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절대부등식 Inequalities |
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Markov inequality, Markov 不 等 式
1. 개요
확률론의 절대부등식의 하나이다. 이름의 유래는 러시아의 수학자 안드레이 마르코프(Markov, 1856~1922)이다.|
음이 아닌 확률변수 [math(X)][1]와 양수 [math(k)]에 대하여 [math(\dfrac{E(X)}k\geq{\rm P}(X\geq k))]
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다음과 같이 증명한다.
[math(\begin{aligned}E(X)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\;{\rm d}x=\int_0^{\infty}xf(x)\;{\rm d}x\quad(\because{\rm P}(X<0)=0)\\&=\int_0^kxf(x)\;{\rm d}x+\int_k^{\infty}xf(x)\;{\rm d}x\\&\geq\int_0^kxf(x)\;{\rm d}x+k\int_k^{\infty}f(x)\;{\rm d}x\quad(\because X\geq k)\\&\geq k\int_k^{\infty}f(x)\;{\rm d}x\geq k{\rm P}(X\geq k)\end{aligned})]
[math(\therefore\dfrac{E(X)}k\geq{\rm P}(X\geq k))]
[math(\therefore\dfrac{E(X)}k\geq{\rm P}(X\geq k))]
이는 [math(X)]가 연속확률변수일 경우이고, 이산확률변수일 경우에는 [math(\int)]을 [math(\sum)]로 바꾸기만 하면 된다. 이 부등식은 체비쇼프 부등식을 증명하는 데에도 도움이 된다.
2. 관련 문서
[1]
즉, [math({\rm P}(X<0)=0)]