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특수함수 Special Functions |
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1. 개요
라게르 함수(Laguerre function) 혹은 라게르 다항식(Laguerre polynomial)은 아래의 라게르의 미분 방정식[math(\displaystyle x \frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}x^{2}}+(1-x)\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}+ny=0 \quad (n \geq 0,\, n \in \mathbb{Z}) )]
을 만족하는 함수를 말한다. 함수의 이름은 프랑스의 수학자 라게르(Edmond Laguerre; 1834 - 1886)의 이름이 붙여졌다.
2. 상세
위 미분 방정식은 [math(x=0)]에서 정칙 특이점을 갖기 때문에 프로베니우스의 해법을 적용한다. 해의 꼴을 다음과 같다고 가정하자.[math(\displaystyle y=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r} )]
이것을 해당 방정식에 대입하면,
[math(\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)a_{m}x^{m+r-1}+ \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)a_{m}x^{m+r-1}- \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)a_{m}x^{m+r}+n\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r}=0 )]
최저차항의 계수를 맞추면,
[math(\displaystyle a_{m}[r(r-1)+r]=0 )]
위 식이 일반적으로 성립하려면 [math(r(r-1)+r=0)]이고, 이 방정식의 근은 [math(r=0)]으로 중근을 갖는다. 이 결과를 위 방정식에 대입하면,
[math(\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} m(m-1)a_{m}x^{m-1}+ \sum_{m=1}^{\infty} ma_{m}x^{m-1}- \sum_{m=0}^{\infty} ma_{m}x^{m}+n\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}=0 )]
이고, 이것을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} m(m+1)a_{m+1}x^{m}+ \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)a_{m+1}x^{m}- \sum_{m=0}^{\infty} ma_{m}x^{m}+n\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}=0 )]
이상에서 계수에 대한 점화식으로
[math(\displaystyle a_{m+1}=- \frac{n-m}{(m+1)^{2}}a_{m} )]
따라서
[math(\displaystyle a_{m}=\frac{(-1)^{m} n!}{(m!)^{2} (n-m)!}a_{0} )]
이때,
[math(\displaystyle \binom{n}{m} \equiv \frac{n!}{m! (n-m)!} )]
으로, 조합의 정의임을 상기하고, [math(a_{0}=1)]로 놓으면,
[math(\displaystyle a_{m}=(-1)^{m}\binom{n}{m} \frac{1}{m!} )]
로 쓸 수있음에 따라 방정식의 한 해는
[math(\displaystyle y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\binom{n}{m} \frac{x^{m}}{m!} )]
[math(n)]이 0을 포함한 자연수임을 고려한다면, 위 해는 [math(n)]의 값에 따라 다항함수 형태를 띠는데, 그 다항함수을 라게르 함수라 하고, [math(L_{n}(x) )]로 표기한다.
이 해가 물리적으로 의미가 있는 것은 다항식인 해이기 때문에 제2의 해를 구하는 과정은 생략한다.
3. 분석
3.1. 종류
다음은 몇몇 라게르 함수를 나타낸 것이다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
L_{0}(x)&=1 \\
L_{1}(x)&=-x+1 \\
L_{2}(x)&=\frac{1}{2} (x^2-4x+2) \\
L_{3}(x)&=\frac{1}{6} (-x^3+9x^2-18x+6) \\
L_{4}(x)&=\frac{1}{24} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \\
L_{5}(x)&=\frac{1}{120} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \\
L_{6}(x)&=\frac{1}{720} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \\
L_{7}(x)&=\frac{1}{5040} (-x^7+49x^6-882x^5+7350x^4-29400x^3+52920x^2-35280x+5040) \\
L_{8}(x)&=\frac{1}{40320} (x^8-64x^7+1568x^6-18816x^5+117600x^4-376320x^3+564480x^2-322560x+40320) \\
\end{aligned} )]
3.2. 그래프
아래는 구간 [math([0, \,10] )]에서 몇몇 라게르 함수의 그래프를 나타낸 것이다.[math(L_{n}(0)=1)]인 특징이 있다.[1]
3.3. 생성 함수
라게르 함수에 대한 생성 함수는 아래와 같다.[math(\displaystyle \frac{1}{1-t} \exp{\left( -\frac{xt}{1-t} \right)}=\sum_{n=0}^{\infty} L_{n}(x) t^{n} )]
여기서 [math(\exp{x}=e^{x})]이다.
3.4. 로드리게스 공식
라게르 함수는[math(\displaystyle L_{n}(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}(x^{n}e^{-x}) )]
의 형태로 쓸 수 있는데, 이것을 라게르 함수에 대한 로드리게스 공식(Rodrigues' formula)라 한다.
이것을 증명하기 위해 다음과 같은 함수를 고려한다.
[math(\displaystyle y=x^{n}e^{-x} )]
양변을 미분하면
[math(\displaystyle xy'-(n-x)y=0 )]
이것을 한 번 더 미분하면,
[math(\displaystyle xy''+(1-n+x)y'+y=0 )]
일반 라이프니츠 규칙을 상기하여 이것을 [math(n)]번 미분하고, [math(f^{(k)}={{\rm d}^{k}f}/{{\rm d}x^{k}})]이라고 상기하면,
[math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{(k)}y^{(n-k+2)}+\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (1-n+x)^{(k)}y^{(n-k+1)}+y^{(n)}=0 )]
이것을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle xy^{(n+2)}+ny^{(n+1)}+(1-n+x)y^{(n+1)}+ny^{(n)}+y^{(n)}=0 )]
의 형태로 정리할 수 있다. [math(y^{(n)} \equiv u)]라 하면,
[math(\displaystyle x \frac{{\rm d}^{2}u}{{\rm d}x^{2}}+(1+x) \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}+(n+1)y=0 )]
이때, [math(u(x) = e^{-x} f(x))]를 생각하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}&=e^{-x} \left[ \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}-f \right] \\ \frac{{\rm d}^{2}u}{{\rm d}x^{2}}&=e^{-x} \left[ \frac{{\rm d}^{2}f}{{\rm d}x^{2}}-2\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}+f \right] \end{aligned} )]
이것을 위 결과에 대입하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} x \left[ \frac{{\rm d}^{2}f}{{\rm d}x^{2}}-2\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}+f \right]+(1+x) \left[ \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}-f \right]+(n+1)f&=0 \\ x \frac{{\rm d}^{2}f}{{\rm d}x^{2}}+(1-x)\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}+nf&=0 \end{aligned} )]
이것은 명백한 라게르의 미분 방정식이다. 따라서
[math(\displaystyle L_{n}(x)=Ce^{x}\frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}(x^{n}e^{-x}) )]
임을 얻을 수 있다. 여기서 [math(C)]는 상수이다. 그런데 [math(L_{n}(0)=1)]임을 고려하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} 1&=\biggl. Ce^{0} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^{n})^{(k)}(e^{-x})^{(n-k)} \biggr|_{x=0} \\ &=C n! e^{-0} \\&=n! C \end{aligned} )]
이상에서 [math(C=(n!)^{-1})]을 얻으므로 라게르 함수는
[math(\displaystyle L_{n}(x)=\frac{e^{x}}{n!}\frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}(x^{n}e^{-x}) )]
으로 쓸 수 있음을 얻는다.
3.5. 재귀 관계
라게르 함수는 다음과 같은 재귀 관계가 있다.- [math(\displaystyle \frac{{\rm d}L_{n+1}(x)}{{\rm d}x}-\frac{{\rm d}L_{n}(x)}{{\rm d}x}+L_{n}(x)=0)]
- [math(\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)-(2n+1-x)L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0 )]
- [math(\displaystyle x\frac{{\rm d}L_{n}(x)}{{\rm d}x}-nL_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0 )]
3.6. 직교성
라게르 함수는 가중 함수 [math(e^{-x})]에 대하여 구간 [math([0,\, \infty))]에서 다음과 같은 직교성을 가진다.[math(\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\,{\rm d}x=\delta_{nm} )]
여기서 [math(\delta_{nm})]은 크로네커 델타이다.
[math(n \neq m)]일 때를 증명하기 위해 [math(L_{n}(x))]와 [math(L_{m}(x))]가 만족시키는 방정식에 각각 [math(e^{-x}L_{m}(x))], [math(e^{-x}L_{n}(x))]을 각각 곱하여 빼자.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} e^{-x}L_{m}(x)\left[ x \frac{{\rm d}^{2}L_{n}(x)}{{\rm d}x^{2}}+(1-x)\frac{{\rm d}L_{n}(x)}{{\rm d}x} \right]- e^{-x}L_{n}(x)\left[ x \frac{{\rm d}^{2}L_{m}(x)}{{\rm d}x^{2}}+(1-x)\frac{{\rm d}L_{m}(x)}{{\rm d}x} \right]+(n-m)e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)&=0 \\ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[ xe^{-x} \left( \frac{{\rm d}L_{n}(x)}{{\rm d}x}L_{m}(x)-L_{n}(x)\frac{{\rm d}L_{m}(x)}{{\rm d}x} \right) \right]+(n-m)e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)&=0 \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \left[ xe^{-x} \left( \frac{{\rm d}L_{n}(x)}{{\rm d}x}L_{m}(x)-L_{n}(x)\frac{{\rm d}L_{m}(x)}{{\rm d}x} \right) \right]_{0}^{\infty}+(n-m) \int_{0}^{\infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x) \,{\rm d}x=0 )]
이고, 좌변의 제1항은 [math(\displaystyle \lim_{x\to \infty} e^{-x}=0)]임을 참고하면, 0이 되고, [math(n \neq m)]인 상황을 다루고 있음을 기억하면,
[math(\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x) \,{\rm d}x=0 \quad (n \neq m) )]
이 성립함을 알 수 있다.
[math(n=m)]인 경우를 증명하게 위해 다음의 적분
[math(\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2}\,{\rm d}x \equiv C_{n} )]
를 고려하자. 이때, 라게르 함수의 재귀 관계를 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} C_{n}&=\int_{0}^{\infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2}\,{\rm d}x \\
&=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-x}L_{n}(x)[(2n-1+x)L_{n-1}(x)+(n-1)L_{n-2}(x) ] \,{\rm d}x \\ &=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-x}L_{n}(x)[(2n+1+x)L_{n-1}(x)-2nL_{n-1}(x) ] \,{\rm d}x \\ &=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{n} e^{-x} [(n+1)L_{n+1}(x)+nL_{n-1}(x) ] L_{n-1}(x) \,{\rm d}x \\ &=\int_{0}^{\infty} e^{-x} [ L_{n-1}(x) ]^{2} \,{\rm d}x \\ &=C_{n-1} \end{aligned} )]
이때, [math(C_{0})]를 직접 구하면,
[math(\displaystyle C_{0}=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,{\rm d}x=1 )]
이상에서 [math(C_{n}=1)]임을 얻고,
[math(\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}[L_{n}(x) ]^{2}\,{\rm d}x=1 \quad (n=m) )]
임을 얻는다.
3.6.1. 푸리에-라게르 급수
푸리에 급수로 주기가 [math(2L)]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} )]
로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다.
유사한 방법으로 이 베셀 함수의 경우에도 구간 [math([0,\,\infty))]에 있는 함수를
[math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} L_{n}(x) )]
의 형태로 전개할 수 있는데 이것을 푸리에-라게르 급수(Fourier-Laguerre series)라 한다.
각 계수를 구하기 위해 양변에 [math(e^{-x}L_{m}(x))]를 곱한 뒤 구간 [math([0,\,\infty))]에 대하여 적분하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) L_{m}(x) \,{\rm d}x&=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{0}^{\infty} e^{-x} L_{n}(x) L_{m}(x) \,{\rm d}x \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \delta_{nm} \\ &=a_{m} \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) L_{n}(x) \,{\rm d}x )]
임을 얻는다.
4. 버금 라게르 함수
버금 라게르 함수(associated Laguerre function)는 다음의 미분 방정식[math(\displaystyle x\frac{{\rm d}y^{2}}{{\rm d}x^{2}}+(k+1-x)\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}+ny=0 )]
을 만족하는 함수이며, 기호로는 [math(y(x)=L_{n}^{k}(x))]로 표기하며,
[math(\displaystyle L_{n}^{k}(x)=\sum_{m=0}^{n}(-1)^{m} \frac{(n+k)!}{(n-m)!(k+m)!m!}x^{m} )]
이다. 라게르 함수와
[math(\displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k} \frac{{\rm d}^{k}L_{n+k}(x)}{{\rm d}x^{k}} )]
의 관계가 있으며, 이 함수에 대한 로드리게스 공식은
[math(\displaystyle L_{n}^{k}(x)=\frac{x^{-k}e^{x}}{n!} \frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}(x^{n+k}e^{-x}) )]
으로 주어진다.
이 함수 또한 구간 [math([0,\,\infty))]에서 직교성을 갖고 있으며, 가중 함수 [math(x^{k}e^{-x})]에 대해선
[math(\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{k}e^{-x} L_{n}^{k}(x)L_{m}^{k}(x)\,{\rm d}x=\frac{(n+k)!}{n!} \delta_{nm} )]
가중 함수 [math(x^{k+1}e^{-x})]에 대해선
[math(\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{k+1}e^{-x} L_{n}^{k}(x)L_{m}^{k}(x)\,{\rm d}x=(2n+k+1)\frac{(n+k)!}{n!} \delta_{nm} )]
으로 주어진다.
버금 라게르 함수에 대한 재귀 관계는
- [math(\displaystyle (n+1)L_{n+1}^{k}(x)-(2n+k+1-x)L_{n}^{k}(x)+(n+k)L_{n-1}^{k}(x)=0)]
- [math(\displaystyle x \frac{{\rm d}L_{n}^{k}(x)}{{\rm d}x}-nL_{n}^{k}(x)+(n+k)L_{n-1}^{k}(x)=0)]
5. 활용
5.1. 물리학적 활용
5.1.1. 수소 원자 모형
6. 관련 문서
[1]
정의식에서 유도할 수 있다.