프레네 방정식

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1. 개요2. T,N,B 틀3. 법선 방정식4. 역사5. 관련 문서

1. 개요

TNB 프레임(TNB frame) [1] 또는 프레네-세레 틀(Frenet-Serret frame) 또는 프레네-세레 공식(Frenet-Serret formula)이라고도 잘 알려진 세레-프레네 방정식(Serret-Frenet equations) 은 [math(x,y,z)]좌표계에서 벡터들 [math(T,N,B)]를 추가적으로 사용하여 3차원 공간에서 물리량의 이동을 계량화 하는데 그목적이 있다.[2][3][4]
따라서 TNB 프레임(TNB frame)은 3차원 좌표계를 기준으로 상대적인 대상이 갖게 되는 오브젝트(object) 3차원 좌표계 장치라고도 볼수있다.

2. T,N,B 틀

3차원 공간에서는 곡률의 수치만으로는 곡선(curve)이 어느 방향으로 휘는지(계속해서 이동하는지) 결정하는 것이 불분명하기 때문에, 방향의 기준을 잡아줄 좌표계에 추가적으로 또 다른 변수가 필요하게 된다. 곡선이 길이 변수 [math(s)]에 대해 매개화되었고, 곡률이 [math(0)]이 아니라고 하자. 이 때, 다음의 세 벡터 [math(\mathbf{T}(s))], [math(\mathbf{N}(s))], [math(\mathbf{B}(s))]로 이루어진 국소 직교좌표를 프레네 프레임(Frenet frame 또는 TNB 틀)이라 부른다.

단위접선벡터(unit tangent vector): [math(\mathbf{T}(s) = {T})]
단위법선벡터(unit normal vector): [math(\mathbf{N}(s)={N} )]
종법선벡터 또는 이중법선벡터(binormal vector): [math(\mathbf{B}(s) = {B} )]

(x,y,z)로부터 (T,N,B)은 [math( T \times N = B )]를 정의할수있다. [5]
T의 미분 [math( T' )]의 물리량을 곡률(curvature) [math(\kappa)]로 정의하면
T의 기울기는 진행방향으로 N에서 곡률(curvature) [math(\kappa)]만큼 휘어지는 [math( T' = \kappa N )]를 정의할수있다.
이어서 변수 [math(\tau)]를 열률[6](뒤틀림, torsion)의 물리량으로 정의하고
N에서 열률(torsion) [math(\tau )]만큼 뒤틀려지는 B의 미분 [math( B' = -\tau N )]을 정의할수있다.
따라서
N의 미분 [math( N' )]은 [math( N' = \tau B -kT )] 으로 정의된다.
이를 (T,N,B)과 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)[7]에서 직교행렬의 행렬표현으로 분해해 보면
[math( \begin{pmatrix} T' \\ N' \\ B' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \kappa N \\ -\kappa T+\tau B \\ -\tau N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T \\ N \\ B \end{pmatrix} )]
이다.

3. 법선 방정식

법선(normal line)은 2차원(2D) 평면에서 곡선 위의 한 점을 지나고, 이 점에서의 곡선에 대한 접선에 수직이 되는 직선을 가리키는 용어이다. 3차원(3D) 공간에서는 이러한 접선에 수직이 되는 직선인 법선이 하나가 더 있게 된다. 이를 종법선(이중법선)이라고 한다. 이러한 법선 방정식은 접선 방정식(tangent line equation), 접평면의 방정식(tangent plane equation)과 내적(inner product) 그리고 외적과 상관관계가 있다.

4. 역사

1850년대를 전후하는 시기에 이 공식을 발표한 장 프레데릭 프레네(Jean Frédéric Frenet)[8][9]와 역시 동시대에 프레네(Frenet)와는 별개로 이를 독자적으로 연구 및 발표한 조제프 알프레드 세레(Joseph Alfred Serret)[10][11]의 이름에서 명명됐다.

5. 관련 문서

[1] Vector Calculus, Michael Corral (Schoolcraft College) PDF LastEedition 2022(original 2008) GNU GFDL, (P62) CHAPTER 1. VECTORS IN EUCLIDEAN SPACE , moving frame field https://www.mecmath.net/ [2] UCLA (Math 120A Discussion Session , 2018) Frenet-Serret equations https://www.math.ucla.edu/~archristian/teaching/120a-f18/week-2.pdf [3] (PlanetMath.org)Serret-Frenet equations https://planetmath.org/serretfrenetequations [4] MIT Frenet-Serret formula https://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node25.html [5] \[Paul's Online Notes\] Calculus III , Section 1-8 : Tangent, Normal and Binormal Vectors https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/TangentNormalVectors.aspx [6] 捩率 [7] 정사각행렬 [math(A)]에 전치를 취하면 [math(A^T=-A)]라는 관계식을 만족하는 행렬을 의미한다. 그 특징상 대각성분은 모두 0이며, 대칭성분은 서로 부호가 다르게 된다. 대칭행렬과의 차이점이라면 대칭행렬은 [math(A^T=A)]로 부호가 다르며, 그 차이로 인해 대각성분이 0일 필요가 없는 것. 이게 복소수 범위로 확장되면 전치에 추가로 켤레를 취하며, 에르미트 행렬이라고 부른다. [8] Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal à l'usage des candidats à l'École polytechnique et à l'École normale, des élèves de ces écoles, et des aspirants à la licence es sciences mathématiques , Jean Frédéric Frenet, 1904 (6th edition) French (Publisher) Paris, Gauthier-Villars https://archive.org/details/recueildexercic02frengoog/page/n6/mode/2up [9] Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal , Jean Frédéric Frenet, 1856 French https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206322d.image [10] “Mémoire sur les surfaces orthogonales,” 12 (1847), 241–254 http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1847_1_12_A19_0.pdf [11] “Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure,” 16 (1851), 193–207 http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A12_0.pdf