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팔원수

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1. 개요2. 허수 단위3. 활용과 확장4. 관련 문서

1. 개요

八 元 數 / octonion

사원수를 확장한, 사원수에서 네 개의 새로운 허수 성분을 더 추가한 수 체계.

팔원수의 허수단위는 다음과 같이 정의된다.
> [math(e_1^2 = e_2^2 = e_3^2 = e_4^2 = e_5^2 = e_6^2 = e_7^2 = (((((e_1 e_2) e_3) e_4) e_5) e_6) e_7 = -1)]


팔원수 집합을 나타내는 기호로는 [math(\mathbb O)]를 사용한다.

사원수에서 4차 실행렬로 표기가 가능한 것처럼, 팔원수도 당연히 8차 실행렬로 표현이 가능하다.
[math(
\begin{pmatrix*}[r]
x_0 & -x_1 & -x_2 & x_3 & -x_4 & x_5 & x_6 & -x_7 \\
x_1 & x_0 & -x_3 & -x_2 & -x_5 & -x_4 & -x_7 & -x_6 \\
x_2 & x_3 & x_0 & x_1 & -x_6 & x_7 & -x_4 & x_5 \\-x_3 & x_2 & -x_1 & x_0 & x_7 & x_6 & -x_5 & -x_4 \\
x_4 & x_5 & x_6 & -x_7 & x_0 & x_1 & x_2 & -x_3 \\-x_5 & x_4 & -x_7 & -x_6 & -x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\-x_6 & x_7 & x_4 & x_5 & -x_2 & -x_3 & x_0 & -x_1 \\
x_7 & x_6 & -x_5 & x_4 & x_3 & -x_2 & x_1 & x_0
\end{pmatrix*}
)]

2. 허수 단위

팔원수의 단위 원소들은 다음과 같이 두 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 본 문서에서는 [math(e_0 \cdots e_7)]의 형태로 표기한다.
표기법 허수단위
0 1 2 3 4 5 6 7
[math(e_n)] 방식 [math(e_0)] [math(e_1)] [math(e_2)] [math(e_3)] [math(e_4)] [math(e_5)] [math(e_6)] [math(e_7)]
[math(𝕚 𝕛 𝕜 𝕝)] 방식 1 [math(𝕚)] [math(𝕛)] [math(𝕜)] [math(𝕝)] [math(𝕝𝕚)] [math(𝕝𝕛)] [math(𝕝𝕜)]

허수 단위 [math(e_1 \cdots e_7)]은 각각 제곱하면 [math(-1)]이지만 전부 서로 다른 단위이며, 곱셈의 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하지 않는다. 허수단위들에 대해서는 아래와 같은 식이 성립된다.
허수단위 간의 곱셈을 한 눈에 보기 편하게 표로 정리하면 다음과 같다.
<colbgcolor=#f5f5f5,#2d2f34> [math(a \times b)] [math(b)]
[math(1)] [math(e_1)] [math(e_2)] [math(e_3)] [math(e_4)] [math(e_5)] [math(e_6)] [math(e_7)]
[math(a)] <colbgcolor=#f5f5f5,#2d2f34> [math(1)] [math(1)] [math(e_1)] [math(e_2)] [math(e_3)] [math(e_4)] [math(e_5)] [math(e_6)] [math(e_7)]
[math(e_1)] [math(e_1)] [math(-1)] [math(e_3)] [math(-e_2)] [math(e_5)] [math(-e_4)] [math(-e_7)] [math(e_6)]
[math(e_2)] [math(e_2)] [math(-e_3)] [math(-1)] [math(e_1)] [math(e_6)] [math(e_7)] [math(-e_4)] [math(-e_5)]
[math(e_3)] [math(e_3)] [math(e_2)] [math(-e_1)] [math(-1)] [math(e_7)] [math(-e_6)] [math(e_5)] [math(-e_4)]
[math(e_4)] [math(e_4)] [math(-e_5)] [math(-e_6)] [math(-e_7)] [math(-1)] [math(e_1)] [math(e_2)] [math(e_3)]
[math(e_5)] [math(e_5)] [math(e_4)] [math(-e_7)] [math(e_6)] [math(-e_1)] [math(-1)] [math(-e_3)] [math(e_2)]
[math(e_6)] [math(e_6)] [math(e_7)] [math(e_4)] [math(-e_5)] [math(-e_2)] [math(e_3)] [math(-1)] [math(-e_1)]
[math(e_7)] [math(e_7)] [math(-e_6)] [math(e_5)] [math(e_4)] [math(-e_3)] [math(-e_2)] [math(e_1)] [math(-1)]

또한 사원수에서 확장한 수 체계이므로, 처음 네 단위 원소 [math(e_0 \cdots e_3)]는 다음과 동치이다.
[math(e_0 \equiv 1)]
[math(e_1 \equiv i)]
[math(e_2 \equiv j)]
[math(e_3 \equiv k)]

허수단위 간의 곱셈에서, 두 허수단위를 교환하거나 결합 순서를 바꾸면 식을 변형하기 전의 값에 [math(-1)]을 곱한 것과 같다. 즉, 임의의 허수단위 [math(e_a, e_b, e_c)]는 다음이 성립한다.
그 외에 다음과 같은 성질도 존재한다.

3. 활용과 확장

곱셈의 교환법칙과 결합법칙마저 씹어먹는, 도대체 이 따위 것을 어디에 써먹냐 하겠지만, 대수학에서 나타나는 구조들, 예컨대 [math(G_2)]라는 단순 리 군(simple Lie group)에서 팔원수의 구조를 찾을 수 있다. 끈이론에선 이러한 팔원수를 미분기하학에 접목하여 쓰기도 한다. 일단 사원수에서 3차원 벡터곱을 유도해 낼 수 있는걸 이용하여 실수 부분까지 벡터로 치환하면 4차원까지 나타낼 수 있으며[1], 팔원수에서 8차원, 십육원수에서 16차원을 나타낼 수 있으므로 팔원수까지는 수학계에서 사용하고는 한다. 다만 벡터의 교차곱의 경우 차원이 하나 더 높은 공간에서 곱셈을 정의할 수 있으며[2] 사원수가 3차원, 팔원수가 7차원에서만 정의된다.[3] 링크

16원수, 32원수, 64원수 등등 이론상 무궁무진하게(?) 만들어낼 수도 있지만[4], 어디까지나 수학적으로 흥미로워야 만들어내는 의미가 있는 것이다. 무엇보다도, 16원수 이상으로 올라가게 되면 제곱수 항등식[5][6][7]이 성립하지 않는다는 것이 증명되어 있기 때문에, [math(||acdot b||=||a||cdot||b||)]이라는 중요한 대수적 성질까지 잃어버리게 되므로 이를 써먹을 데가 거의 없다. 이처럼 16원수 이상은 확장될수록 교환법칙, 결합법칙 같은 너무나 당연한 규칙이 성립하지 않아서 실질적으로 거의 취급되지 않는다. 즉 수학이 무질서해지면서, 수학이 수학이 아니게 되는 것이다. 다만, 16원수에 대해서는 1960년에 비선형 제곱수 항등식이 발견되었다.

아니면 파울리 행렬들을 통해 사원수단위를 [math(e_n=-iσ_n)]로 변환하여 사원수를 2×2행렬로 정의할 수 있듯이, 3×3 겔만 행렬 8개로 구원수 [math(a=a_0+iλ_nα_n)]를 정의할 수도 있고 마찬가지로 이보다 더 큰 정방행렬에 대한 생성원들로 [math(n^2)]원수를 정의할 수도 있다. 이렇게 하면 곱셈 결합법칙이 통하며, 행렬식을 절대값으로 볼 경우 아무 [math(n^2)]원수 [math(갑, 을)]에 대해 [math(|갑을| = \det(갑을) = \det(갑)\det(을) = |갑||을|)]이 성립하게 된다.

다음은 실수, 복소수, 사원수, 팔원수, 십육원수의 곱셈의 교환법칙과 결합법칙이 성립하는가를 나타낸 것이다.
수 체계 제곱수 항등식 결합법칙 교환법칙
실수 O O O
복소수 O O O
사원수 O O X
팔원수 O X X
십육원수 X X X

4. 관련 문서


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[1] 복소수에서 2차원 벡터곱을 유도할 수 있다. 물론 현실이 3차원 공간이기 때문에 4차원부터는 인지도가 급격히 떨어지지만 엄밀히 따지면 사원수로는 4차원을 나타낼 수 있다. [2] 허위츠에 정리에 따르면 이 공간에서 규범화된 나눗셈 대수임을 증명할 수 있다. 링크 [3] 실수와 복소수는 영행렬이며 십육원수를 이용한 15차원도 정의할 수 없다. [4] [math(2^n)] 에 해당한다면 만들 수 있다 [5] 오일러가 4개의 수에 대한 네 제곱수 항등식을, 데겐이 8개의 수에 대한 여덟 제곱수 항등식을 발견했고, 이는 후에 사원수와 팔원수에 대한 노름과 연관 있다는 사실이 밝혀졌다. [6] n개 제곱수 항등식은 [math(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} \sum_{k=1}^{n} b_{k}^{2}})]을 n개의 제곱의 합으로 분리하여 표기할 수 있다는 것을 의미한다. 수학적으로 이 항등식은 [math(n=1, 2, 4, 8)]일 때만 존재한다는 게 밝혀져 있다. [7] 1 제곱수 항등식은 [math(a^2b^2=\left(ab\right)^2)]
2 제곱수 항등식은 [math(\left(a_{1}^2+a_{2}^2\right)\left(b_{1}^2+b_{2}^2\right)=\left(a_1b_1-a_2b_2\right)^{2}+\left(a_1b_2+a_2b_1\right)^{2})]
1 제곱수 항등식은 실수의 절대값 곱 [math(||a\cdot b||=||a||\cdot||b||)]을 고려하면 항상 성립하며, 2 제곱수 항등식은 복소수의 노름 곱 [math(||\left(a_1+a_2i\right)\cdot\left(b_1+b_2i\right)||=||a_1+a_2i||\cdot||b_1+b_2i||)]을 고려하면 성립함을 알 수 있다. 마찬가지로 네 제곱수 항등식은 사원수의 노름곱, 여덟 제곱수 항등식은 팔원수의 노름곱에서 유도할 수 있다.


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