1. 개요
monotone convergence theorem(MCT) / 單 調 收 斂 定 理단조 수렴 정리는 해석학에서 수열의 극한과 관련된 정리 중 하나이다. 증명하는 방법은 완비 공리(completeness axiom)를 이용하여 실수의 완비성(completeness of real number)을 밝혀내는 것이다.
2. 상세
단조 수렴 정리를 바르게 이해하기 위해서는, 단조수열(monotone sequence)과 유계(bounded)라는 개념을 정확히 이해할 필요가 있다.일단 무한수열 [math(\{a_n\})]이 주어져 있다고 하자.
모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(a_n \leq a_{n+1})]이면 [math(\{a_n\})]은 단조증가수열(감소하지 않는 수열)이다.
모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(a_n \geq a_{n+1})]이면 [math(\{a_n\})]은 단조감소수열(증가하지 않는 수열)이다.
실수 [math(M)]이 존재하고 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(a_n \leq M)]일 때 [math(\{a_n\})]은 위로 유계(bounded above)이다. 이때 [math(M)]을 상계(upper bound)라고 한다.
실수 [math(m)]이 존재하고 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(a_n \geq m)]일 때 [math(\{a_n\})]은 아래로 유계(bounded below)이다. 이때 [math(m)]을 하계(lower bound)라고 한다.
[math(\{a_n\})]이 위로 유계이면서 아래로 유계일 때, 유계라고 부른다.
"유계이면서 단조인 실수열은 모두 수렴한다.(If a real sequence is bounded and monotone, it converges.)"는 것이 단조 수렴 정리의 내용이다.