1. 개요
2학년의 꿈(sophomore's dream)은 다음 두 등식[1]을 가리킨다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 x^x \,{\rm d}x &= -\sum_{n=1}^\infty \frac1{(-n)^n} \approx 0.7834305107 \\
\int_0^1 \frac1{x^x} \,{\rm d}x &= \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^n} \approx 1.2912859971
\end{aligned} )]
2. 상세
틀린 항등식 [math((x+y)^n = x^n + y^n)]을 1학년의 꿈이라고 부르는 것처럼, 적분 기호를 무한합 기호로 순진하게 바꿔놓고 그래도 된다고 우기는 해맑은 2학년의 꿈이라고 하는 것이다. 그러나 다행히도 1학년의 꿈이 틀린 것과는 달리 이 2학년의 꿈은 옳다. 자세한 증명은 해당 링크 참고. 아직 3학년의 꿈은 나오지 않은 상태이다.발견자는 로피탈의 정리를 발견한 요한 베르누이(1667~1748)이다. 요한 베르누이는 베르누이 미분방정식을 발견한 야코프 베르누이(1654~1705), 베르누이 정리를 발견한 다니엘 베르누이(1700~1782)와 함께 베르누이 가문의 사람이다.
3. 증명
이 문단에서는 다음 식만 증명할 것이다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 \frac1{x^x} \,{\rm d}x = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^n}
\end{aligned} )]
우선 [math(\dfrac1{x^x})]를 지수함수 형태로 바꾼 다음 지수함수의 매클로린 급수를 사용하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 \frac1{x^x} \,{\rm d}x &= \int_0^1 e^{-x\ln x} \,{\rm d}x \\
&= \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x\ln x)^n}{n!} \,{\rm d}x \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^1 x^n \ln^nx \,{\rm d}x
\end{aligned} )]
여기서 뒷부분의 적분은 부분적분을 반복적으로 수행해서 값을 구할 수 있다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 x^n \ln^nx \,{\rm d}x &= \!\biggl[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln^nx \biggr]_0^1 -\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \frac{n\ln^{n-1}x}x \,{\rm d}x \\ &= -\frac n{n+1} \int_0^1 x^n \ln^{n-1}x \,{\rm d}x \\ &= -\frac n{n+1} \biggl( \biggl[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln^{n-1}x \biggr]_0^1 -\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \frac{(n-1)\ln^{n-2}x}x \,{\rm d}x \biggr) \\ &= \frac{n(n-1)}{(n+1)^2} \int_0^1 x^n \ln^{n-2}x \,{\rm d}x \\ &= \cdots \\ &= (-1)^n \frac{n!}{(n+1)^n} \int_0^1 x^n \,{\rm d}x \\ &= (-1)^n \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 \frac1{x^x} \,{\rm d}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^1 x^n \ln^nx \,{\rm d}x \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \cdot (-1)^n \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+1)^{n+1}} \\
&= \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^n} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
[1]
Bernoulli, Johann, Principia Calculi exponentialium seu percurrentium.
Acta Eruditorum (Mar. 1697), 125–133