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1. 개요
L'aiguille de Buffon프랑스의 수학자 조르주루이 르클레르 드 뷔퐁(Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon)이 제시한 문제. 원주율의 값을 기하학적 확률로 계산하는 방법이다.
2. 상세
한 평면 위에 [math(d)]만큼의 간격으로 평행선을 그린 다음 길이가 [math(l)](단, [math(d \geq l)])인 바늘을 던졌을 때, 바늘이 선에 닿는 사건 [math(A)]의 확률은
[math({\rm P}(A)=\dfrac{2l}{d \pi})]
로 표현된다. 즉, 선에 닿을 확률과 그렇지 않을 확률에 [math(pi)]가 포함되므로 [math(\pi)]의 값을 구할 수 있다.
큰 수의 법칙에 따라 [math(n)]번 바늘을 던져 [math(r)]번 닿았다면, 사건이 일어나는 상대도수는 수학적 확률에 수렴하므로
[math(\dfrac{r}{n} \approx \dfrac{2l}{d \pi}\quad\rightarrow\quad\pi \approx \dfrac{2 nl }{rd})]
로 구할 수 있다. 특히, 바늘의 길이와 평행선 사이의 길이가 같은 경우, 즉 [math(d=l)]이면
[math(\pi \approx \dfrac{2 n }{r} )]
곧 시행 횟수와 닿은 횟수의 비로 구해진다. 다만, 이 방법은 수렴이 매우 느려서 뷔퐁의 바늘로 [math(\pi)]의 값을 구하는 것은 현실적으로 불가능하다. [math(\pi)]의 근사분수 [math({355}/{113})]만큼 오차를 줄이려고 해도 240조 번 이상 던져야 하기 때문이다.
3. 증명
이 문제상황은 그림과 같이 두 수평면 사이만 고려해도 문제가 없다.위의 그림과 같이 길이가 [math(l)]인 바늘의 중심을 [math(\rm C)]라 하고, 바늘의 한 끝을 [math(\rm A)]라 하자. 또, 평행선과 평행한 직선 [math(\rm BC)]를 고려하고 [math(\rm A)]에서 해당 직선에 내린 수선의 발을 [math(\rm B)]라 하자. 이때, 바늘이 평행선과 [math(\theta)](단, [math(0 \leq \theta \leq \pi)])의 각을 이룰 때, 점 [math(\rm C)]에서 가장 가까운 평행선에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하자.
이때, [math(0 \leq \overline{\rm CH} \leq d/2)]이고, 바늘이 수평선에 닿으려면 [math(\overline{\rm CH} \leq \overline{\rm AB})]여야 한다. 한편,
[math(\displaystyle \overline{\rm AB}=\frac{l}{2}\sin{\theta} )]
이에 이 사건은 [math(\overline{\rm CH}=x)]라 놓으면 전체 영역
[math(\displaystyle S=\left \{(\theta, \,x) \biggl. \biggr| 0\leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq x \leq \frac{d}{2} \right \} )]
중 부분 영역
[math(\displaystyle D=\left \{(\theta, \, x) \biggl. \biggr| 0\leq \theta \leq \pi, \, 0 \leq x \leq \frac{l}{2}\sin{\theta} \right \} )]
에서 일어난다 볼 수 있으므로 그 확률은 두 영역의 넓이의 비 [math(D/S)], 즉 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm P}(A)&=\frac{\displaystyle \int_{0}^{\pi } \frac{l}{2}\sin{\theta} \, {\rm d} \theta }{\dfrac{d}{2} \times \pi} \\ &=\dfrac{2l}{d \pi} \end{aligned} )]