1. 개요
수학에서 완비성( 完 備 性, completeness)은 어떤 공간이 '빈 틈 없이 메워져 있음'을 의미한다. 완비성을 갖는 공간 안에서는 극한의 수렴성을 논하는 것이 가능해, 해석적 방법을 이용하여 공간의 성질과 공간에서 정의된 함수를 분석할 수 있다. 완비성을 갖는 대표적인 공간으로 완비 순서체인 실수체가 있다.2. 정의
2.1. 거리공간의 완비성
거리함수 [math(d:X\times X\to[0,\infty))]가 주어진 거리공간 [math((X,\,d))]에 대하여, 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여[math(m,\,n>N \Longrightarrow d(a_m-a_n)<\epsilon)]
을 만족시키는 자연수 [math(N)]이 존재하는 점렬 [math(\{a_n\})]을 거리공간 [math(X)]의 코시열(
Cauchy sequence)이라고 한다.완비성을 가진 거리공간 [math((X,\,d))]은 어떠한 거리공간 [math((X,\,d))] 안의 모든 코시열이 그 공간 내에서 수렴하는[1] 것으로 정의된다.
2.2. 거리공간의 완비화
거리 공간 [math((X, d))]의 코시열의 집합을 [math(\mathcal{X})]라 할 때, 삼각부등식과 실수의 완비성에 의해[math(\displaystyle\overline{d}\left(x_n, y_n\right)=\lim_{n\to\infty}d\left(x_n, y_n\right))]
로 정의된 함수 [math(\overline{d}:\mathcal{X\times X}\to [0,\infty))]는 [math(\mathcal{X})]의 유사 거리함수이다. 유사 거리 공간 [math(\left(\mathcal{X}, \overline{d}\,\right))]에 동치 관계[math(\{a_n\}\sim\{b_n\}\Longleftrightarrow \overline{d}\left(\{a_n\},\{b_n\}\right)=0)]
를 부여할 때, 동치류 [math(\overline{X}=\mathcal{X}/\sim)]는 [math(X)]를 조밀한 부분집합으로 갖는 완비 거리 공간이다.3. 예시
3.1. 수체
유리수체, 실수체, 복소수체는 자기 자신 위의 1차원 벡터공간이다. 이때, 유리수체와 실수체는 수의 절댓값, 복소수체는 복소수의 크기를 각각 노름으로 가지므로 노름공간이며, 노름은 자연스러운 거리를 유도하므로 각 수체는 거리공간이다. 따라서 각 수체의 완비성을 판별할 수 있다.3.1.1. 유리수체
유리수체 [math(\mathbb{Q})]는 완비성을 갖지 않는다. 집합
{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
[math(S=\left\{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\right\})]}}}는 임의의 [math(x\in S)]에 대하여 [math(x<\sqrt 2)]이므로 위로 유계인 집합이지만 [math(\sup S=\sqrt{2}\notin\mathbb{Q})]이다.
3.1.2. 실수체
실수체 [math(\mathbb{R})]은 완비성을 갖는다. 실수열 [math(\{a_n\})]이 [math(m, n\to\infty)]에 따라 [math(|a_m-a_n|\to0)]을 만족시키면 수열 [math(\{a_n\})]을 코시 수열(Cauchy sequence)이라고 한다. 즉, 코시 수열 [math(\{a_n\})]은 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여[math(m,\,n>N \Longrightarrow |a_m-a_n|<\epsilon)]
을 만족시키는 자연수 [math(N)]이 존재하는 수열이다. 이는 항의 번호가 커질수록 항 사이의 거리가 가까워짐을 의미한다. 실수의 완비성은 임의의 코시열 [math(\{a_n\})]의 극한 [math(\alpha\in\mathbb{R})]가 존재함을 의미한다. 실수의 완비성은 위로(아래로) 유계인 집합이 상한(하한)을 가짐과 동치이다.
임의의 무리수 [math(a)]는 그의 십진법 소수표현에서 소수점 아래 n번째 수까지 취한 유리수열 [math(a_n=\displaystyle\frac{\lfloor10^na\rfloor}{10^n})]의 극한과 동일하므로 실수체는 유리수체의 완비화이다.
실수를 공리적으로 정의할 때, 실수의 완비성은 체의 공리, 거리 공리와 함께 실수를 정의하는 공리 중 하나다. 공리적으로 정의된 실수집합의 경우 완비성으로부터 아르키메데스 성질이 유도된다. 즉, 임의의 양의 실수 [math(a)]와 [math(b)]에 대하여 [math(na>b)]를 만족시키는 자연수 [math(n)]이 존재한다.
3.1.3. 복소수체
복소수체 [math(\mathbb{C})]는 완비성을 갖는다. 복소수[math(z=x+iy(x,y\in\mathbb{R}))]
에 대하여 복소수의 크기 [math(|z|=\sqrt{x^2+y^2})]
는 거리[math(d(z,w)=|z-w|)]
를 유도하는
노름이다. 코시 복소수열 [math(\{z_n\})]에 대하여 [math(z_n=x_n+iy_n)]이라 하면 [math(m, n\to\infty)]에 따라 [math(\sqrt{(x_m-x_n)^2+(y_m-y_n)^2}\to0)]이므로 [math(|x_m-x_n|, |y_m-y_n|\to0)]이다. 실수의 완비성에 의해 두 실수열 [math(\{x_n\}, \{y_n\})]은 각각 극한 [math(x, y)]를 갖고, [math(z_n \to z=x+iy)]이다.3.2. 함수공간
-
닫힌 구간 [math([0, 1])] 위에서
리만 적분 가능한 함수 공간 [math(\mathcal{R}[0,1])]에서 동치관계
{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
[math(\displaystyle d(f,g)=\int_a^b|f(x)-g(x)|\, dx)]
가 부여된 거리 공간이다.
가산집합{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
}}}에 대하여 [math(I_n=\{r_1,\ldots r_n\})]이라 할 때, 지시함수 [math(1_{I_n})]은 유한 개의 불연속 점을 가져 리만 적분 가능하지만 함수열 [math(\{I_n\})]의 극한 함수인 [math(1_I)]는 모든 [math([0,1])]에서 불연속이므로 리만 적분 불가능하다. 따라서 [math(R[0,1])]은 완비성을 갖지 않는다.
- 닫힌 구간 [math([0, 1])] 위에 르베그 측도 [math(m)]이 부여되었을 때, 르베그 적분가능 함수 공간인 [math(L^1([0,1],m))]은 완비 거리 공간으로, 리만적분 가능 공간의 완비화이다. 일반적으로, [math(L^p)] 공간은 완비공간이다.
- 힐베르트 공간은 완비 내적공간이다.
- 바나흐 공간은 완비 노름공간이다.
[1]
거리공간론에서 다루는 코시열은 수렴하는 수열의 필요충분조건이 아니다! 주의하길.