는
타원 적분이다.
- [math(\displaystyle {}_4{F}_3\left(\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{5};\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{4},\,\frac{5}{4};\,-5\left(\frac{5z}{4}\right)^4\right) = -\frac{\mathrm{BR}(z)}{z})]
- [math(\mathrm{BR}(z))]는 브링 근호(Bring Radical)이다.