10진법

수와 연산 Numbers and Operations
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진법 Base N
2진법	8진법	10진법	12진법	16진법	60진법

1. 개요2. 상세3. 수학적 특징

3.1. 10진법에서만 해당되는 수의 분류

4. 기타5. 둘러보기 틀

1. 개요

十進法 / decimal, denary[1]

10을 기수( 基數)로 쓰는 실수의 진법이다. 10개의 숫자를 가지고 수를 표현하며, 열배마다 자릿수가 하나씩 올라간다. 현대의 거의 모든 사람들이 기본적인 일상생활을 하면서 사용하는 진법이다.[2] 초등학교 2학년 때부터 4학년 때까지 배운 자연수의 자릿수 분리를 거듭제곱꼴로 나타낸 것이다. 세상엔 수많은 가지각색의 언어가 존재함에도 불구하고 10진법은 고대 이집트 때부터 거의 전세계 수준으로 통일되었다. 과거 7차 교육과정 때는 중1 수학 교과서에 있었다.

2. 상세

인간의 셈법이 10진법으로 정착된 이유는, 당연히 사람의 손가락이 10개이기 때문이다. 더 정확하게는 사람이 수를 셀 때 10개의 손가락 중 몇 개가 펴지고 접혔는지로 세어왔기 때문. 사람이 손가락으로 최대한 펴거나 접을 수 있는 수가 10이므로 자연스럽게 상당수의 단위가 10을 묶음으로 형성되었다. 만약 손가락이 n개였다면 자연스럽게 n진법이 정착되었을 것이다.[3]

만약 인류가 몇 번째 손가락이 펴지고 접혔는지에 초점을 두어왔다면 인류는 어쩌면 2진법, 혹은 그것에서 파생하는 진법[4]을 썼을지도 모른다. 손가락마다 자릿수를 매겨서 접고 펴는걸로 1, 0을 구별하면 양손으로 0~1023 또는 1~1024까지 셀 수 있다. 새끼손가락을 독립적으로 못 굽히는 사람을 감안해도 255까지 셀 수 있으며, 이는 16진수 FF에 해당한다. 이정도면 확률, 경우의 수와 마찬가지로 기하급수적으로 증가하기 때문에 손가락의 개수가 조금만 많아져도 셀 수 있는 수는 우주의 원자 개수보다도 더 많아진다.

다만 손가락 개수를 세는것은 10진법이 아닌 1진법이다. 10진법은 비트 하나당 10가지의 상태를 가질 수 있어야 한다. 즉 손가락 하나만으로 [math(0 - 9)]까지 셀 수 있어야 10진법이라고 할 수 있다. 굳이 손가락으로 10진법을 쓰고 싶다면 손가락을 완전히 접은것을 [math(0)], 손가락을 [math(\frac{1}{9})]만큼만 편 것을 [math(1)], [math(\frac{2}{9})]만큼 편 것은 [math(2 \ldots,)] 완전히 편 것을 [math(9)]로 볼 수 있다. ~~구분이 가능하다는 가정 하에~~ 이 경우에는 [math(0 - 9999999999)]까지 셀 수 있다.

현재 대부분의 단위가 10진법으로 통일되었기 때문에, 다른 진법에서의 사칙연산이 불편하게 느껴지는 것은 어쩔 수 없다. 다시 말하자면 이는 10진법이 습관이 되어서 나온 결과이다. 대표적인 상황이 12진법과 60진법으로 표현되는 시간을 계산하는 경우인데, 진법 개념이 희박한 어린 아이들은 이것에 혼란을 느껴 시간 계산을 틀리는 경우가 매우 많다.

10은 1과 자신을 제외하면 약수가 2와 5 밖에 존재하지 않기에, 사용에 있어 은근히 불편한 부분이 많다. 일단 8진법만 해도 2와 4가 약수인데 이건 그래도 4 한정이긴 하지만 소인수분해가 한 번 더 된다. 그리고 여기서 중요한 건 약수의 개수보다는 소인수분해가 가능한 횟수다. 고작 2와 5로만 나눠도 더 이상의 소인수분해가 불가능한 10진법과 비교해보면 잘 와닿을 것이다. 인간은 기본적으로 10진법의 사고방식을 가지고 있음에도 각종 명칭, 묶음 단위 등에서 8진법, 12진법, 16진법, 60진법 등의 다양한 진법들 또한 같이 사용해 왔는데, 모두 약수가 많아서 나누기가 편리한 진법들이다. 물론 2진법과 8진법은 너무 짧고 60진법은 너무 길어서 세 진법에 비하면 10진법이 적당한 감은 있다. 하지만 12진법과 16진법에 비하면 여전히 불편하다.

하지만 아무리 10진법보다 편리한 진법이 있다고 하더라도 이제 와서 인류가 10진법을 버릴 일은 없을 것이다. 다른 진법으로 바꾼다고 한다면 당연히 수많은 사람들이 반발할뿐더러[5], 숫자의 표기부터 언어체계까지 지구상에서 숫자가 관련된 모든 것을 모조리 바꿔야 하기 때문에 천문학적 비용이 들기 때문이다.[6] 프랑스 혁명 때 도량형을 개선하면서 시간만큼은 10진법으로 바꾸지 못했고, 그레고리력이 매년 달력을 새로 찍어야 하는 불규칙성에도 불구하고 세계력이나 국제고정력을 적용하지 못하고, 화성 기후 궤도선이 추락했음에도 미국에서는 미터법을 도입하지 못하고 있는 걸[7][8] 보면, 이들과도 비교를 할 수 없을 정도로 훨씬 더 큰 일인 10진법을 여타 진법으로 바꾸는 일은 인류가 멸망하지 않는 이상 영원히 없을 것이다.

3. 수학적 특징

십진법에서는 10의 약수가 1, 2, 5, 10이고, 소수( 素數)[9]가 2, 5이기 때문에, 이들만을 곱셈으로 조합한 숫자 [math(2^{x}5^{y})] ([math(x,y)]는 자연수)를 분모로한 기약분수는 분모를 [math(10^n)] ([math(n)]은 자연수)꼴로 나타낼 수 있기 때문에 유한소수가 된다. 다시말해 기약분수꼴일때 2, 5외의 소인수가 분모에 있으면 그 수는 순환소수. 그리고, 2와 5는 밀접한 관계가 있으며 대략적으로 다음과 같은 성질이 있다.

[math(2^{-n} = 5^{n}10^{-n})] 이다. ([math(\displaystyle a^{-n} = {1 \over a^{n}})])
[math(5^{-n} = 2^{n}10^{-n})] 이다.
[math(2^{a} 5^{b})]에서

[math(a < b)] 이면, 그 값은 [math(5^{b-a} 10^{a})]이다.
예) [math(2^{3} 5^{4} = 5 \cdot 1000 = 5000)]
[math(a = b)] 이면, 그 값은 [math(10^{a})]이다.
예) [math(2^{5} 5^{5} = (2 \cdot 5)^{5} = 100000)]
[math(a > b)] 이면, 그 값은 [math(2^{a-b} 10^{b})]이다.
예) [math(2^{4} 5^{1} = 8 \cdot 10 = 80)]

3.1. 10진법에서만 해당되는 수의 분류

약수의 합에 따른 자연수의 분류[10], 피보나치 수, 정n각수, n제곱수, 친화수, 부부수, 사교수, 소수, 합성수, 약수의 개수가 n인 자연수, 소인수의 개수가 n인 자연수, 각 소인수의 지수의 총합이 n인 자연수, 제곱인수가 없는 정수, 불가촉 수, 반완전수, 괴짜수, 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 n가지인 수나 n가지의 방법으로 표현할 수 있는 가장 작은 수, n가지의 방법으로 표현할 수 있는 수의 개수, 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 n가지일 때, 그 서로 다른 n가지 방법을 모두 썼을 때 사용되는 소수의 개수, 어떤 자연수의 모든 진약수의 합으로 나타내는 방법이 n가지인 자연수나 n가지의 방법으로 나타낼 수 있는 가장 작은 수 등과 같은 수의 분류는 각각의 수의 특징에 따른 것이므로 진법에 전혀 관계 없이 항상 그대로이다.

반면, 카프리카 수 [11], 대칭수 [12], 하샤드 수 [13], 자기동형수 [14] 등등의 경우는, 자릿수의 관한 수의 분류이므로 어느 진법을 기준으로 했는지에 따라 될 수 있는 수가 달라진다. 십진법에서는 해당 되었더라도, 다른 기수법 에서의 경우로는 자릿수가 달라 해당되지 않을 수도 있다. [15]

특히 자릿수에 관련된 소수의 분류에서도 재배열 가능 소수나 왼편•오른편•양편 절단 가능 소수 및 양면 소수, 수소[16], 단위 반복 소수 [17][18], 치환 가능 소수[19] 등등은 대부분 십진법을 기준으로 한 소수의 분류라서 '10진법에서' 라는 말이 안 쓰여있지만, 기수법을 바꾸면 위에 있는 해당 자릿수와 관련된 소수의 분류에 속하는 소수의 목록이 바뀌게 된다. 특히 왼편·오른편·양편 절단 가능 소수 및 양면 소수는 개수가 한정되어있다는 특성상 10진법에서의 경우만 생각하다보니 그냥 '총 몇 개가 있다' 이런 식으로 서술되어있으나 기수법을 십진법이 아닌 다른 기수법으로 바꿔서 생각할 경우에는 결과가 달라질 수 있다. 다시 말해 그 기수법에서의 절단 가능 소수의 개수 및 가장 큰 절단 가능 소수가 달라질 수가 있단 이야기다.

따라서 '우주의 언어'로 가장 유력한 후보[20] 중 하나인 수학도 외계 문명이 전혀 다른 기수법을 사용한다면 통하지 않는 정리, 법칙들이 다수 있을 수 있다는 것을 의미한다.

4. 기타

과거에는 한자 문화권에서는 본래 10진법을 사용하면서도 자릿수마다 十, 百, 千, 萬, 億, 兆 등의 별도의 문자를 사용하는 방식을 썼다. 하지만 이후에 0을 사용하는 아라비아 숫자식의 10진법 표기를 수입하여 〇, 一, 二, 三, 四, 五, 六, 七, 八, 九로, 갖은자로는 零 [21], 壹, 貳, 參, 肆, 伍, 陸, 柒, 捌, 玖를 사용했다. 현대에 와서는 한자문화권 전체에서 숫자만큼은 아라비아 숫자를 그대로 사용하게 되어서 지금은 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9로 통일해서 표기하고 있다. 다만 숫자 항목에도 나와있지만 정작 아라비아 등의 지역에서는 다른 모양의 숫자(동아라비아 숫자)를 쓴다.

한국에서는 숫자를 기록하거나 말할 때 주로 1, 2, 3은 초반, 4, 5, 6은 중반, 7, 8, 9는 후반으로 보는 경우가 있고, 또는 사사오입이 되냐 안되냐에 따라 초반과 후반으로 보는 경우도 있다. 예를 들어 나이를 지칭할 경우 31~33살은 30대 초반, 33~36살은 30대 중반, 37~39살은 30대 후반 식으로 하는 반면[22], 액수를 셀 경우 120만 원은 백만 원 초반, 150은 백만 원 중반, 180만 원은 백만 원 후반과 같이 지칭하기도 한다.

십간도 10진법이다.

5. 둘러보기 틀

십진수 Decimal
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구골 (10¹⁰⁰)	구골플렉스 ([math(10^{10^{100}})])	구골플렉시안(10^{구골플렉스})	...

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[1] 후자는 고대 로마 은화인 데나리우스와 동원어다. [2] 모든 진법은 그 진법으로 나타냈을때 10진법이다. 예를 들어 2진법에서는 2가 10으로 표기되므로 '2진법'의 '2'가 '10'이다. [3] 베르나르 베르베르의 소설 개미의 설정을 보면 여기서 개미들은 12진법을 사용하고 있다고 한다. 개미의 각 다리에 발톱 2개가 달려서 2(발톱) × 6(다리 숫자)=12가 되기 때문. 물론 개미의 발톱은 인간이 맨눈으로 보기에는 너무 작다. [4] 2진법을 묶어둔 16진법이 유력하다. [5] 물론 이 문서를 읽곤 시험 삼아 다른 진법을 쓰는 사람은 꽤 있을 것이다. 하지만 얼마 안 가 왜 인류가 10진법을 버리지 않는지 알게 될 것이다. [6] 최소 100경 원 이상. 코로나19로 인한 손실이 5경 원을 넘지 않는다는 것을 생각해보면 감이 올 것이다. 무엇보다도 원주율 등 무한소수를 바꾸긴 더더욱 어렵다. 설령 인류가 자연수만 다뤄왔다고 해도 이미 진법을 바꾸기가 어려움을 생각해보면... 이쯤되면 10000년 문제가 코앞이라고 해도 이보다 비용 문제가 더 심하진 않을 것이다. 사실 선거만 해도 엄청난 비용이 든다. [7] 물론 사건 당사자인 NASA는 사건 직전에도 미터법을 도입했다. 그리고 사건 이후 프로젝트 참여업체도 NASA 프로젝트에서는 공식적으로 미터법을 사용하도록 강제하게 된다. [8] 사실 저런 사건이 있다고 도입하기도 힘들다. 미터법이 도입 안 되는 이유는 단순히 일상생활 자체에 스며들었다는 것이다. 미터법이 이미 일상생활에 정착하고 법으로 강제하는 우리나라에서도 근과 평 같은 단위가 완전히 사라지진 않았는데, 미국은 야드 파운드법이 일상생활에 완전히 고착된 상황이고 규모도 더 크기에 도입하기도 훨씬 어려울 수밖에 없다. [9] 발음은 [\소쑤\]로, 0.1 등의 소수( 小數)[소ː수]와는 다르게 발음되지만 똑같이 '소수'라고 쓴다. [10] 각각 부족수, 완전수, 과잉수이다. [11] 주어진 진법에서 그 수의 제곱이 되는 수를 두 부분으로 나누어 더했을 때, 다시 그 수와 같아지는 수. [12] 주어진 진법에서 거꾸로 읽더라도 바르게 읽더라도 똑같은 수로, 앞에서부터 n번째 자리 수와 뒤에서부터 n번째의 자리 숫자가 모두 같은 수. [13] 주어진 진법에서 어떤 수가 그 수의 각 자리 숫자의 합의 배수가 되는 수. 이를 확장하면 주어진 진법에서 각 자리 숫자의 합을 한자리수가 될 때까지 거쳐 나온 수들로도 모두 나누어떨어지서나 모두 하샤드 수가 되는 수도 정의할 수 있게 된다. [14] 주어진 진법에서 아무리 더듭제곱해도 끝의 몇 개의 자리 수가 유지되는 수. [15] 단, n이 자연수일 때, m진법 표기에서 m>n이면 m의 값에 관계 없이 n은 무조건 한자리 수가 되어 무조건 n으로 표현되기 때문에 예외이다. [16] 주어진 진법에서 한자리수가 될때까지 각 자리 숫자의 합을 반복한 결과가 모두 소수인 경우에 해당하는 소수를 말한다. [17] 주어진 진법에서 1이 늘어선 형태로 표현되는 소수로, 주어진 진법에서 1이 늘어선 형태의 수인 렙디지트에서 유래하여 따왔다. 이때, 1의 개수가 2개이면 그 진법만큼의 수보다 1 큰 수라는 특성상 n이 자연수일 때, n진법에서 n+1이 되어 모든 자연수가 가능해지므로 1이 최소한 3개가 늘어서있을 때 기준 n이 2 이상의 자연수일 때, 임의의 n진법에서 1이 3개 이상 늘어선 형태로 되어있는 수의 목록도 만들어보도록, 그중에서도 소수인 것, 1의 개수가 소수개이지만, 해당 수가 소수가 아닌 것의 목록과 특정 n진법에서 1이 늘어선 형태의 수들의 소인수분해 목록도 만들어볼 수 있다. [18] 다만 n이 2 이상의 자연수일 때, pⁿ=m이면 m진법에서 1이 늘어선 형태의 수는 반드시 p진법에서 1이 늘어선 형태로 표현되는 수를 약수로 가지게 되어서 소수일 수 없으므로 하나도 없거나 딱 하나만 존재하게 된다. 따라서 이 조건을 만족하지 못해야 해당 진법에서의 단위 반복 소수가 2가지 이상이 될 수 있다. [19] 주어진 진법에서 거꾸로 뒤집어도 여전히 소수이지만, 회문 소수는 아닌 소수로, 재배열 가능 소수 중 회문 소수가 아닌 소수들은 모두 이에 해당한다. [20] 모든 문명마다 다른 역사, 사회, 경제, 철학 등에 비해 수학은 어느 문명에서나 보편적이었기 때문. 물론 한 사람이 정한 표기법 같은 건 모두 달랐지만 각자 연관성이 없는 문명에서 독자적으로 피타고라스 정리같은 기본적인 법칙을 발견하고 증명한 사례는 수도 없이 많다. 칼 세이건 역시 그의 저서에서 외계인들과의 대화 수단으로 수학을 사용하는 모습을 보여주었을 정도. 대표적으로 콘택트에서 외계인들이 소수로 메시지를 보내는데, 소수 역시 기수법과 무관하게 존재한다. 물론 기본 공리 자체가 다르다면 완전히 다른 수학이 탄생할 수도 있기는 하지만... [21] 이 한자는 꽤 나중에 만들어졌다. [22] 만 나이와 연 나이는 0부터 시작하지만, 1부터 시작하는 세는나이 특성상 n3살의 경우 n0대 초반이라고 하는 편이다. 그리고 세는나이로 n4살이 만 나이로 n3살이기도 하다. 마찬가지로 2013년은 2010년대 초반, 2023년은 2020년대 초반이라 보는 편이다.