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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
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| [math(\boldsymbol{\square } \mathbf{ABCD})] |
사각형은 4개의 각(점)과 선분으로 이루어진 다각형으로, 네모 또는 사변형[1]이라고도 한다.
평면상에서의 내각의 합은 [math(360\degree)]이다. 또한 유일하게 내각의 합과 외각의 합이 같다.
유클리드 기하학에서 삼각형 다음으로 모양이 단순한 다각형이다.
일상생활에서 흔히 말하는 사각형(네모)은 대부분 직사각형( 정사각형 포함)으로, 무척 단순한 데다가 각이 직각으로 잘 잡혀 있는 정갈한 모양이라 일상생활에서 많이 접할 수 있다. 당장 보고 있는 모니터나 핸드폰 화면도 직사각형일 확률이 높다.[2]
이 도형으로 이루어진 정다면체는 정육면체가 유일하다.
2. 사각형의 종류
- 일반적인 사각형(quadrilateral): 모든 사각형을 의미한다.
- 사다리꼴(trapezoid)
- 연꼴(kite)
- 오목사각형
- 화살촉꼴(오목 연꼴)(dart)
- 외접 사각형(tangential quadrilateral 또는 circumscribed quadrilateral) - 내접원이 존재하는 사각형이다. 마주보는 두 변의 길이의 합이 서로 같다.
- 내접 사각형(cyclic quadrilateral) - 네 점이 하나의 원 위에 있는 사각형이다. 서로 마주보는 두 각의 합은 180도이다.
- 교차하는 사각형(complex quadrilaterals/crossed quadrilaterals) - 두 변이 서로 교차하는 사각형이다.
- 역평행사변형(antiparallelogram) - 두 쌍의 대변이 각각 길이가 같고, 한 쌍은 서로 교차하는 오목 사각형이다.
- 역직사각형(crossed rectangle) - 두 쌍의 대변이 각각 길이가 같고, 한 쌍은 서로 교차하며, 각이 모두 같은 오목 사각형이다.
- 역정사각형(crossed square) - 꼭지점을 볼록하게 이은 선분이 정사각형인 교차하는 사각형이다.
삼각형과 달리 이름 없는 사각형은 만들기 쉽다. 사다리꼴에서 한 꼭짓점을 잡고 바깥으로 스윽 잡아당기면 네 변의 길이가 모두 일치하지 않게 되어 위의 어느 것에도 해당되지 않는 그야말로 이름 없는 그냥 사각형이 된다.
과학에서는 힘의 합력을 구할 때 주로 사용한다.
2.1. 성질
정사각형은 그야말로 모든 조건을 만족시키는 특별한 사각형이다. 그래서 정사각형은 초입방체이자 정축체이다. 반면 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행하다는 정의 자체를 제외하면 특기할 만한 성질이 아예 없다.| <colbgcolor=#efefef,#555555> | 정사각형 | 직사각형 | 마름모 | 평행사변형 | 등변 사다리꼴 | 사다리꼴 | 연꼴 |
| 변이 모두 같다 | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 한 쌍의 대변이 같다 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 두 쌍의 대변이 각각 같다 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 각이 모두 같다 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 밑변의 두 밑각이 같다 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 두 쌍의 대각이 각각 같다 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 한 쌍의 대변이 평행 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] |
| 두 쌍의 대변이 각각 평행 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 두 대각선이 중점에서 교차 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 두 대각선이 수직으로 교차 | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\bigcirc)] |
| 두 대각선이 서로를 이등분 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 두 대각선의 길이가 같다 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 이웃한 두 각의 합이 [math(\boldsymbol{180\degree})] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 내접원 존재 | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\triangle)][3] |
| 외접원 존재 | [math(\bigcirc)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 자기 쌍대 | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 초입방체 | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
| 정축체 | [math(\bigcirc)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] | [math(\large \times)] |
3. 넓이 구하는 공식
명칭이 붙어 있는 사각형의 넓이 공식은 각 사각형의 문서 참고.일명 '이름 없는 사각형'인 불규칙 사각형의 넓이는 일반적으로 삼각형 두 개로 나눠서 각 넓이의 합을 구하는 방법이 알려져 있다. 아무 대각선을 하나 그어 그 대각선을 밑변으로 하는 삼각형 두 개를 만들고, 각 삼각형의 나머지 한 점에서 밑변으로 수선의 발을 내리면 그 원리를 알 수 있다. 이때 마찬가지로 특정 변의 길이나 특정 각 등이 주어진다면 삼각함수를 응용한 넓이 공식을 쓸 수 있다.
원에 내접하는 사각형이라면 브라마굽타 공식을 이용해 넓이를 구할 수 있다. 자세한 내용은 문서 참조.
4. 내접과 외접
4.1. 내접원의 존재성
사각형에 내접하는 원이 존재하려면 두 쌍의 대변끼리의 길이의 합이 같으면 된다. 즉 다음을 만족시키면 된다.
[math(\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+ \overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AD}}+ \overline{\mathrm{BC}})]
이것의 증명은 이곳을 참고하라.
내접원이 항상 존재하는 사각형은 정사각형, 마름모, 볼록 연꼴이 있다. 정사각형이 아닌 직사각형은 내접원이 항상 존재하지 않으며, 두 대각선이 만났을 때 이루는 각도도 항상 수직이 아니다. 물론 내접원이 존재하는 외접 사각형이라고 해서 항상 두 대각선이 수직이 되는 것은 아니며, 마찬가지로 두 대각선이 수직으로 만나는 사각형도 항상 원에 외접하는 것은 아니다.
원에 '외접'하는 사각형이기에 이런 사각형을 외접 사각형(tangential quadrilateral 또는 circumscribed quadrilateral)이라고 부른다.
4.2. 외접원의 존재성
사각형에 외접하는 원이 존재하려면 서로 마주보는 두 각의 합이 180도이면 된다. 즉, [math(\theta+\theta'=180\degree)]. 자세한 증명은 원주각을 참고하자.
외접원이 항상 존재하는 사각형은 정사각형, 직사각형, 등변 사다리꼴이 있다.
원에 '내접'하는 사각형이기에 이런 사각형을 내접 사각형(cyclic quadrilateral)이라고 부른다.
5. 관련 문서
5.1. 도형
5.2. 사각형인 물건
실제로 우리 세상은 3차원이므로[4] 완벽하게 두께가 없는, 2차원 평면 사각형인 물건은 존재할 수 없다. 여기서는 실제로는 납작한 직육면체지만, 넓이가 두께에 비해 커서 평면이라고 부를 만한 물건들을 기재한다. 즉, 일상생활에서 공간개념보다는 평면으로 인지되는 물건들이다.물체를 직사각형으로 딱딱 잘라서 만들기는 다른 도형에 비해 쉬운 편이고, 배치, 정리하거나 보관하는 것에도 용이하기 때문에 다른 도형보다도 압도적으로 많다.
5.3. 사각형 모양 캐릭터
5.4. 해당 모양 문자
5.5. 그 외
6. 기타
꼭지점을 갈아 둥근사각형(Rounded rectangle)을 만들 수 있다. 다만 각(angle)이 존재하지 않아 다각형으로 보기 어렵다. 더 나아가 사각형과 원의 중간 형태인 스퀘어클(Squircle)도 있다.[8]6.1. 미지수
초등학교 수학에서는 미지수로 쓰인다. 초등학교에서는 방정식이나 문자([math(x)] 등)에 대해서 제대로 배우지 않은 상태이나, 문제 풀이를 위해서 [math(\square)], [math({\bigcirc})] 등의 속이 비어 있는 기호를 사용한다.6.2. 달랑베르시안
[math(\begin{aligned}\square&=\partial^{\mu}\partial_{\mu}=g^{\mu v}\partial_{v}\partial_{\mu}=\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\\&=\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2=\dfrac1{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta\end{aligned})]
고등 수학에서는 달랑베르시안([math(\square)])이라고 해서 델([math(\nabla)]), 라플라시안([math(\Delta)])와 함께 위와 같이 미분방정식에 쓰인다.
6.3. 타일링
타일링은 동일한 도형으로 겹치지 않고 빈틈 없이 평면을 채우는 것을 의미한다.- 정사각형, 직사각형, 평행사변형, 마름모는 평면을 채울 수 있다.
- 사다리꼴, 연꼴 사각형은 회전을 허용할 경우 평면을 채울 수 있다.
- 역직사각형, 역정사각형은 평면을 채울 수 있다. 참고
사각형을 이용한 타일링 중에 ' 펜로즈 타일링'이라는 특이한 형태가 있는데, 연꼴 사각형과 다트 사각형 2개를 이용해서 평면을 겹치지 않고 빈틈 없이 채우는 데, 또한 동일한 패턴이 반복되지 않고 평면을 채우는 방법이다.