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최근 수정 시각 : 2023-12-31 17:27:25

교환법칙

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1. 개요2. 교환법칙이 일반적으로 성립하는 연산3. 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산4. 예5. 같이 보기

1. 개요

交 換 法 則 / commutativity

원소 [math(a)], [math(b)]를 포함한 집합 [math(S)]와 연산 [math(*)] 가 정의되어 있을 때, [math(a*b=b*a)] 가 성립하면 집합 [math(S)]에서 연산 [math(*)] 에 대해 교환법칙이 성립한다고 한다.

반대로 [math(a*b\neq b*a)] 가 되는 반례가 하나라도 나온다면 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.

2. 교환법칙이 일반적으로 성립하는 연산

특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.

3. 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산

특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.

4. 예

[math(\begin{aligned}1+2&=2+1\quad(3-1=2,&3-2=1)\\1+3&=3+1\quad(4-1=3,&4-3=1)\\1+4&=4+1\quad(5-1=4,&5-4=1)\\1+5&=5+1\quad(6-1=5,&6-5=1)\\1+6&=6+1\quad(7-1=6,&7-6=1)\\1+7&=7+1\quad(8-1=7,&8-7=1)\\1+8&=8+1\quad(9-1=8,&9-8=1)\\1+9&=9+1\quad(10-1=9,&10-9=1)\\2+3&=3+2\quad(5-2=3,&5-3=2)\\2+4&=4+2\quad(6-2=4,&6-4=2)\\2+6&=6+2\quad(8-2=6,&8-6=2)\\3+4&=4+3\quad(7-3=4,&7-4=3)\\3+6&=6+3\quad(9-3=6,&9-6=3)\\4+5&=5+4\quad(9-4=5,&9-5=4)\\2\times3&=3\times2\quad(6\div2=3,&6\div3=2)\\3\times6&=6\times3\quad(18\div3=6,&18\div6=3)\\\end{aligned})]

5. 같이 보기


[증명1] 반례를 이용한 증명) [math(2^3=8)], [math(3^2=9)]로, [math(2^3\neq3^2)]이다. 반례가 하나 이상 존재하므로, 제곱에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다. [증명2] 반례를 이용한 증명) [math(ij=k)], [math(ji=-k)]로, [math(ij\neq ji)]이다. 반례가 하나 이상 존재하므로, 사원수의 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다.

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