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[[대수학|대수학 Algebra ]]
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| 복소평면에 표시한 1의 7제곱근 [math(\boldsymbol{z_{0} \sim z_{6}})][1] |
1. 소개
1의 거듭제곱근(root of unity)[2]은 연산이 정의된 군의 개념으로, 해당 연산을 유한 번 거듭하여 항등원을 얻을 수 있는 원소들을 일컫는다. 이 개념을 복소수의 곱셈 군 [math((\mathbb C^{\times}, \ \cdot \ ))]에 한정하여 생각하기도 한다.2. 정의
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1의 거듭제곱근(Root of unity) 군 [math((G, \ \cdot \ ))]과 원소 [math(a \in G)]가 주어져 있을 때, [math(g^n = a)] 인 원소 [math(g \in G)]를 [math(a)]의 거듭 제곱근(Root of [math(a)]) 혹은 제곱의 수를 강조하여 [math(\boldsymbol a)]의 [math(\boldsymbol{n})]제곱근([math(n)]th root of [math(a)])이라고 한다. 특히, [math(a)]가 군 [math((G, \ \cdot \ ))]의 항등원 1인 경우[3] [math(g \in G)]를 1의 거듭제곱근(Root of unity) 혹은 1의 [math(n)]제곱근([math(n)]th root of unity)이라고 한다. |
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1의 거듭제곱근(Root of unity) [math(z^n = 1)]인 복소수 [math(z \in \mathbb C)]를 1의 거듭제곱근(Root of unity) 혹은 1의 [math(\boldsymbol{n})]제곱근([math(\boldsymbol{n})]th root of unity)이라고 한다. |
1의 6제곱근, 12제곱근은 1의 3제곱근을 응용, 1의 10제곱근, 20제곱근은 1의 5제곱근을 응용해서 구할 수 있으며 1의 3제곱근과 5제곱근을 곱하면 1의 15제곱근, 30제곱근, 60제곱근도 나타낼 수 있다. 1의 8제곱근까지는 계산이 크게 어렵지 않아서 1의 24제곱근, 40제곱근, 120제곱근도 비슷한 난이도로 구할 수 있되 1의 16제곱근부터는 이중근호가 들어가서 여기서부터는 난이도가 올라간다.
또한 2제곱근과 3제곱근이 번갈아 나타나는 다중근호의 경우는 1의 7제곱근과 1의 9제곱근이 있다. 다만 환원 불능이다.
1의 17제곱근은 2제곱근만 들어가되 매우 복잡하며 카를 프리드리히 가우스가 증명해냈다.
1의 n제곱근은 root of unity에 해당하며 모든 root of unity는 사칙연산과 유한번 제곱근 처리로 답을 낼 수 있다 한다.
3. 1의 제곱근
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[math(\begin{aligned} z^2 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z + 1) = 0 \\ & \Leftrightarrow z =\pm 1 \end{aligned})]
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4. 1의 세제곱근
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[math(\begin{aligned} z^3 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z^2+z+1)=0 \\ & \Leftrightarrow z = 1 \textsf{ or }z = \dfrac {-1 \pm \sqrt 3i}2 \end{aligned})]
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5. 1의 네제곱근
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[math(\begin{aligned} z^4 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i) = 0 \\ & \Leftrightarrow z = \pm 1 \textsf{ or }z = \pm i \end{aligned})]
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6. 1의 다섯제곱근
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[math(\begin{aligned} z^5 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0 \\ & \Leftrightarrow z = 1 \textsf{ or }z = \dfrac {-1+\sqrt{5}\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4} \textsf{ or }z = \dfrac {-1-\sqrt{5}\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4} \end{aligned})] \
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황금비를 사용하면 식을 간추릴 수도 있다.
7. 1의 여섯제곱근
[math(x^3=1, x^3=-1)]의 해를 모두 취한 것과 같다.
8. 1의 여덟제곱근
각각의 근은 [math(\pm1,\pm i,\pm\dfrac{\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i}{2})]이다.9. 1의 n제곱근
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방정식 [math(z^n = 1)]의 양 변의
절대값을 비교하면, [math(\lVert z\rVert = 1)]이므로 [math(z = \cos\theta + i\sin\theta)]라고 쓸 수 있다.
드 무아브르 공식에 의해, [math(\begin{aligned} 1 &= z^n \\&= \cos n\theta + i\sin n\theta \end{aligned} )] 을 얻는다. 이 식이 성립하려면, [math(n\theta = 2k\pi)] 즉 [math(\exists k \in \mathbb{z} \textsf{ s.t. }\theta = 2k\pi/n)] 이어야만 한다. 중복근을 전부 제외하면 [math(\begin{aligned} z &= \cos\dfrac {2k\pi}n + i\sin\dfrac {2k\pi}n \\&= {\rm cis}{\left(\dfrac {2k\pi}n \right)} \; ( 0 \leq k < n) \end{aligned} )] 이 모든 1의 [math(n)]제곱근이다. [math({\rm cis})]는 허수지수함수이다. |
10. 회전 변환 행렬
[math(\theta\degree)]라 할때 회전 변환 행렬은 다음과 같다.[math(\theta\degree=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix})]
대표적인 각의 회전변환행렬을 나타내었다.
[math(0\degree=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix})]
[math(90\degree=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix})]
[math(180\degree=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix})]
[math(270\degree=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix})]
[math(60\degree=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix})]
[math(120\degree=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix})]
[math(72\degree=\begin{pmatrix}\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}&-\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\end{pmatrix})]
[math(45\degree=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix})]
[math(12\degree=\begin{pmatrix}\frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}&\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}\\\frac{\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}&\frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}\end{pmatrix})]
11. 성질
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1의 [math(\boldsymbol{n})]제곱근으로 구성된 군(Group of [math(n)]th roots of unity) 가환군 [math(G)]에서, 1[4]의 [math(n)]제곱근들을 모은 부분집합은 부분군을 이룬다. 이를 1의 [math(n)]제곱근으로 구성된 군(Group of [math(n)]th roots of unity)이라고 한다.
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[math(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})]
이지만
[math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} ^2 &\neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned})]
이다. 즉, [math(\mathbf{GL}_2(\mathbb R))]에서 1의 제곱근들은 군을 이루지 않는다.
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1의 모든 거듭제곱근으로 구성된 군(Group of all roots of unity) 가환군 [math(G)]에서, 1의 모든 거듭제곱근들을 모은 부분집합[6]은 부분군을 이룬다. 이를 1의 모든 거듭제곱근으로 구성된 군(Group of all roots of unity)이라고 한다.
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또한 복소평면에서 1의 제곱근은 원점에 대칭인 선분이며, [math(n \geq 3)]인 [math(n)]제곱근은 원점을 중심으로 한 정[math(n)]각형을 그린다. 또한 정다각형의 꼭짓점이 단위원 위에 있다는 성질[7]을 이용해서 1의 [math(n)]제곱근의 값을 띠는 점을 작도하는 게 가능하다.[8]
12. 관련 개념들
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1의 원시근(Primitive root of unity) 군 [math((G, \ \cdot \ ))]과 자연수 [math(n)]이 주어져 있을 때, [math(g^n = 1)], [math(g^m \neq 1 \; (0 < m < n) )][9] 인 원소 [math(g \in G)]를 원시근(Primitive root), 1의 원시근(Primitive root of unity) 혹은 1의 [math(\boldsymbol n)]차 원시근(Primitive [math(\boldsymbol n)]th root of unity)이라고 한다. |
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원분다항식(Cyclotomic polynomial) 복소수체 상에서 자연수 [math(n)]과 정수 [math(0\leq k \leq n-1)]이 주어져 있을 때, [math(\displaystyle \Phi_{n}(x)=\prod_{\gcd(k,n)=1}(x-\omega^{k}))][10] [math(\displaystyle \prod_{d|n}\Phi_{d}(x)=x^n-1)] ([math(\Phi_{1}(x)=x-1)]) 를 만족하는 다항식 [math(\Phi_{n}(x)]를 [math(n)]차 원분 다항식(n-th cyclotomic polynomial)이라고 한다. 또한 원분다항식은 유리수 범위에서 기약방정식임이 증명되어 있다. 다른 정의로는 1의 n차 원시근 [math(\omega_n = e^{2\pi i/n})]에 대해서, 유리수체 상에서 [math(\omega_n)]의 기약다항식으로도 정의한다. 만약 [math(n)]이 소수 [math(p)]라면 다음 형태가 된다. [math(\displaystyle \Phi_{p}(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=\sum_{i=0}^{p-1}x^i)][11] 또한 [math(n)]이 서로 다른 두 소수 [math(p, q)]의 곱인 [math(pq)] 형태라면 다음 형태가 된다. [math(\Phi_{pq}(x)=\dfrac{x^{pq}-1}{(x-1)\phi_{p}(x)\phi_{q}(x)})] 여기서 유도되어 [math(n=2p)]라면 다음 형태로 정리할 수 있다.[12] [math(\displaystyle \Phi_{2p}(x)=\dfrac{x^{2p}-1}{(x-1)\phi_{p}(x)\phi_{2}(x)}=\dfrac{x^{2p}-1}{(x+1)\phi_{1}(x)\phi_{p}(x)}=\dfrac{x^{2p}-1}{(x+1)(x^{p}-1)}=\dfrac{x^{p}+1}{x+1}=\sum_{i=0}^{p-1}(-x)^{i})] 또한 [math(\Phi_{n}(x))]의 차수는 오일러 피 함수를 이용하여 [math(\displaystyle \varphi(n))]로 주어진다. 주의할 점이 있다면, 원분다항식의 대부분의 계수는 1, 0, -1밖에 보이지 않지만, 이는 원분다항식의 차수가 낮기 때문에 발생하는 일종의 예외같은 것으로, 원분다항식의 [math(n)]이 일정 이상 커지게 되면 계수의 절대값이 2를 넘을 수 있다. 이런 반례를 볼 수 있는 최소값은 [math(n=105)]인 [math(\Phi_{105})]이다.( 울프럼 알파 계산값) |
[1]
각각은 [math(z_{n}=\cos{\left( \dfrac{2\pi n}{7} \right)}+i \sin{\left( \dfrac{2\pi n}{7}\right)})]이다. 간단히 [math({\rm cis}{\left( \dfrac{2\pi n}{7} \right)})]로 적기도 한다.
[2]
단위근(unit root), 드 무아브르 수(de Moivre number)라고도 한다.
[3]
곱셈군 [math((G, \ \cdot \ ))]를 다룰 때는 관습적으로 항등원을 [math(e)]가 아닌 1로 적는다. 비슷하게, 덧셈군 혹은 가환군 [math((G, +))]의 항등원은 [math(0)]으로 적는 경우가 많다.
[4]
항등원. 보통 가환군의 항등원은 [math(0)]으로 적지만 본 문서에서 모든 군의 항등원을 1로 표기했으므로 이에 따른다.
[5]
이 부분에서 [math(G)]가 가환군임이 필요하다.
[6]
즉, 1제곱근, [math(2)]제곱근, [math(\cdots)], [math(n)]제곱근, [math(\cdots)] 등을 전부 모은다.
[7]
곧, 원점과의 거리(=
절댓값)가 1임을 뜻한다. 그래서 1의 거듭제곱근 [math(z)]에
부호 함수를 취할 경우 [math({\rm sgn}(z) = z)]가 성립한다.
[8]
단, 7각형, 9각형, 11각형, 13각형 같이 유클리드 작도가 불가능하지만 뉴시스 작도만 가능한 경우도 있으며 23각형같이 유클리드, 뉴시스 모두 작도가 불가능한 경우도 있다.
[9]
즉, [math(n)]이 [math(g^k = 1)]을 만족하는 최소의 자연수.
[10]
[math(\omega)]는 1의 n차 원시근
[11]
이는 위의 조건중 2번째 조건에 의한 것인데, 소수 [math(p)]의 약수는 자기 자신과 1 밖에 없으므로 [math(\Phi_{p}(x)\Phi_{1}(x)=x^p-1)]이 되어야 한다. 그런데 [math(\Phi_{1}(x)=x-1)]이므로, 자연스럽게 해당 식이 성립하는 것.
[12]
당연히 [math(p)]는 2가 아니어야 하므로 홀수 소수다.