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최근 수정 시각 : 2024-06-11 14:38:34

가우스 함수

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1. 개요2. 목록
2.1. 최대 정수 함수2.2. 정규 분포 관련 함수2.3. 가우스 사상2.4. 가우스 초기하함수

1. 개요

카를 프리드리히 가우스가 수많은 분야에 업적을 남겼기 때문에, 가우스라는 이름이 여러 분야에서 널리 쓰이고 있다. '가우스 함수'도 어떤 특정한 함수를 하나만을 가리키지는 않는다.

2. 목록

2.1. 최대 정수 함수

greatest integer function, floor function

한국이나 일본 한정으로 최대 정수 함수를 가우스 함수 혹은 가우스 기호라고도 부른다. 자세한 내용은 최대 정수 함수 문서 참고.

2.2. 정규 분포 관련 함수

Gaussian function, Gaussian distribution
실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대해서 [math(\displaystyle f(x) = a \exp\!\left[-\frac{(x-b)^2}{2c^2}\right])] 형태[1]로 정의되는 함수를 가우스 함수라고 부르는데, 이는 오차함수라는 함수의 도함수를 변형한 것이다.[2]

일반 형식으로는 거의 안 쓰이고 아래의 특수 형태를 자주 볼 텐데, 바로 정규분포의 확률밀도함수이다. 그래서, '가우스 함수'라는 명칭이 곧잘 이 함수 자체를 지칭하기도 한다.

정규분포 [math({\rm N}(\mu, \sigma^2))]을 따르는 확률분포의 확률밀도함수 [math(f(x))]는
[math(\displaystyle f(x) = \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left[ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right] )]

2.3. 가우스 사상

Gauss map
임의의 곡면에서 단위 구면으로 연결되는 map이다.
수학에서 지칭하는 map은 넓게 보면 함수이지만, 혼동의 여지를 피하기 위해서 '사상'이라고 보통 번역한다.

2.4. 가우스 초기하함수

Gaussian hypergeometric function

[math(\displaystyle_2F_1\left(a,b;c;z\right) =\sum_{n=0}^\infty \frac{a^{\bar{n}}b^{\bar{n}}}{c^{\bar{n}}}\frac{z^n}{n!})]
초기하함수에서 [math(p=2, q=1)]인 경우를 말한다.


[1] [math(\exp(x))]는 지수함수 [math(\exp(x)=e^x)]이다. [2] [math(\displaystyle \frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{erf}(x) = \frac{\rm d}{{\rm d}x} \!\left[ \frac2{\sqrt\pi} \int_0^x \exp(-t^2) \,{\rm d}t \right] \!= \frac2{\sqrt\pi} \exp(-x^2))]에서 [math(x)]를 [math(\dfrac{x-b}{\sqrt2c})]로 치환하면 위의 정의대로의 식을 얻을 수 있다.