부등식

1. 개요

2. 상세

2.1. 정의

• [math(a>0\equiv a\in\mathbb{R}^+)]
• [math(a<0\equiv a\in \mathbb{R}^-)]
• [math(a\ge 0\equiv a\in\mathbb{R}^+ \cup \{0\})]
• [math(a\le 0\equiv a\in \mathbb{R}^- \cup \{0\})]
• [math(a>b \equiv a-b>0)]
• [math(a<b \equiv a-b<0)]
• [math(a\ge b\equiv a-b\ge 0)]
• [math(a\le b \equiv a-b\le 0)]

• [math(0\notin \mathbb{R}^+)], [math(0\notin \mathbb{R}^-)], [math(\mathbb{R}^+ \cap \mathbb{R}^- = \emptyset)]
• [math(\complement\mathbb{R}^+ = \mathbb{R}^- \cup \{0\} \Leftrightarrow \complement\mathbb{R}^- = \mathbb{R}^+\cup \{0\})]
• [math(a,b\in \mathbb{R}^+\Rightarrow (a+b)\in \mathbb{R}^+)]
• [math(a,b\in \mathbb{R}^+\Rightarrow ab\in \mathbb{R}^+)]
• [math((a\in \mathbb{R}^+ \vee a=0 \vee a\in \mathbb{R}^-)\wedge \neg ((a\in \mathbb{R}^+ \wedge a=0) \vee (a\in \mathbb{R}^+ \wedge a \in \mathbb{R}^-) \vee (a=0 \wedge a\in \mathbb{R}^-)))]

2.2. 성질

1. 추이율: [math(a\leq b, b\leq c)]이면 [math(a\leq c)]가 성립한다. 단, 여기서 어느 하나라도 강부등호[1]가 들어가면 결과에도 강부등호가 쓰인다.[2] 추이율은 모든 부등호 기호에 대해 성립하나, 반사율과 대칭율은 부등호 기호에 따라서 성립하기도 하고 성립하지 않기도 한다. 반사율은 [math(\leq,\geq)]의 경우만, 대칭율은 등호가 성립할 때만 성립한다. 따라서 부등호는 동치관계가 아니다.
2. 덧셈, 뺄셈: [math(a\leq b)]일 때, [math(a+c\leq b+c, a-c\leq b-c)]이다.[3]
3. 곱셈, 나눗셈: [math(a\leq b)]이고 [math(c>0)]이면 [math(\displaystyle ac\leq bc,\,\frac{a}{c}\leq\frac{b}{c})]가, 만약 [math(c<0)]이면 [math(\displaystyle ac\geq bc,\,\frac{a}{c}\geq\frac{b}{c})]가 성립한다. 특히, [math(a\leq b)]이면 [math(-a\geq -b)]가 성립한다. 알아놔야 할 점은 양변에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다는 것이다.
4. 역수: [math(0<a\leq b)]이면, [math(\displaystyle 0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a})]가, [math(a\leq b<0)]이면 [math(\displaystyle \frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}<0)]이, 그리고 [math(a<0<b)]이면 [math(\displaystyle \frac{1}{a}<0<\frac{1}{b})]가 성립한다. 즉, 역수를 취하면 부등호 양 쪽 두 수의 부호가 같으면 부등호의 방향이 바뀌고, 부호가 다르면 바뀌지 않는다.
5. 보존성: 증가, 감소 함수를 합성해도 부등호의 방향은 유지된다. 증가함수를 예로 들어보자. 함수 [math(f)]가 단조 증가 함수라 가정하고,[4] [math(a\leq b)]라 하자. 그럼 [math(f\left(a\right)\leq f\left(b\right))]가 그대로 성립한다. [math(a<b)]여도 그대로 성립한다. 만약 함수 [math(f)]가 강증가 함수이고,[5] [math(a\leq b)]이면 [math(f\left(a\right)\leq f\left(b\right))], [math(a<b)]이면 [math(f\left(a\right)<f\left(b\right))]가 성립한다. [math(f)]가 감소 함수이면 부등호 방향이 전부 반대. 참고로 이를 이용해서 일부 부등식을 쉽게 증명할 수 있다. 부등식에 지수가 많으면 로그를 이용, 그후 미분을 사용하는 식으로.
6. [math(a<b)]라 하자. 그럼 이는 적당한 실수 [math(r>0)]이 존재하여 [math(a+r=b)]를 만족함과 동치이다. 만약 [math(a\leq b)]이면 적당한 실수 [math(r\geq0)]이 존재하여 [math(a+r=b)]를 만족함과 동치. 이를 사용하여 부등식을 방정식 문제로 바꿀 수 있다.

2.3. 부등식의 해법

2.3.1. 일변수 부등식

2.3.1.1. 일차 부등식

1. [math(b\geq 0)]: [math(x)]값에 관계없이 항상 성립하므로 절대부등식이 된다.
2. [math(b<0)]: [math(x)]값에 관계없이 항상 성립하지 않는다.

2.3.1.2. 이차 부등식

1. 먼저 [math(x^2)]의 계수를 양수로 바꿔준다.
2. [math(ax^2+bx+c=0)]의 근을 구한다. 근을 [math(\alpha, \beta)]라 하자. (단 [math(\alpha\leq\beta)])
3. 만약 부등호가 [math(>0)]이면, [math(x<\alpha, x>\beta)]가 답. 부등호가 [math(\geq)]이면 답에도 등호가 들어간다. 단, [math(\alpha=\beta)]일 경우 전자는 [math(x=\alpha)]를 제외한 모든 값, 후자는 모든 [math(x)]값이 답이다.
4. 부등호가 [math(<0)]이면 [math(\alpha<x<\beta)]가 답. 부등호가 [math(\leq)]이면 답에도 등호가 들어간다. 단, [math(\alpha=\beta)]일 경우 전자는 답이 없음, 후자는 [math(x=\alpha)]만 답.

2.3.1.3. 고차 부등식

1. 부등식을 방정식으로 바꿔준 뒤 근을 전부 구한다.
2. 수직선에 근을 찍고 그래프의 개형을 그려준다.
3. 부등호가 [math(<)]나 [math(\leq)]였다면 수직선 아랫부분에 해당하는 [math(x)]값이 답.
4. 부등호가 [math(>)]나 [math(\geq)]였다면 수직선 윗부분에 해당하는 [math(x)]값이 답.

2.3.2. 여러 가지 부등식

1. 연립 부등식: 부등식이 여러개 연결되어 있는 형태. 간단하게는 [math(a<b<c)]도 [math(a<b)]와 [math(b<c)]의 연립 부등식이라 볼 수 있다. 풀이는 각 부등식을 따로 풀어준 뒤, 교집합에 해당하는 부분만 골라내면 된다. 자세한 설명[7]
   
2. 절댓값이 들어간 부등식[8]: [math(\left|x\right|<a,\,\left(a>0\right))]는 [math(-a<x<a)], [math(\left|x\right|>a)]는 [math(x<-a, x>a)]와 동치임을 이용하여 절댓값을 벗겨준 뒤 부등식을 풀어주면 된다. 다만 이는 절댓값을 간단히 풀어줄 수 있을 때의 얘기고, 그렇지 않을 경우에는 그래프를 그려서 해결하자.
   
3. 유리 부등식: [math(\displaystyle \frac{1}{x+1}\leq\frac{1}{x^2+1})]과 같이 변수가 분모에도 있는 부등식을 말한다. 이를 풀 때는 부등식의 양변에 양수를 곱해도 부등호의 방향이 바뀌지 않는다는 성질을 이용한다. 다만 [math(x+1)]같은 경우는 양수인지 음수인지 확실히 알 수 없으므로 제곱을 해서 곱한다.[9] 즉, 위 부등식의 경우에는 [math(\left(x+1\right)^2\left(x^2+1\right))]을 곱한 뒤 풀어준다. 주의할 점은, 분모를 [math(0)]으로 만드는 [math(x)]값을 체크해서 꼭 제외해 주어야 한다.
   
4. 무리 부등식[10]: [math(\sqrt{x+1}\leq\sqrt{x^2+1})]과 같이 근호 안에 변수가 들어가 있는 부등식. 양변을 제곱하여 근호를 벗겨준 뒤 풀어주면 된다. 단, 근호 안을 음수로 만드는 [math(x)]값은 반드시 제외해 주어야 한다.
   
5. 함수 부등식: 부등식에 지수, 로그, 삼각함수와 같은 것이 섞여있는 경우를 말한다. 보통 [math(f\left(x\right)<g\left(x\right))]의 형태로 나타난다. 푸는 방법은 바로 함수의 그래프를 이용하는 방법. 좌표계에 [math(f\left(x\right))]와 [math(g\left(x\right))]의 그래프를 각각 그려준 뒤, [math(f)]가 [math(g)]보다 아래 쪽에 있는 부분의 [math(x)]값만 취해주면 된다. 혹은 [math(f\left(x\right)-g\left(x\right))]의 그래프를 그린 뒤 [math(x)]축 아래에 있는 부분을 취해도 된다. 양변 다 지수함수거나 로그함수일 경우는 부등식의 보존성을 활용할 수도 있다. 예를 들어 [math(2^x<2^{3x+1})]을 푼다고 하자. 그럼 [math(2^x)]는 강증가 함수이므로 간단하게 [math(x<3x+1)]만 풀면 [math(\displaystyle x > -{1 \over 2} )]이 나온다. 개중에는 [math(e^x < \pi x)] 같이 풀기 어려운 꼴의 부등식도 더러 존재한다. 풀이
   
6. 미분부등식, 적분부등식 : 미분방정식과 적분방정식의 부등식 버전. 위와는 차원이 다른 난이도를 맛볼 수 있다.
   
   [math(\displaystyle u'\left(t\right)\le \beta\left(t\right)u\left(t\right)\phantom{\cdots}\left(t\in I^{\circ}\right))]
   
   
   [math(\displaystyle u\left(t\right)\le u\left(a\right)\exp\left(\int_{a}^{t}\beta\left(s\right) ds\right))]
   
   대표적인 미적분 부등식인 그뢴발 부등식. 이쯤에서 대략 정신이 멍해진다.(...)

2.3.3. 다변수 부등식

2.4. 부등식의 영역

2.5. 절대부등식

2.6. 부등식 목록

• 산술·기하 평균 부등식
• 평균부등식
• 재배열 부등식
• [math(T_2)]의 도움정리
• 코시-슈바르츠 부등식
• 슈르 부등식
• 젠센 부등식
• 베르누이 부등식
• 삼각부등식
• 홀더 부등식
• 민코프스키 부등식
• 뮤어헤드 부등식
• 오일러 부등식
• 벨의 부등식
• 투퍼의 자기지시 부등식 - 그래프가 해당 그래프를 기술하는 부등식의 형태이다.

3. 여담

4. 관련 문서

• 등호
• 방정식
• 항등식
• 부등호
• 절대부등식