1. 개요
최대·최소 정리( 最 大· 最 小 定 理, extreme value theorem; EVT)는 함수의 최댓값, 최솟값에 관한 정리로, 연속함수의 대표적인 성질 중 하나이다.2. 진술
2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리
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[ 정리 ] 최대·최소 정리(
수학Ⅱ(2015)) 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. |
2.2. 최대·최소 정리(extreme value theorem)
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[ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem) 컴팩트집합 [math(X)]에서 정의된 연속함수 [math(f: X \to \mathbb R)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. |
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[ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem) 컴팩트집합 [math(X)]와 전순서(total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. |
3. 증명
당연해 보이는 것의 증명이 더욱 어려운 법이다. 이 정리를 증명하기 위해서는 유계(boundness)나 컴팩트성(compact)을 알아야 한다.|
[ 보조정리 1 ] 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 임의의 [math(x_0 \in [a, b])]에 대하여 [math(f \rvert_{I \cap [a, b]})]가 유계이도록 하는 열린 구간 [math(x_0\in I)]가 항상 존재한다. {{{#!folding [ 증명 ] 함수 [math(f)]가 [math(x_0 \in [a, b])]에서 연속이므로 |
<table width=100%> [math(\displaystyle \begin{aligned}
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
x \in I \cap [a ,b] \quad\Rightarrow\quad |x-x_0| < \delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)| < |f(x_0)|+1 \end{aligned} )] |
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[ 보조정리 2 ] 임의의 컴팩트집합 [math(X \subset \mathbb R)] 위에서 정의된 함수 [math(f: X \to \mathbb R)]에 대하여, [ 보조정리 1 ]이 성립한다면 함수 [math(f)]는 [math(X)] 전체에서 유계이다. {{{#!folding [ 증명 ] 각 [math(x \in X)]에 대하여, [ 보조정리 1 ]의 열린 구간을 [math(I_x = (x-\delta_x, x+\delta_x))]라고 하자. 그렇다면 [math(\{I_x\}_{x \in X})]는 컴팩트집합 [math(X)]의 열린 덮개(open covering)임을 확인할 수 있다. 따라서 [math(X)]의 유한 부분 덮개(finite subcovering)가 존재하며, 적당히 이름을 다시 붙여서 [math(\{I_{x_k}\}_{1 \leq k \leq n})]가 해당 유한 부분 덮개라고 할 수 있다. 이때, 함수 [math(f)]는 구간 [math(I_{x_k} \cap X)]에서 유계이므로 |
<table width=100%> [math(\displaystyle \begin{aligned}
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[ 정리 ] 최대·최소 정리(
수학Ⅱ(2015)) 함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a ,b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. {{{#!folding [ 증명 ] [ 보조정리 1, 2 ]에 의해 [math(f)]는 [math([a ,b])]에서 유계이다. 그러므로 [math(M = \sup \{ f(x) \,|\, x \in [a ,b] \})]와 [math(m = \inf \{ f(x) \,|\, x \in [a ,b] \})]가 실수 집합 내에 존재한다. 정의상 [math(x \in [a ,b])]이면 [math(m \leq f(x) \leq M)]이다. 이제 [math(f(x) = M)]인 [math(x \in [a ,b])]가 존재함을 증명하자. 결론을 부정하여, 임의의 [math(x \in [a ,b])]에 대해 [math(f(x) \neq M)], 즉 [math(f(x) < M)]을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 [math(g: [a ,b] \to \mathbb R)]는 잘 정의되며, 연속이다. ( 연속함수의 성질 참고.) |
<table width=100%> [math(\displaystyle \begin{aligned}
g(x) = \frac1{M-f(x)} \end{aligned} )] |
그러므로 귀류법 가정이 틀렸음을 알았으니, 함수 [math(f)]는 [math(M)]을 함숫값으로 가진다. 즉, [math(f)]는 최댓값 [math(M)]을 가진다. 한편, [math(\inf f = -\sup(-f))] 및 [math(\min f = -\max(-f))]을 이용하면 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다. [math(\blacksquare)]}}}
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[ 정리 ] 최대·최소 정리(exterme value theorem) 컴팩트집합 [math(X)]와 전순서(total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다. {{{#!folding [ 증명 ] 이번에도 결론을 부정하여 [math(f(X))]가 최댓값을 갖지 않는다고 하자. 그러면, 임의의 [math(f(x_0) \in f(X))]에 대해 어떤 [math(x' \in X)]가 존재하여 [math(f(x_0) < f(x'))]이 성립한다. 따라서 |
<table width=100%> [math(\displaystyle \begin{aligned}
f(X) \subset \bigcup_{x \in X} \,(-\infty, f(x)) \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(X) \subset \displaystyle \bigcup_{i=1}^n \,(-\infty, f(x_i)) = (-\infty, \max_{1 \leq i \leq n} f(x_i)) \end{aligned} )] |
그러므로 귀류법 가정이 틀렸음을 알았으니 [math(f(X))]는 최댓값을 가진다. 최솟값의 경우에도 똑같이 증명할 수 있다. [math(\blacksquare)]}}}||
4. 관련 문서
[1]
연속함수가 보내는 컴팩트집합의 상 역시 컴팩트집합이다.