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황금비
1. 개요
1의 다섯제곱근에 관련된 문서이다. 1의 세제곱근보다는 살짝 복잡하지만 고등학교 수준에서 이해할 수 있다. 1의 세제곱근에서 [math(\omega)]라는 기호가 쓰이지만, 해외사이트에서는 1의 5제곱근도 이 기호를 사용하는 경우도 있다. 이 문서에는 편의상 세제곱근과의 구분을 위해 [math(\omega_5)]라는 기호를 사용한다.이중근호가 들어가기도 한다.
2. 증명
1의 다섯제곱근은 이차방정식을 두번 사용해서 유도할 수 있다.[math(x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0)]이 나오며
[math(x^4+x^3+x^2+x+1=0)]을
[math(x^2+x+1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0)]로 바꾼 뒤
[math(x+\dfrac{1}{x}=A)]로 놓고서 풀면 이차방정식
[math(A^2+A-1=0)]이 나온다.
이를 풀면 [math(A=\dfrac{-1\pm{\sqrt{5}}}{2})]이며 이때
[math(x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-1\pm{\sqrt{5}}}{2})]가 나오게 되는데 이는 이차방정식
[math(x^2+(\dfrac{1\mp{\sqrt{5}}}{2})x+1=0)]으로 나타낼 수 있다.
이를 또 풀면 결국 다섯개의 근은 [math(1)], [math(\dfrac{-1+\sqrt{5}\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4})], [math(\dfrac{-1-\sqrt{5}\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4})]가 나오게 된다.
3. 성질
[math(x^5=1)]의 근을 [math(1)], [math(\omega_5)], [math({\omega_5}^2)], [math({\omega_5}^3)], [math({\omega_5}^4)]라 할때 [math({\omega_5}^5=1)]이 된다. [math(1+\omega_5+{\omega_5}^2+{\omega_5}^3+{\omega_5}^4=0)]이 나온다.1개의 실근과 4개의 허근으로 이루어져 있으며 [math(1)]이 실근, [math(\omega_5)], [math({\omega_5}^4)]가 한 쌍의 켤레이며 [math({\omega_5}^2)], [math({\omega_5}^3)]가 한 쌍의 켤레이다.
켤레근끼리 곱한 [math(\omega_5{\omega_5}^4=1,{\omega_5}^2{\omega_5}^3=1)]이며 모든 근을 곱한 [math(\omega_5{\omega_5}^2{\omega_5}^3{\omega_5}^4=1)]이다.
절댓값은 모두 1이다.
한편, 황금비 [math(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2})]를 고려하면 모든 허근은 황금비에 대한 식으로 나타낼 수 있다.[1]
[math(\omega_5 = {\rm cis}(2\pi/5) = e^{i\cdot{2\pi}/{5}})]에 해당하기도 한다.[2]
3.1. x⁵=1
[math(x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0)]에 해당하며다섯개의 근이 [math(1)], [math(\dfrac{-1+\sqrt{5}\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4})], [math(\dfrac{-1-\sqrt{5}\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4})]이다.
3.2. x⁵=-1
[math(x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0)]에 해당하며다섯개의 근이 [math(-1)], [math(\dfrac{1-\sqrt{5}\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4})], [math(\dfrac{1+\sqrt{5}\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4})]이다.
3.3. x⁵=i
[math(x^5-i=(x-i)(x^4+ix^3-x^2-ix+1)=0)]에 해당하며다섯개의 근이 [math(i)], [math(\dfrac{\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(-1+\sqrt{5})i}{4})], [math(\dfrac{\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(-1-\sqrt{5})i}{4})]이다.
3.4. x⁵=-i
[math(x^5+i=(x+i)(x^4-ix^3-x^2+ix+1)=0)]에 해당하며다섯개의 근이 [math(-i)], [math(\dfrac{\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(1-\sqrt{5})i}{4})], [math(\dfrac{\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(1+\sqrt{5})i}{4})]이다.
3.5. 1의 세제곱근과 곱할 경우
[math(x^2=1)]의 근 [math(-1)]에다 [math(x^3=1)]의 근 [math(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2})]와 [math(x^5=1)]의 근 [math(\dfrac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4})]을 곱하면[math(\omega_{30}=\frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)i}{8})]가 나온다.[3] 이는 복소평면(1,0i)을 [math(12\degree)] 회전한 값과 같다.[4]
4. 여담
[math(\omega_3)]=[math({\omega_{15}}^{5})]이며 [math(\omega_5)]=[math({\omega_{15}}^{3})]이기도 하다. [math({\omega_{7}})], [math({\omega_{9}})],... 이런 것은 환원 불능 상태로 나타난다.1의 3제곱근이 단순근호, 5제곱근이 이중근호로 나타나듯이 17제곱근은 사중근호, 257제곱근은 팔중근호, 65537제곱근은 십육중근호, 4294967297제곱근은 삼십이중근호...[5] 이렇게 나타난다. 이는 유클리드 작도 가능한 정다각형과 페르마 수와도 관계가 있다.
[math(x^n=1)]이라 할때 단순근호로 표현할 수 있는 최댓값은 n=24이며[6], 이중근호로 표현할 수 있는 최댓값은 n=240이다.[7]
삼중근호는 480이며 사중근호는 16320이다. 오중근호 이상도 나타낼 수 있지만 여기서는 이중근호까지만 적는다. 다만 한 변의 길이가 1일때 n각형의 대각선의 길이로 나타낸다면 단순근호로 표현할 수 있는 최대 다각형은 12, 이중근호가 120이다.
근호 없이 표현할 수 있는 n의 값: 1,2
단순근호로 표현할 수 있는 n의 값: 3,4[8],6,8,12,24
이중근호로 표현할 수 있는 n의 값: 5,10,15,16,20,30,40,48,60,80,120,240
[1]
가령 근 중 두개인 [math(\dfrac{-1-\sqrt{5}\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4})]는 [math(\dfrac{-\varphi\pm\sqrt{3-\varphi}i}{2})]로 표현 가능하다. 나머지 두개인 [math(\dfrac{-1+\sqrt{5}\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4})]는 [math(\dfrac{\varphi^{-1}\pm\sqrt{2+\varphi}i}{2})]로 표현 가능하다.
[2]
[math(\rm cis)]는
허수지수함수이다.
[3]
황금비로 표현시 [math(\frac{\varphi^{-1}+\sqrt{6+3\varphi}+\left(-\sqrt{3}\varphi^{-1}+\sqrt{2+\varphi}\right)i}{4})]
[4]
72도짜리와 120도짜리를 곱하면 192도가 되지만 단위 각도를 맞추기 위해 여기서 180도를 더 곱해 12도(372도)로 만들었다.
[5]
이 수는 641, 6700417로 인수분해 돼서 이들 수의 거듭제곱근도 32중근호로 나타낼 수 있다.
[6]
이 때의 근은 [math(\displaystyle \text{cis}\left(\frac{\pi}{12}\right)=\left(\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})+i(-\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}\right)^{k})]의 형태로 주어진다.
[7]
이 때의 근은 [math(\displaystyle \text{cis}\left(\frac{\pi}{120}\right))]=[math((\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{10+5\sqrt{2}}+\sqrt{60+30\sqrt{2}-12\sqrt{5}-6\sqrt{10}}-\sqrt{20-10\sqrt{2}-4\sqrt{5}+2\sqrt{10}}+\sqrt{6-3\sqrt{2}}+\sqrt{30-15\sqrt{2}}}{16})]+[math(i\frac{-\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{10-5\sqrt{2}}-\sqrt{60-30\sqrt{2}-12\sqrt{5}+6\sqrt{10}}-\sqrt{20+10\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}}+\sqrt{6+3\sqrt{2}}+\sqrt{30+15\sqrt{2}}}{16})^{k})]의 매우 복잡한 형태로 주어진다.
[8]
허수 단위 i 자체도 근호가 들어가기에 단순근호로도 볼 수 있다. 단, 회전 행렬에는 근호가 들어가지 않는다.