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[[대수학|대수학 Algebra ]]
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1. 개요
algebraic formula다항식을 전개하기 위해 자주 사용하는 꼴, 즉 기본적인 꼴을 정리한 것이다. 이를테면 [math((a+b)(a-b))]는 [math((a+b)(a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2-b^2)]과 같이 분배법칙을 써서 전개한 다음 교환법칙, 결합법칙 등을 써서 동류항끼리 모으고 결합하는 과정을 거쳐 간단히 할 수 있다. 이때 전개한 결과 [math((a+b)(a-b) = a^2-b^2)]은 자주 나오는 꼴[1]이므로 공식처럼 기억하고 있으면 많은 도움이 된다. 이렇게 곱셈 공식을 익혀 두면 복잡한 전개 과정을 거치지 않고도 빠르고 정확하게 다항식의 곱셈을 할 수 있다. 곱셈 공식은 일종의 항등식임은 물론이다. 곱셈정리(product rule) 또는 승법정리(multiplicative rule)라고도 한다, 확률론에서는 확률승법정리가 잘 알려져있다.
반대로, 전개한 것을 도로 묶는 것을 인수분해라고 한다. 곱셈 공식과 인수분해를 적절히 사용하면 곱셈이 한결 쉬워진다. 당장 [math(304\times296)]과 [math(300^2-4^2)]의 계산식이 그 예.
형돈이와 대준이가 이를 주제로 <중2 수학은 이걸로 끝났다>라는 노래를 내놓았다. 뮤직비디오에 연습 문제가 나온다. 수준 때문에 이차식이 되는 것만 나온다.
페이커도 곱셈 공식의 중요성을 알고 있다. #
또한, 곱셈공식은 기하학적으로 접근했을 때 정말 간단하고 오랫동안 외울 수 있다. 왜냐면, 2차 완전제곱식은 기본적으로 정사각형과 직사각형의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 구체적으로, 이차 완전제곱식인 [math((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2)]은 아래 움짤처럼 나타낼 수 있다.
이 움짤에 대한 설명
완전세제곱식 [math((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)]은 아래 움짤처럼 부피의 합으로 볼 수 있을 것이다.
2. 공식
다음은 대표적인 곱셈 공식이다.- [math((a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2)]
- [math((a+b)(a-b) = a^2 - b^2)]
- [math((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab)]
- [math((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd)]
- [math(x^2 +\dfrac1{x^2} = \!\left( x+\dfrac1x \right)^{\!2} - 2 \qquad)] (단, [math(x\ne0)])
- [math(x^2 +\dfrac1{x^2} = \!\left( x-\dfrac1x \right)^{\!2} + 2 \qquad)] (단, [math(x\ne0)])
여기까지가 중학교 과정이다. 2015 개정 교육과정 기준으로 중학교 3학년 1학기 과정에 나온다.[2] 2009 개정 교육과정에서는 2학년 1학기 과정에서 이 공식들을 배웠으나, 인수분해와 함께 연계시키기 위해서 3학년으로 올린 듯.[3]
위 공식에는 각각의 명칭이 있다. 1번째는 완전제곱식, 2번째는 합차공식[4], 3번째는 일반공식 등.
이 아래부터는 공통수학1에서 배우게 된다.
- [math((x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc)]
- [math((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca)]
- [math((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)]
- [math((a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3, (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3)]
- [math((a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)][5][6]
- [math(\dfrac12 (a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\} = a^3+b^3+c^3-3abc)][7]
- [math((a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4)]
- [math((a+ib)(a-ib) = a^2+b^2)][8]
- [math((a+b)(a+\omega b)(a+\omega^2 b) = a^3+b^3)][9]
- [math((a-b)(a-\omega b)(a-\omega^2 b) = a^3-b^3)]
- [math((a^2+\sqrt2ab+b^2)(a^2-\sqrt2ab+b^2) = a^4+b^4)]
- [math((a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2) = a^4+b^4-3(ab)^2)]
- [math((a+\omega b)(a+\omega^2 b) = a^2+b^2-ab)]
- [math((a-\omega b)(a-\omega^2 b) = a^2+b^2+ab)]
- [math((a+\omega b+\omega^2 c)(a+\omega^2 b+\omega c) = a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))]
- [math((a+\omega b)(a+\omega^2 b)(a-\omega b)(a-\omega^2 b) = a^4+b^4+(ab)^2)]
- [math((a+b+c)(a+\omega b+\omega^2 c)(a+\omega^2 b+\omega c) = a^3+b^3+c^3-3abc)][10]
- [math((a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a))]
- [math((a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b-c+d)(a-b+c-d) = a^4+b^4+c^4+d^4-2((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)+8abcd)][11]
- [math((a+b)(b+c)(c+a) = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc)]
- [math((a+b+c)(ab+bc+ca) = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc)]
- [math((a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b) = a^2+b^2+c^2+3(ab+ac+bc))]
- [math((a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c) = a^4+b^4+c^4-2((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2))]
- [math((a+b+c)^3-(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c) = 4(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)+abc))]
- [math((a+b+c+d)^3-(a+b-c-d)(a-b-c+d)(a-b+c-d) = 4(ab(a+b)+ac(a+c)+ad(a+d)+bc(b+c)+bd(b+d)+cd(c+d)+(abc+abd+acd+bcd)))]
- [math((a+b)^4 = a^4+b^4+4ab(a^2+b^2)+6a^2b^2)]
- [math((a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))+6abc)]
- [math((a+b+c)^4 = a^4+b^4+c^4+4(ab(a^2+b^2)+ac(a^2+c^2)+bc(b^2+c^2))+6((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)+12(abc(a+b+c)))]
- [math((a+b+c+d)^3 = a^3+b^3+c^3+d^3+3(ab(a+b)+ac(a+c)+ad(a+d)+bc(b+c)+bd(b+d)+cd(c+d))+6(abc+abd+acd+bcd))]
- [math((a+b+c+d)^4 = a^4+b^4+c^4+d^4+4(ab(a^2+b^2)+ac(a^2+c^2)+ad(a^2+d^2)+bc(b^2+c^2)+bd(b^2+d^2)+cd(c^2+d^2))+6((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)+12(abc(a+b+c)+abd(a+b+d)+acd(a+c+d)+bcd(b+c+d))+24abcd)]
- [math((a+b+c+d)^4 = a^4+b^4+c^4+d^4+4(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2)]
- [math((a+b+c+d+e)^5 = a^5+b^5+c^5+d^5+e^5+5(a+b+c+d)(a+b+c+e)(a+b+d+e)(a+c+d+e)(b+c+d+e)-5AB^2+5BC)]
- [math((a+b+c+d+e+f)^6 = a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+6(A-a)(A-b)(A-c)(A-d)(A-e)(A-f)-9A^2B^2+2B^3+12ABC-3C^2-6BD)]
- [math((a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)+(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) = B(abc(a+b+c)+abd(a+b+d)+acd(a+c+d)+bcd(b+c+d)))]
2.1. 변형
위 곱셈 공식을 이항하여 다음과 같이 변형할 수 있다.- [math(a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = (a-b)^2+2ab)]
- [math((a+b)^2-4ab = (a-b)^2)]
- [math(a^3+b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b))]
- [math(a^3-b^3 = (a-b)^3+3ab(a-b))]
- [math(a^4+b^4 = (a+b)^4-4ab(a+b)^2+2(ab)^2 = A^4-4A^2B+2B^2)]
- [math(a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))]
- [math(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca = \dfrac12\{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\})]
- [math(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \dfrac12\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\})]
-
[math(a^3+b^3+c^3)]
[math(= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca))+3abc)]
[math(= (a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a))]
[math(= (a+b+c)^3-3(ab+bc+ca)(a+b+c)+3abc)]
[math(= (a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))+3abc)]
[math(= A^3-3AB+3C)]
이 문단부터는 식이 복잡해져서 각 근의 합은 [math(A)][12], 두 근끼리의 곱의 합은 [math(B)][13], 세 근끼리의 곱의 합은 [math(C)][14], 네 근끼리의 곱의 합은 [math(D)][15], 다섯 근끼리의 곱의 합은 [math(E)][16], [math(\cdots)] 이런 식으로 치환한다.
2.1.1. 이차항인 경우
- [math(a^2+b^2+c^2+d^2 = A^2-2B)][17]
- [math(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = A^2-2B)]
2.1.2. 삼차항인 경우
- [math(a^3+b^3+c^3+d^3 = A^3-3AB+3C)][18]
2.1.3. 사차항인 경우
- [math((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 = B^2-2AC)]
- [math((a^2+b^2+c^2)^2 =A^4-4B(A^2-B))]
- [math((a^2+b^2+c^2+d^2)^2 = A^4-4B(A^2-B))]
-
[math(a^4+b^4+c^4)]
[math(= (a+b+c)^4-2(2(a+b+c)^2-(ab+ac+bc))(ab+ac+bc)+4abc(a+b+c))]
[math(= A^4-4A^2B+2B^2+4AC)] - [math((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2 = B^2-2AC+2D)]
-
[math(a^4+b^4+c^4+d^4)]
[math(= (a+b+c+d)^4-2(2(a+b+c+d)^2-(ab+ac+ad+bc+bd+cd))(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+4(abc+abd+acd+bcd)(a+b+c+d)-4abcd)]
[math(= A^4-4A^2B+2B^2+4AC-4D)][19] - [math(a^4+b^4+c^4+d^4+e^4 = A^4-4A^2B+2B^2+4AC-4D)]
2.1.4. 오차항인 경우
-
[math(a^5+b^5)]
[math(= (a^2+b^2)(a^3+b^3)-(ab)^2(a+b))]
[math(= A^5-5A^3B+5AB^2)] - [math(a^5+b^5+c^5 = A^5-5A^3B+5AB^2+5A^2C-5BC)]
- [math(a^5+b^5+c^5+d^5 = A^5-5A^3B+5AB^2+5A^2C-5BC-5AD)]
- [math(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5 = A^5-5A^3B+5AB^2+5A^2C-5BC-5AD+5E)]
2.1.5. 육차항인 경우
- [math(a^6+b^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3)]
- [math(a^6+b^6+c^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2)]
- [math(a^6+b^6+c^6+d^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2-6A^2D+6BD)]
- [math(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2-6A^2D+6BD+6AE)]
- [math(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2-6A^2D+6BD+6AE-6F)]
2.1.6. 변형 공식 문제
변형 공식은 다음과 같이 곱셈 공식의 심화 문제로 많이 나온다.- [math(a+b=3)], [math(ab=6 \Rightarrow a^2+b^2 = \,?)]
- [math(a+b=4)], [math(ab=7 \Rightarrow a^3+b^3 = \,?)]
특히 [math((a+b)^2-2ab = a^2+b^2)], [math(a^3+b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b))] 이 두 개는 근과 계수의 관계 문제에서도 단골로 이용된다. 이차방정식의 두 근의 합([math(a+b)])과 곱([math(ab)])을 근과 계수의 관계로 구하도록 하고 곱셈 공식을 사용하여 답을 구하라는 것이 출제 의도이다. 이때도 물론 연립방정식을 풀기 어렵도록 방정식의 두 근을 복잡한 무리수로 만들어 놓는다. [math(a^4+b^4)]의 값도 위의 공식 그대로 구할 수 있다. [math(a^5+b^5)]는 [math((a^2+b^2)(a^3+b^3)-(ab)^2(a+b))]로 놓고 구하면 되며,[20] [math(a^6+b^6)]은 [math((a^2)^3+(b^2)^3)] 혹은 [math((a^3)^2+(b^3)^2)]로 치환하거나 [math((a^2+b^2)(a^4+b^4)-a^2b^2(a^2+b^2))]로 놓는게 빠르며, [math(a^7+b^7)]는 [math((a^3+b^3)(a^4+b^4)-(ab)^3(a+b))]로 놓고 구하면 되며, [math(a^8+b^8)]은 [math(((a^2)^2)^2+((b^2)^2)^2)]로 치환하는게 빠르다.
삼차방정식의 근과 계수의 관계는 과거와 달리 고등학교에서 다루지 않지만, 다룬다면 세 근의 제곱의 합([math(a^2+b^2+c^2)]) 또는 세 근의 세제곱의 합([math(a^3+b^3+c^3)])을 구하라는 문제를 낼 수 있다. 이때는 세 근의 합([math(a+b+c)]), 세 근의 두 근끼리의 곱의 합([math(ab+bc+ca)]), 세 근의 곱([math(abc)])을 근과 계수의 관계로 구한 뒤 다음 곱셈 공식을 이용하는 것이다.
[math(a^2+b^2+c^2)]의 값은 위의 공식 그대로 세 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근의 곱을 알면 구할 수 있다.
[math(a^3+b^3+c^3)]의 값은 [math(a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+ac+bc)+3abc)]라는 값이 나오며 이 공식을 이용해서 구하는게 빠르다. 세 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근의 곱을 알면 곧바로 구할 수 있다. 이를 응용해서 [math(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))]나 [math((a+b)(a+c)(b+c))] 등 이러한 값도 구할 수 있다.
[math(a^4+b^4+c^4)]의 값은 공식으로 푸는 방법도 있지만 [math(a^2+b^2+c^2)], [math((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)]을 알아내면 더 빨리 구할 수 있다. [math(a^5+b^5+c^5)]은 [math((a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)-((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)(a+b+c)+abc(ab+ac+bc))]를 이용해야 하며, [math(a^6+b^6+c^6)]은 [math((a^3)^2+(b^3)^2+(c^3)^2)]으로 치환하는게 빠르며, [math((ab)^3+(ac)^3+(bc)^3)]은 [math(B^3-3ABC+3C^2)]을 이용해서 대입하는게 빠르며, 그 이상의 것은 [math(a)]는 [math(ab)], [math(b)]는 [math(bc)], [math(c)]는 [math(ca)]라고 놓고 치환할 시 [math(A)]는 [math(B)], [math(B)]는 [math(AC)], [math(C)]는 [math(C^2)]이 된다는 점을 이용하면 [math(a^8+b^8+c^8)] 등 더 어려운 것도 쉽게 구할 수 있다.
사차방정식의 근과 계수의 관계를 이용해서 [math(a^2+b^2+c^2+d^2)]의 값을 구할 수 있다.
[math(a^3+b^3+c^3+d^3)]의 값은 네 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근끼리의 곱의 합을 알면 구할 수 있다.
[math(a^4+b^4+c^4+d^4)]의 값은 공식으로 푸는 방법도 있지만 [math(a^2+b^2+c^2+d^2)], [math((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)]을 알아내면 더 빨리 구할 수 있다. [math(a^5+b^5+c^5+d^5)]도 위의 공식을 이용해야 하며, [math(a^6+b^6+c^6+d^6)]은 [math((a^3)^2+(b^3)^2+(c^3)^2+(d^3)^2)]을 이용한다고 해도 [math((ab)^3+(ac)^3+(ad)^3+(bc)^3+(bd)^3+(cd)^3)]을 알아야 해서 식이 복잡하다.
[math(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5)]이나 이런 것도 엄청 복잡해지지만 구할 수 있긴 하다. 사차항 이상은 문제로 나올 가능성은 거의 없지만 그냥 적어보았다. 깊게 들어가면 미지수의 개수와 항의 차수 대비 팩토리얼과 연관성을 찾을 수도 있다. 예를 들어 [math((a+b+c)^3)]이라 할때 [math(a^3+b^3+c^3)]의 항의 개수는 [math(\dfrac{3!}{3!}=1)], [math(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)]의 항의 개수는 [math(\dfrac{3!}{2!\times 1!}=3)], [math(abc)]의 항의 개수는 [math(\dfrac{3!}{1!\times 1!\times 1!}=6)] 이런 식으로 항의 개수만큼 나눠주면 알아낼 수 있다.
| 식 | [math((a+b)^2)] | [math((a+b)^3)] | [math((a+b)^4)] | ||||
| 항의 종류 | [math(a^2)] | [math(ab)] | [math(a^3)] | [math(a^2b)] | [math(a^4)] | [math(a^3b)] | [math(a^2b^2)] |
| 항의 개수 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 4 | 6 |
| 식 | [math((a+b+c)^2)] | [math((a+b+c)^3)] | [math((a+b+c)^4)] | ||||||
| 항의 종류 | [math(a^2)] | [math(ab)] | [math(a^3)] | [math(a^2b)] | [math(abc)] | [math(a^4)] | [math(a^3b)] | [math(a^2b^2)] | [math(a^2bc)] |
| 항의 개수 | 1 | 2 | 1 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 12 |
| 식 | [math((a+b+c+d)^2)] | [math((a+b+c+d)^3)] | [math((a+b+c+d)^4)] | |||||||
| 항의 종류 | [math(a^2)] | [math(ab)] | [math(a^3)] | [math(a^2b)] | [math(abc)] | [math(a^4)] | [math(a^3b)] | [math(a^2b^2)] | [math(a^2bc)] | [math(abcd)] |
| 항의 개수 | 1 | 2 | 1 | 3 | 6 | 1 | 4 | 6 | 12 | 24 |
| 식 | [math((a+b+c+d+e)^5)] | ||||||
| 항의 종류 | [math(a^5)] | [math(a^4b)] | [math(a^3b^2)] | [math(a^3bc)] | [math(a^2b^2c)] | [math(a^2bcd)] | [math(abcde)] |
| 항의 개수 | 1 | 5 | 10 | 20 | 30 | 60 | 120 |
| 식 | [math((a+b+c+d+e+f)^6)] | ||||||||||
| 항의 종류 | [math(a^6)] | [math(a^5b)] | [math(a^4b^2)] | [math(a^3b^3)] | [math(a^4bc)] | [math(a^3b^2c)] | [math(a^2b^2c^2)] | [math(a^3bcd)] | [math(a^2b^2cd)] | [math(a^2bcde)] | [math(abcdef)] |
| 항의 개수 | 1 | 6 | 15 | 20 | 30 | 60 | 90 | 120 | 180 | 360 | 720 |
[math((a+b+c+\cdots)^n)]이라 할 때 [math(n)]의 차수에 따른 항의 종류의 개수는 다음과 같이 늘어난다.
| 차수 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 항의 종류의 개수 | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 15 | 22 | 30 |
근과 계수의 관계 문서에서 예제를 참고하라.
2.2. 인수분해 공식
곱셈 공식의 좌변과 우변을 바꾼 것이다.예시는 다음과 같다.
- [math(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2)]
- [math(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b))]
- [math(x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b))]
- [math(acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d))]
3. 집합과 확률에서 곱셈 공식
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통계학 Statistics |
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-
조건부 확률
[math(P(A|B) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(B)})]
-
곱셈 공식(확률승법정리)
[math(P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B \cap A) = P(B|A)P(A))]
- [math(A)]와 [math(B)]가 독립시행일 경우 [math(P(A \cup B) = P(A)*P(B))]
-
전체 확률의 법칙
(정의) [math(A_1)], [math(A_2)]는 [math(A)]의 파티션[21]이다.
[math(\begin{aligned} P(B) &= P(B \cap A) \\
&= P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) \end{aligned} )]
-
베이즈 정리
[math(\begin{aligned} P(A_1|B) &= \frac{P(B \cap A_1)}{P(B)} \\
&= \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)} \end{aligned} )]
4. 관련 문서
[1]
특히
복소수의
절댓값(보통 [math(\sqrt{z\overline{z}})]의 형태로 자주 등장한다), 복소
벡터의
내적을 구할 때 필수적이다.
[2]
2018학년도 중학교 신입생부터 적용.
[3]
그 대신
피타고라스 정리가 2학년으로 내려왔다. 다만 무리수를 배우지 않았다는 점을 들어 자연수 범위에서의 피타고라스 수만을 다룬다. 이렇게 한 이유는 중2 나이대에 피타고라스 정리를 배우는 다른 나라들과 달리 무리수와 묶어서 중3 나이대에 배워 국제적으로 학력을 비교 평가할 때 문제가 된다는 이유에서이다. 단, 무리수를 배우지 않았을 뿐 무리수가 있다는 것은 1학년 초반에 짚고 넘어간다. 1학년 끝물에 나오는 원주와 원의 면적, 호의 길이와 면적, 입체도형의 부피에서 주야장천 파이([math(\pi)])를 우려먹기 때문. 뿐만 아니라 파이(원주율)라는 개념은 초등학교 6학년 과정에도 등장하며, 끝이 없다는 내용을 배우기 때문에 사실상 초등학교 때부터 무리수의 개념을 짚고 넘어간다고 볼 수 있다.
[4]
[math((a+b)(a-b))]를 전개하면 [math((a+b)(a-b) = a^2 +\cancel{ab} -\cancel{ab} -b^2 = a^2 - b^2)]이 되기 때문이다.
[5]
[math(-3abc)]를 이항해서 외워도 좋다. 이게 중요한 것이, [math(a+b+c=0)]이라면 [math(3abc=a^3+b^3+c^3)]이 되기 때문이다.
삼차방정식을 푸는 중요한 열쇠 중 하나이다.
[6]
일본 도쿄대 입시문제 중 2006년 문제에 [math(x^3+y^3+z^3=xyz)]를 만족하는 양의 정수쌍이 없음을 증명하라는 문제가 있었는데, [math(x^3+y^3+z^3-3xyz=-2xyz)]로 변형한 뒤 좌변을 곱셈공식으로 인수분해하여 조금 변형하면 쉽게 풀 수 있다. [math(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx))]가 되고, [math((x+y+z) \dfrac12 (2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz) = \dfrac12 (x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\})]이 되므로 반드시 0 이상의 정수가 되어야 함에도, 우변은 [math(x)], [math(y)], [math(z)]가 양의 정수이므로 [math(-2xyz<0)]이 되어야 하기 때문에 모순이라고 보이면 된다.
[7]
위의 식을 변형한 모습이다. 이 형태의 곱셈공식은 주로 [math(a^3+b^3+c^3=3abc)]라는 조건과 함께 나와서 [math(a=b=c)]를 알아내는 데 쓰인다.
[8]
단,
[math(i = sqrt{-1})]이다.
[9]
단,
[math(omega = dfrac{-1+sqrt{3}i}{2})]이다.
[10]
삼차방정식을 푸는 중요한 열쇠가 되며, [math(a^3+(-3bc)a+(b^3+c^3))]으로 치환해서 구할 수 있다.
[11]
사차방정식을 푸는 중요한 열쇠가 되며, [math(a^4+(-2(b^2+c^2+d^2))a^2+(8bcd)a+(b^4+c^4+d^4-2((bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)))]으로 치환해서 구할 수 있다.
[12]
이차항일 때 [math(a+b)], 삼차항일 때 [math(a+b+c)], 사차항일 때 [math(a+b+c+d)], 오차항일 때 [math(a+b+c+d+e)], [math(\cdots)]
[13]
이차항일 때 [math(ab)], 삼차항일 때 [math(ab+ac+bc)], 사차항일 때 [math(ab+ac+ad+bc+bd+cd)], 오차항일 때 [math(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)], [math(\cdots)]
[14]
삼차항일 때 [math(abc)], 사차항일 때 [math(abc+abd+acd+bcd)], 오차항일 때 [math(abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde)], [math(\cdots)]
[15]
사차항일 때 [math(abcd)], 오차항일 때 [math(abcd+abce+abde+acde+bcde)], [math(\cdots)]
[16]
오차항일 때 [math(abcde)], [math(\cdots)]
[17]
미지수가 5개 이상인 경우에도 [math(n)]개의 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합만 알면 구할 수 있다.
[18]
미지수가 5개 이상인 경우에도 [math(n)]개의 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근끼리의 곱의 합만 알면 구할 수 있다.)
[19]
미지수가 5개 이상인 경우에도 [math(n)]개의 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근끼리의 곱의 합, 네 근끼리의 곱의 합만 알면 구할 수 있다.
[20]
[math(a^5+b^5 = A^5-5A^3B+5AB^2)]으로 구하는 방법도 있지만 더 간략한 방법이 있다.
[21]
partition / 서로 상호 배타적이고 합하면 [math(A)]가 나오는 집합