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1. 개요

2. 수학적 특징

2.1. 수로서의 0

• 덧셈: [math(0)]에 어떤 수를 더하거나 어떤 수에 [math(0)]을 더하면 어떤 수 자신이 나온다(덧셈의 항등원(恒等元)).

• 뺄셈: [math(0)]에서 어떤 수를 빼면 부호가 바뀌어서 나오고 어떤 수에서 [math(0)]을 빼면 어떤 수 자신이 나온다(뺄셈의 우항등원).

• 곱셈: 실수, 복소수 등의 체에서 어떤 수에 [math(0)]을 곱하든지 항상 [math(\mathbf0)]이 된다. 다르게 말하면, 여러 수들을 곱했을 때 결과가 [math(0)]이 나왔다면 곱한 수들 중에 반드시 하나 이상의 [math(0)]이 포함된다.[4][5] 후술할 나눗셈에서 [math(0)]으로 나눌 수 없는 것도 그런 이유.

• 나눗셈: 실수, 복소수 등의 체에서 [math(0)]을 [math(0)]이 아닌 수로 나누면 [math(0)]이 된다. 나누기를 곱셈의 역연산으로 생각했을 때 어떤 수를 [math(0)]으로 곱하는 함수는 항상 [math(0)]이 되는 상수함수이므로, 상수함수의 역함수인 [math(mathbf0)]으로 나누기는 정의하지 않는다.

• [math(0)]개의 수를 더하면 결과값을 덧셈의 항등원인 [math(0)]으로 정의하지만, [math(0)]개의 수를 곱하면 곱셈의 항등원인 [math(\mathbf1)]로 정의한다.
• 시그마에서 더할 항이 없는 경우에 [math(\displaystyle \sum_{i=1}^0 a_i = 0)]으로 정의하는데, 이를 공합(empty sum)이라고 한다. 이 약속은 점화식을 통해 재귀적으로 유도되는 성질로 [math(\displaystyle s_m = \sum_{i=1}^m a_i \ \left(m \in \mathbb N\right))]라고 놓으면 점화식 [math(s_m = a_m + s_{m-1})]이 자연수인 모든 [math(m)]에 대해 성립하기 위해서는 [math(\displaystyle s_1 = \sum_{i=1}^1 a_i = a_1)]이므로 [math(s_0 = 0)]이어야 한다.
• 마찬가지로 [math(\displaystyle p_m = \prod_{i=1}^m a_i \ \left(m \in \mathbb N\right))]라 놓으면 [math(p_m = a_m \cdot p_{m-1})]이 되고 이 점화식이 모든 자연수 [math(m)]에 대해 성립하기 위해서는 [math(\displaystyle p_1 = \prod_{i=1}^1 a_i = a_1)]에서 [math(p_0 = 1)]이어야 한다. '공합'과 비슷하게 이를 '공곱(empty product)'이라고 한다.
• 위와 같은 원리로 [math(a^0 = 1)][6]이나 [math(0!=1)]와 같이 [math(0)]번 시행한 곱셈인 [math(0)]제곱에 대하여 디폴트 값을 곱셈의 항등원인 [math(1)]로 설정할 수 있다.

• 집합론에서 공집합의 원소의 개수는 [math(0)]이지만, '공집합을 원소로 갖는 집합'의 원소의 개수는 [math(1)]이다.[7]
• 따라서 조합론에서 곱셈적으로 정의되는 순열과 조합 등에서는 [math(\boldsymbol{{}_n\mathrm P_0 = {}_n\mathrm C_0 = 1})]이다. 원소가 [math(n)]개인 집합 [math(S)]의 [math(r)]-조합은 [math(S_r = \{ X \subset A : |X| = r \})]의 원소의 개수 [math(\left| S_r \right|)] 로 생각할 수 있다. 만약 여기서 [math(r = 0)]이라면 [math(S_r)]은 공집합이 아니라, 공집합을 원소로 갖는 집합 [math(\{ \varnothing\})]이다. 이 집합의 [math(1)]이고, 따라서 [math({}_n\mathrm C_0 = 1)]이라 자연스럽게 말할 수 있는 것. 순열의 경우에도 비슷하게 생각할 수 있다. 물론 팩토리얼을 이용하여 정의되는 순열과 조합 [math({}_n\mathrm P_r = \dfrac{n!}{(n-r)!})], [math({}_n\mathrm C_r = \dfrac{{}_n\mathrm P_r}{r!} = \dfrac{n!}{r! \left(n-r\right)!})]만으로도 충분하게 유도할 수 있다.
• 비슷하게 [math(0^0)]을 조합론에서는 보통 [math(\boldsymbol{0^0 = 1})]로 정의한다. [math(n^m)]은 [math(\{1,\ 2, \cdots\cdots,\ m\})]에서 [math(\{1,\ 2, \cdots\cdots,\ n\})]으로 가는 함수의 개수로 정의하는데, 공집합에서 공집합으로 가는 함수는 단 하나 존재하기 때문이다.

• 실수 중에서는 유일하게 양수도 아니고 음수도 아닌 수이다.
• 이를 가장 단적으로 보여 주는 것이 다름 아닌 부호 함수인데, 양수에서부터든 음수에서부터든 어느 쪽으로 극한을 취해도 절대로 0이 될 수 없다.
• 복소수 범위까지 확장하더라도, 복소 부호 함수를 취해서 0이 되는 수는 오직 0 하나뿐이다.

• 보통 0과 관련된 연산은 잘 정의되지 않는 특이점이 되는 경우가 많다.
• 따라서 대표적인 부정형으로 [math(0/0)]과 [math(0^0)]이 있다. 비슷한 형식의 [math(0 \times ∞)], [math(∞/∞)], [math(∞^0)], [math(1^∞)] 등도 전부 상호호환되는 부정형이다.

2.2. 기타 특성

• 가장 작은 대칭수이며, 다음 대칭수는 1이다.
• 첫 번째 뮌하우젠 수이다.
• 완전 순열의 첫 번째 항이다.
• 0의 각 자리의 합계는 0인데, 0은 0의 제곱근이다. 이런 특징의 수는 0, 1, 81밖에 없다.
• 확률론에서, 0은 확률의 최솟값이다. 절대 일어나지 않는 사건의 확률은 0이다.
• 통계학에서, 0은 결정 계수의 최솟값이다. 결정 계수가 0인 회귀 모형은 [math(\rm ESS)]가 존재하지 않아 종속 변수가 독립 변수에 의해 전혀 설명되지 못한다.
• 0은 1과 함께 [math(\left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right)=\dbinom{n}{r})]이도록 하는 [math(r)]의 값이다.
• 모든 편차의 합은 0이며, 따라서 편차의 평균은 0이다. 이를 극복하기 위해 표본이 퍼져 있는 정도를 나타낼 때는 편차의 제곱의 평균을 계산하는 분산(variance) 혹은 편차의 절댓값의 평균을 계산하는 평균 절대 편차(mean absolute deviation) 등의 개념을 사용한다. 제곱이나 절댓값을 취하면 음수가 전부 양수가 되므로, 음수와 양수를 그냥 더했을 때 상쇄되어 0이 되는 일을 방지할 수 있기 때문이다.
• 베르누이 수열에서 [math(n \geq 3)]인 홀수 항의 값은 0이다.
• 위 특성 때문에 리만 제타 함수에 [math(s < 0)]인 음수 짝수를 넣을 경우 0이 나온다. 이를 리만 제타 함수의 자명한 근이라고 한다.
• 두 개 이상의 단일 실근만을 근으로 갖는 다항 방정식 [math(f(x)=0)]에 대하여, 각 근에서의 [math(f(x))]의 미분 계수의 역수의 합은 항상 [math(0)]이다. 이에 대한 증명은 다항함수/공식 참고.

3. 역사

• 수로서의 [math(0)]: ‘아무것도 없음’ 혹은 ‘원점’의 개념
  [math(0)]을 '발명'했다는 것이 어찌 보면 매우 이상하게 여겨질 수도 있으나, 수학의 역사에서 [math(0)]은 꽤나 나중에 등장한 개념이었다. 고대 그리스 수학자들은 어떻게 '없는 것'이 무언가가 될 수 있지? 하면서 [math(0)]의 존재를 부정했다. 수를 표기할 때 [math(1)]은 [math(\text I)], [math(2)]는 [math(\text{II})], [math(3)]은 [math(\text{III})], [math(4)]는 [math(\text{IV} \cdots\cdots)] 이런 식으로 나가는 로마 숫자 체계에서도 [math(\mathbf 0)]은 없었다. ‘ 아무것도 없음’이라는 개념은 있었지만, 이를 수로 생각하지는 않았다.
  고대 인도의 수학자였던, 브라마굽타의 저작에서 최초로 [math(0)]이 쓰였고, 인도에서 [math(0)]이 7~8세기 정도부터 쓰였다고 하는 이야기는, 이들이 [math(0)]을 사용해 사칙 연산을 처음 하였다는 이유에서이다. 단, [math(0)]에 대한 이해가 완벽한 것은 아니었기 때문에 [math(\dfrac 00 = 0)] 같은 잘못된 수식을 사용하곤 하였고, [math(0)]으로 나누기를 정의하지 않는다는 것은 근대에 와서야 겨우 이루어졌다. 지금도 [math(0)]의 개념은 교육 과정에서 아이들에게 이해시키기에 어려운 개념 중 하나이고, ‘[math(0)]이 짝수인지’[8] 등의 문제는 현대인들도 가끔 혼동하는 개념이다. 하지만 [math(0)]의 개념이 정확하게 정립되면서, 수학은 획기적인 진보를 이뤄낼 수 있었다. 이는 [math(0)]이 음수를 생각하는 데에 핵심인 개념이기 때문이며, 따라서 방정식을 풀고 하는 등의 모든 조작[9]을 가능하게 하기 때문이다.

• 숫자로서의 [math(0)]: 위치 기수법
  또한 [math(0)]의 “발명”이 그토록 획기적인 이유는 바로 [math(0)] 없이는 위치 기수법(positional notation)[10]을 상상할 수조차 없기 때문이다. 예를 들어서 [math(1001)]이라는 숫자를 썼다고 했을 때, 맨 앞도 [math(1)]이고 맨 뒤도 [math(1)]인데 어떻게 하나는 천이라는 큰 값을, 하나는 일이라는 작은 값을 나타내는가? 이는 앞의 [math(1)]은 ‘천의 자리’에, 뒤의 [math(1)]은 ‘일의 자리’에 놓여 있기 때문이다. 즉, 숫자가 쓰인 자리(위치)에 따라 수를 나타내는[11] 이러한 방식을 위치 기수법이라 한다.
  
  위 [math(1001)]의 예에서, 백의 자리와 십의 자리의 두 개의 [math(0)]은 그 자리를 지킴으로써(placeholder), 맨 앞의 숫자 [math(1)]이 천의 자리에 놓여 있음을 표시해 주고, 따라서 그 [math(1)]이 숫자 천을 나타내게 해 준다. 만일 [math(0)]이 없었다면 [math(1\ \ \ \ 1)](공백 [math(2)]개), [math(1\ \ 1)](공백 [math(1)]개), [math(11)]을 어떻게 구별할 수 있겠는가? 이처럼 [math(0)]이 없으면 위치 기수법은 상상할 수조차 없다.
  
  [math(0)]이 있어 위치 기수법이 있을 수 있었고, 위치 기수법이 있어서 우리는 숫자를 [math(0)]부터 [math(9)]까지 [math(10)]개의 자릿수(digits)만 배우면 이론상으로는 유한개의 숫자만으로 얼마든지 큰 수를 나타낼 수 있으며 0이든 뭐든 숫자를 써넣는 것만으로도 기하급수적인 상승률을 기대할 수 있다. [math(0)]이 없으면 한자, 이집트 숫자, 로마 숫자와 같이 [math(10)], [math(100)], [math(1000)] 등에 해당하는 숫자를 따로따로 배워야 했을 것이다. 이런 문화권에서는 숫자가 커질 때마다 다른 기호를 계속 만들어 내야만 하는 문제가 있었고[12], 큰 수를 표기하는 데 꽤 큰 장애가 되었다. 이는 도량형에서도 마찬가지였는데, SI 단위가 나오기 전까지는 같은 차원임에도 크기에 따라 다른 단위를 사용해야 했다. SI 단위에서는 차원과 단위를 1:1 대응시키고[13] 크기는 SI 접두어를 붙여주는 것으로 해결한다. 여기서 SI 접두어가 위치 기수법에 대응된다.
  
  단, 위치 기수법은 유한개의 숫자만으로 큰 수를 쉽게 나타낼 수 있는 가능성을 열었을 뿐, 실제로 매우 큰 수를 나타낼 때는 자릿수만큼 자리를 많이 차지하는 문제가 있다.[14] 큰 수를 잘 다루려면 지수의 발명이, 그보다 압도적으로 큰 수를 표현하기 위해서는 4차( 테트레이션) 혹은 그 이상의 연산이 필요하다. 아르키메데스는 그리스 숫자 같은 복잡한 기수법하에서도 지수를 이용한 큰 수 표기법을 창안해 낸 바 있다.

4. 컴퓨터 과학에서

5. 문화에서의 모습

5.1. 언어별 모습

6. 교통

6.1. 버스

6.2. 철도

6.3. 도로

7. 방송

8. 스포츠

• LG 트윈스: 김유영(투수)
• KT wiz: 결번(2023 시즌 중 문상준 군 입대)
• SSG 랜더스: 결번(2023 시즌 후 김강민 한화 이적)
• NC 다이노스: 공필성(1군 감독대행)
• 두산 베어스: 결번(2020년 6월 전창민 군 입대)
• KIA 타이거즈: 곽도규(투수)
• 롯데 자이언츠: 황성빈(외야수)
• 삼성 라이온즈: 디아즈(내야수)
• 한화 이글스: 결번(2018 시즌 후 김창혁 등번호 변경)
• 키움 히어로즈: 김병휘(내야수)

• 롯데 자이언츠 손성빈(포수)

• WKBL에서의 0번
• 우리은행: 백지원
• 하나원큐: 박소희
• KB스타즈: 성수연
• BNK썸: 박인아

9. 군사

• 일본군의 전투기: 0식 함상 전투기

10. 채용, 구인 공고에서

11. VOCALOID 오리지널곡

12. 여담