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최근 수정 시각 : 2023-11-16 23:21:30

기약분수

연산
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1. 개요2. 특징
2.1. 기약분수의 덧셈/뺄셈2.2. 기약분수의 곱셈/나눗셈2.3. 기약분수의 제곱
3. 기약분수를 만드는 방법4. 유리식

1. 개요

/ Irreducible fraction

분자 분모가 (둘의 공약수가 [math(1)]밖에 없는) 서로소라서, 다시 말해 이미[旣] 약분[分]이 다 끝나 더 이상 약분을 할 수 없는 분수(分數)를 말한다. 예를 들어 [math(\cfrac5{35})]을 약분한다 하면 [math(\cfrac17)]이 된다. 약분이 여러 단계인 경우 일부 단계만 끝난 분수는 기약분수가 아니기 때문에 약분된 분수가 모두 기약분수인 것은 아니다. 예를 들어, [math(\cfrac{40}{60})]을 약분해서 [math(\cfrac46)]로 만든 것은 기약분수가 아닌데, 왜냐하면 [math(\cfrac46)]에서 한 번 더 약분해서 [math(\cfrac23)]로 만들 수 있기 때문이다.

분수가 약분을 할 수 있는 상황이라면 최대한 약분해서 결과치를 기약분수로 만들어 깔끔하게 처리해야 한다. 수학 시험에서 기약분수로 바꾸지 않으면 가차없이 감점시키는 경우가 많다. 대학수학능력시험의 경우 주관식 답안지에 0~999의 정수만을 기입할 수 있는데, 문제가 요구하는 결과값이 분수로 나오는 경우, 분자와 분모를 서로소로 만든 후에(기약분수로 만든 후에) 분자와 분모의 합[1]을 답으로 기입하라고 하는 경우가 많다. 기약분수로 만들지 않았을 경우 오답이 된다.

기약분수 중 분모가 분자보다 크면 진분수(眞分數), 분자가 분모보다 크면 가분수(假分數)라고 일컫는다.

2. 특징

2.1. 기약분수의 덧셈/뺄셈

2.2. 기약분수의 곱셈/나눗셈

2.3. 기약분수의 제곱

3. 기약분수를 만드는 방법

분자와 분모의 최대공약수로 약분하면 쉽게 기약분수로 만들 수 있다. 분자와 분모가 둘 다 아주 작은 수이면 초등교과에서 했던 것처럼 소인수분해해도 되지만, 보통 유클리드 호제법이 훨씬 효율적이다.

4. 유리식

다항식을 분자와 분모로 해 분수 모양으로 나타낸 걸 유리식이라고 하는데, 여기서 두 다항식이 서로소인 경우에도 기약분수라고 한다. 예를 들어 [math(\dfrac{xy}{(x+1)(y+1)})]는 두 다항식 [math(xy)], [math((x+1)(y+1))]이 서로소이므로 기약분수이다.

상술한 성질들은 정수 대신 다항식을 대입하여 증명하면 되므로 성립한다. 소수의 경우는 약분할 수 없는 기약 다항식(irreducible polynomial)으로 대신하면 된다.

[1] 드물게 분자와 분모의 차를 구하는 경우도 있다. [2] 당연하겠지만 [math(dfrac1a + dfrac1b = dfrac1{a+b})]처럼 계산하면 틀린다.

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