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[[대수학|대수학 Algebra ]]
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1. 개요
factorization / 因 數 分 解어떤 원소를 다른 원소의 곱으로 표현하는 것이다.
대부분 중3 단원에서 곱셈 공식 & 이차방정식과 함께 나온다고 하지만, 사실 초등학교 5학년 시절 나온 통분과 약분부터 이름만 안 알려졌을 뿐 이 때부터 존재가 알려지다가 중학교 1학년 때 분배법칙이 나오면서 일차식의 인수분해를 알게 되다가 중학교 3학년 때 그 이름이 공개된다.
2. 정수 위에서의 인수분해
3. 다항식 위에서의 인수분해
인수분해를 어느 정도까지 해야 하는가에 대해 의문을 품을 수 있는데, 정해진 수의 범위에서 가능할 때까지 최대한 진행하면 된다. 예제 [math(x^4 - x^2 - 2)]를 각 범위에 따라 인수분해하면 다음과 같다.- 유리수 범위: [math((x^2+1)(x^2-2))]
- 실수 범위: [math((x^2+1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2))]
- 복소수 범위: [math((x+i)(x-i)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2))]
엄밀하게는, 인수분해를 하는 수의 범위[1]를 먼저 지정해놓아야 한다. 교과과정의 인수분해 문제에서는 별다른 언급이 없다면 보통 유리수 범위이고, 배우는 단원 특성에 따라서 자연수보다 넓은 범위로도 인수분해한다.
대신 일단 수 집합이 정해졌으면 인수분해를 하는 방법은 거의 유일하게 정해지므로,[2] 어떻게 하든 할 수 있는 데까지 분해했으면 상관없다. '거의'가 붙은 이유는 [math((2x) \cdot y = x \cdot (2y))] 등을 구분할 수 없기 때문으로, 상수 배만큼 인수가 차이나는 것은 사실상 같은 인수분해로 취급한다.[3] 시험 등에서 유일한 답을 요구하고 싶을 때는 [math(x)]의 최고차항의 계수가 1이라던지 하는 조건을 달아주면 된다.
3.1. 기본적인 인수분해
- [math(x^2\pm2xy+y^2 = (x\pm y)^2)]
- [math(x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy)]
- [math(x^2-y^2 = (x+y)(x-y))]
- [math(x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b))]
- [math(acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d))]
- [math(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz = (x+y+z)^2)]
- [math(x^3\pm 3x^2y+3xy^2\pm y^3 = (x\pm y)^3)]
- [math(x^3\pm y^3 = (x\pm y)(x^2\mp xy+y^2))]
- [math(x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = (x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+xz+yz))]
- [math(x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2))]
- [math(x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1))][4]
- [math(x^n-1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\cdots+x-1))] (단, [math(n)]은 짝수)
- [math(x^n+1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\cdots-x+1))] (단, [math(n)]은 홀수)
-
[math(x^4+4ax^3+6a^2x^2+4a^3x+a^4 = (x+a)^4)][5]
(이상 복부호 동순)
- [math(x^4+y^4 = (x+y)^4-4xy(x+y)^2+2x^2y^2)]
- [math(x^4-y^4 = (x-y)(x+y)((x+y)^2-2xy)))]
- [math(x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz = (x+y+z)^3)]
- [math(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+2xyz = (x+y)(x+z)(y+z))]
- [math(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+3xyz = (x+y+z)(xy+xz+yz))]
- [math(x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)^3-3(x+y)(x+z)(y+z))]
- [math(x^2+y^2+z^2+3xy+3xz+3yz = (x+y)(x+z)+(x+y)(y+z)+(x+z)(y+z))]
- [math(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2+2xyz(x+y+z) = (xy+xz+yz)^2)]
- [math((x^2+y^2+z^2)^2+4(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz)(xy+xz+yz) = (x+y+z)^4)]
위처럼 여러 가지 인수분해 공식들이 있다. 간단한 것은 단순히 다항식의 전개식의 양 변을 바꾸어 놓은 것처럼 보이지만, 어디서 갑툭튀했는지 모르는 것들도 가끔 있다. 따라서 하나씩 곱해가면 되는 전개와는 달리, 인수분해는 그때 그때 공식 및 유형을 외워서 문제풀이에 써먹는 것이 정신 건강에 이롭다. 하지만 암기만으로는 한계가 있으니 여러가지 방법[6]을 익혀놓는 것도 중요하다. 인수분해 공식을 증명하기 위해서는 인수분해된 식을 다시 전개해 보면 된다. 고등학교 수학을 배운 사람이라면 다 알듯 인수분해는 고등학교 수학 및 대수학 그 자체에 있어서 없어서는 안 될 존재로, 이것을 배우지 않고 수학을 배운다는 것은 있을 수 없는 일이다.
이름이 비슷한 것으로, 합성수를 소수의 곱으로 고치는 소인수분해가 있다. 인수분해와 방법은 다르지만, 수학적인 의미는 같다고 볼 수 있다. 실제로 인수분해의 대수학적 의의는 소인수분해가 합성수를 소수의 곱으로 고치는 것처럼 다항식을 기약다항식의 곱으로 고치는 것이다. 배수와 약수, 인수분해의 성질이 수나 다항식에서나 똑같이 성립한다는 것은 꽤나 중요한 사실이고, 중등교육에서 암묵적으로 사용되지만 정확히 언급되지는 않는 내용. 실제로 산술의 기본정리와 대수학의 기본정리의 따름정리는 꽤나 닮아있다.
인수분해에 염증을 느끼지만 수학에 흥미를 느끼고 싶은 학생들에게 팁을 몇 가지 주자면, ( 대수학의 기본정리에 의해) 모든 다항식은 복소수 범위 내에서 인수분해를 할 수 있는데, 그래서 진짜로 복소수 범위에서 인수분해를 하면 상당히 흥미로운 결과가 나온다. 당장 저 인수분해 8번 공식이 삼차방정식의 근의 공식 유도에 중요한 역할을 하게 된다.[7][8]
고등학교 1학년에서 미지수가 3개인 이차식, 3차, 4차식의 인수분해 공식이 나온다.
3.1.1. 완전제곱식
perfect square위 문단에서 인수분해 시 [math((x\pm y)^2)], [math((x+y+z)^2)], [math((x \pm y)^3)] 같이 다항식의 거듭제곱 꼴이 되는 식을 완전제곱식이라고 한다.[9] 이는 아래와 같이 벡터의 내적을 이용해 일반화할 수 있다.
완전제곱식은 보통 이차방정식 등에서 해를 구할 때 사용한다. 그리고 그 방정식의 실근이 하나의 중근을 갖는다.
3.2. 조립제법
synthetic division / 組 立 除 法정확하게는 다항식의 나눗셈에서 쓰이는 방법이지만, 인수분해에서도 쓸 수 있다. 특히 인수분해 공식(삼차 이상)을 잊어버렸거나 어떤 공식인지 파악할 수 없을 때 쓰면 유용하다. 단, 식을 0으로 만드는 값을 대입해서 찾아야 한다는 점이 무척 귀찮게 느껴질 수 있다. 또한 나누는 식이 이차식 이상일 때에도 쓸 수 있다.
[math(n)]차 다항식 [math(F(x) = a_0x^n +a_1x^{n-1} +\cdots +a_{n-1}x +a_n)]를 일차식 [math((x-\alpha))]로 나눈다 하자. 제수가 1차식이므로 몫은 [math((n-1))]차식, 나머지는 상수항([math(R)])이 된다. 이를 식으로 나타내면 [math(a_0x^n +a_1x^{n-1} +\cdots +a_{n-1}x +a_n = (x-\alpha)(b_0x^{n-1} +b_1x^{n-2} +\cdots +b_{n-2}x +b_{n-1}) +R)]이다.
이 등식은 항등식이므로, 양변을 전개하여 계수를 비교하여 [math(b_i)]([math(i=0)], [math(1)], [math(\cdots)], [math(n-1)])에 관해 풀면 [math(b_0=a_0)], [math(b_1 = a_1 +b_0\alpha = a_1 +a_0\alpha)], [math(\cdots)], [math(b_{n-1} = a_{n-1} +b_{n-2}\alpha = a_{n-1} +a_{n-2}\alpha +\cdots +a_0\alpha^{n-1})], [math(R = a_n +b_{n-1}\alpha = a_n +a_{n-1}\alpha +\cdots +a_0\alpha^n)]이 된다.
여기서 나머지 [math(R)]을 0으로 만들 수 있다면, 즉 다항식=0의 근을 알고있다면 처음 다항식은 두 인수의 곱으로 나타내어진다. 이후 몫에 관해 한번 더 조립제법을 쓰거나 다른 방법을 계속 써서 인수분해를 끝낼 수 있다. 조립제법을 그림으로 나타내면 아래와 같다.[11]
여기서 문제는 방정식의 근([math(=\alpha)])을 어떻게 찾냐는 것이다. 이에 관해선 다음의 유용한 정리를 이용해 가능한 유리근의 후보를 추릴 수 있다.
유리근 정리(rational root theorem)
정수계수 다항식 [math(f(x) = a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_0)], [math(a_n\neq0)], [math(a_0\neq0)]가 유리수 근 [math(r = p/q)] (단, [math(p\in\Z, q\in\Z, \operatorname{gcd}(p, q) = 1)])을 가지면, [math(q)]는 [math(a_n)]의 약수, [math(p)]는 [math(a_0)]의 약수이다.
증명은 다음과 같다. 식 [math(q^n f(p/q) = a_np^n +a_{n-1}p^{n-1}q +\cdots +a_0q^n = 0)]의 항 중 [math(a_0q^n)]을 제외하면 모두 [math(p)]로 나누어 떨어지므로 [math(a_0q^n)]도 [math(p)]의 배수여야 하는데, [math(p)]와 [math(q)]가 서로소이므로 [math(p \vert a_0)]. 마찬가지로 [math(q \vert a_n)]에 대해서도 비슷하게 진행하면 된다.정수계수 다항식 [math(f(x) = a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_0)], [math(a_n\neq0)], [math(a_0\neq0)]가 유리수 근 [math(r = p/q)] (단, [math(p\in\Z, q\in\Z, \operatorname{gcd}(p, q) = 1)])을 가지면, [math(q)]는 [math(a_n)]의 약수, [math(p)]는 [math(a_0)]의 약수이다.
2009년 한국어 위키백과 에서는 만우절에 어떤 유저가 조립제법을 조립제(...)라는 수학자가 만들었다고 서술했다가 논란이 되었다. 2020년 만우절에도 그러한 반달이 일어났다. 하긴, 비슷한 이름의 조갑제도 있으니 사람 이름처럼 느껴질 법도 하다.
3.2.1. 2차식 이상에 대한 조립제법
다음 그림을 보자.2차식 이상으로 나눌 때에는 (최고차항의 계수가 1일 때) 최고차항을 빼고 나머지 항의 계수를 대각선으로 적는다. 곱해서 위로 올릴 때에도 대각선으로 올린다(파란색 화살표). 더할 때는 한 열의 숫자를 모두 더한다(빨간색 화살표).
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연습문제 [math(x^5-6x^4-x^2-70)]을 [math(x^3+2x+1)]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법으로 구하시오. |
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3.3. 대수학에서의 인수분해 스킬
교과과정에는 소개되지 않지만 다항식에 대한 이해가 깊어질수록 써먹을 수 있는 은근히 다양한 기술들이 있다.-
한 변수에 대한 다항식
특정 변수에 대해 1변수 다항식으로 정리하거나, 꼭 정리하지 않더라도 다양한 사고방식을 활용할 수 있다. 예를 들어 다항식 [math(F(x,y,z))]가 [math(F(x,y,y)=0)]을 만족한다고 하자. [math(z)]에 대한 다항식으로 볼 때 나머지 정리를 적용하면 [math(F)]는 [math(z-y)]를 인수로 가짐을 알 수 있다. [math(x^n-y^n)]에서 첫 번째 인수로 자연스럽게 [math(x-y)]을 떠올릴 수 있는 이유.
-
동차식
모든 변수에 대한 총 차수가 같은 다항식을 동차다항식(homogeneous polynomial)이라 한다. 동차다항식의 인수는 동차다항식만이 가능하다. 예를 들어 [math(x^6 + x^3 y^3 + y^6)]을 인수분해했을 때 [math(x + y^2)] 같은 식이 인수로 들어갈 수 없다는 사실을 바로 알 수 있고, 이걸 잘 쓰면 인수로 가능한 범위를 꽤나 많이 줄일 수 있다.
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대칭식과
교대식
대칭식은 임의의 두 변수를 치환했을 때 불변하는 식(원래의 식과 같아지는 식)으로, 대칭인 다항식인 대칭다항식의 인수는 항상 대칭적으로 나타난다. 즉, 어떤 대칭식이 [math(x+y)]를 인수로 갖는다면 이는 [math(y+z)], [math(z+x)]도 인수로 가져야 한다. 대칭다항식의 기본정리[12]를 사용할 수도 있지만, 이걸 무작정 쓴다면 인수분해가 꼬이는 경우도 있다.
교대식의 정의는 임의의 두 변수를 치환했을 때 식의 부호가 바뀌는 식이다. 3변수 교대식의 경우 [math((x-y)(y-z)(z-x))]를 인수로 갖고, 두 교대식의 비율은 대칭식이기 때문에 모든 교대식은 대칭식과 저 인수의 곱으로 나타난다. 일반적 [math(n))]변수의 경우 모든 [math(x_i-x_j)]들의 곱과 대칭다항식 부분으로 분해가 된다. 예를 들어 [math(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y))]는 동차 교대식이고 따라서 [math((x-y)(y-z)(z-x))]를 인수를 갖고, 남은 부분은 일차 동차인 대칭식이므로 [math(c(x+y+z))] 꼴이다. [math(x^3 y)]의 계수를 비교하면 [math(c=-1)]이므로 [math(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y))=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z))]가 성립한다.
-
정수계수 인수분해
가우스 보조정리(Lemma von Gauß)[13]
정수계수 다항식이 유리계수 다항식 둘로 [math(f=ab)]처럼 인수분해될 때, 적절한 유리수 [math(c)]가 존재해 [math(A=ca)], [math(B(x)=c^{-1}a)]가 정수계수 다항식이 되게 할 수 있다.
즉, 다항식이 유리계수 위에서 인수분해되면 정수계수 위에서 인수분해 가능하고, 이는 심지어 다변수에 대해서도 성립한다. 상술한 유리근 정리의 상당한 일반화로 볼 수 있다. 이 정리의 증명은 현대대수학 수준이라 당연히 교과과정 외이지만, 정수계수만 인수로 생각해도 충분하다는 것을 보장해 주는꼼수안전장치로 받아들이면 괜찮다.
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기약다항식 판정법
교과과정에서는 웬만하면 풀리는 인수분해를 내주지만, 보다 고급 과정에선 인수분해가 더 이상 불가능함을 증명하라는 상황이 등장하기도 한다. 인수분해가 불가능한 다항식을 기약 다항식(irreducible polynomial)이라 하는데, 정수론에 어느 정도 지식이 있으면 이 기약다항식 판정에 막무가내 미정계수법으로 인수분해의 불가능성을 보이는 것보다 세련된 방법을 몇 가지 동원할 수 있다. 그 중 대표적인 것으로 아이젠슈타인 판별법이 있다.
아이젠슈타인 판별법(Eisensteinkriterium)
정수계수 다항식 [math(a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_1x +a_0)]의 계수들이 소수 [math(p)]에 대해 다음 세 조건 [math(p\nmid a_n)], [math(p\vert a_i)] ([math(i=0)], [math(1)], [math(2)], [math(\cdots)], [math(n-1)]), [math(p^2\nmid a_0)]을 만족시키면, 그 다항식은 기약다항식이다.
예를 들어서 다항식 [math(x^{2222} +2x^{2220} +4x^{2218} +6x^{2216} +\cdots +2218x^4 +2220x^2 +2222)]는 [math(p=2)]에 대해 이 판별법을 만족시키므로 기약이다. 꼭 원래 다항식이 이걸 만족시키지 않더라도, [math(f(k))]가 소수가 되는 정수 [math(k)]를 찾을 수 있으면 아이젠슈타인 판별법을 [math(f(x+k))]에 대해 시도해볼 만하다. 예를 들어 소수 [math(p)]에 대해 다항식 [math(x^{p-1} +x^{p-2} +\cdots +1)]은 [math(x = y+1)]을 대입하면 아이젠슈타인 판별법으로 기약임을 보일 수 있다.[14]
한편, 원래 다항식이 인수분해가 된다면, 합동식을 적용해서 소수 법(mod)으로 보았을 때도 인수분해가 되어야 한다. 따라서 합동식을 썼을 때 그 법 위에서 기약이 되는 소수를 찾거나, 아니면 2개 이상의 소수 법에 대한 인수분해 결과를 대조해서 모순을 이끌어내는 테크닉도 사용이 가능하다.
4. 여담
누군가, 또는 무언가를 제거하는 것을 인수분해라고 표현하기도 한다. 디시인사이드에서 아햏햏이 유행하던 시절부터 홍성대와 엮여서 나왔던 오래된 말장난이다. 예시를 몇 개 들자면 팀 포트리스 2의 스카웃의 커스텀 서버 언락 무기 중 'Atomizer'의 번역명이 '인수분해'[15]이고, 신세계에서도 나왔다.고등학교 입학하면 인수분해를 또 배울 건데, 중학교 때 배운 삼각형의 성질과 피타고라스의 정리를 엮어서도 많이 나온다.
곱셈 공식과 더불어 수포자가 본격적으로 속출하는 구간으로도 알려졌다.
5. 관련 문서
[1]
더 엄밀히는
이데알(ideal)
[2]
이들의 모둠이
유일인수분해환이다.
[3]
대학 수학 레벨로 넘어가면 이는 모두
체 위에서의 다항식의 인수분해 이야기로 일반화된다. 다만, 정수 위에서의 인수분해 등에서는 상수배를 무시하면 안되고, 외려 별도의 인수로 취급해 주어야 한다. 기본적으로 UFD(
유일인수분해환) 위에서의 기약분해인데 체가 아니면 상수항이 더 이상 단위원이 아니기 때문.
[4]
[math(x-1)]을 좌변으로 이항해서 공비가 [math(x)]인 등비수열의 총합을 유도할 수 있다.
[5]
고등학교 과정에서 중근이 가장 많이 나오는 개형이며, 이와 같은 경우 완전제곱식 꼴의
이차함수와 같이 [math((-a, 0))]을 지나며 기울기에만 변화가 생길 뿐이다. 자세한 정보는
사차함수 문서 참고.
[6]
X자,
조립제법, 더하고 빼기 등
[7]
사실, 저거랑 2차방정식의 근의 공식, 2차식을 없애는 치환만 있으면 일반적인 삼차방정식의 근의 공식을 유도할 수 있다! [math(y)], [math(z)]를 상수로 생각하면 몇 분 고생한 후 답을 알 수 있게 된다. 그 외에도 6번 공식도 삼차방정식의 근의 공식의 유도에 쓸 수 있다.
[8]
밑에 있는 대칭식, 교대식과 이 사실을 비교해보면 대칭이라는 성질이 조금 느껴질 것이다. 이 성질이 고급
대수학에서 핵심적인 역할을 하며 그때는 인수분해를 다른 눈으로 볼 수 있게 된다.
[9]
완전제곱식이란 명칭은 곱셈 공식 단원에서부터 쓰이긴 하지만 눈에 뜨일 정도로 흔하진 않고, 이차방정식 단원부턴 제대로 쓰인다.
[10]
흔히 생각하는 완전제곱식은 [math(n=1)]이고 [math(m, \operatorname{dim}{\bf x}, \operatorname{dim}{\bf a} \in \{2, 3\})]인 경우이다. [math(\overline{\bf x})]는 [math(\bf x)]의
켤레이다(내적이
반쌍형 연산자이므로 켤레를 취함).
[11]
아래 그림은 [math(x^3+x-2)]에 대해 조립제법을 쓴 경우.
[12]
모든 대칭식을 기본 대칭다항식의 다항식으로 유일하게 나타낼 수 있다는 정리. 3변수일 경우 기본 대칭다항식은 [math(x+y+z)], [math(xy+yz+zx)], [math(xyz)] 이렇게 주어진다.
[13]
학부 대수학 과정에서는 정수계수에 국한되지 않은 좀 더 일반적인 서술로 변경된다.
[14]
해당 다항식은 소수 [math(p)]에 대한 원분다항식([math(\Phi_p(x))])이며, 각주 앞에서 소수 [math(p)]에 대해서 이런 다항식이 기약이라 했으므로 따라서 모든 소수 [math(p)]에 대해서 [math(\Phi_p(x))]은 기약다항식이다.
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여기 맞아죽으면 적 캐릭터가 원자 단위로 분해되어 시체도 못 남기고 증발해버린다.