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최근 수정 시각 : 2022-11-27 10:44:58

뫼비우스 함수


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1. 개요
1.1. 예시
2. 성질

1. 개요

Möbius function

뫼비우스 함수는 수론적 함수로, 다음과 같이 정의된다.

[math(\mu(n)=\begin{cases}1&(n=1)\\(-1)^{w(n)}&(n\;is\;square\;free\;interger)\\0&(otherwise)\end{cases})][1]

정의역은 [math(\mathbb{N})]이며, 주로 정수론에서 사용된다.

1.1. 예시

[math(\mu (1))] = [math(1)]
[math(\mu (7))] = [math(-1)]
[math(\mu (45))] = [math(0)]
[math(\mu (30))] = [math(\mu (2 \times 3 \times 5))] = [math((-1)^3)] = [math(-1)]
[math(\mu (144))] = [math(0)] [2]

2. 성질

• 곱셈적이지만 완전 곱셈적은 아니다.[3]
• [math(\displaystyle\sum_{d|n}\mu (d)=[\frac{1}{n}]=\begin{cases} 1&(n=1)\\0&(n>1)\end{cases})]
• [math(f(n)=\displaystyle\sum_{d|n}g(d))]이면, [math(g(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d}))][4]

[1] w(n)은 소인수 계량 함수 [2] 제곱 인수가 있으므로 0이 된다. [3] 즉 [math((m,n)=1)]이면 [math(\mu(m)\mu(n)=\mu(mn))]이지만, [math(\mu(m)\mu(n)=\mu(mn))]이 언제나 성립하지는 않는다. 예를 들어 [math(\mu(2)\times\mu(2)=1)]이지만 [math(\mu(2\times2)=0)]이다. [4] 이를 뫼비우스 반전공식이라 하며, 디리클레 합성곱을 통해 유도할 수 있다.