멱등행렬

선형대수학 Linear Algebra
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1. 개요2. 정의3. 예시4. 대각화5. 사영과의 관계6. 성질

1. 개요

멱등행렬( 冪等行列, Idempotent matrix)이란 제곱했을 때 자기자신이 되는 행렬을 뜻한다. 여기서 '멱'(冪)이란 '거듭제곱'이라는 뜻으로, '멱급수'의 '멱'과 같다.

2. 정의

[math(E^2=E)]를 만족하는 [math(n)]차 정사각행렬 [math(E)]를 멱등행렬이라 한다.

3. 예시

[math(n)]차 정사각행렬의 영행렬 [math(O_{n})]과 단위행렬 [math(I_{n})]은 멱등행렬이다.
[math(J_{n})]을 모든 성분이 1인 [math(n)]차 정사각행렬 (Matrix of ones)이라 할때, [math(\frac{1}{n}J_{n})]은 멱등행렬이다.

사영행렬 [math(A(A^{T}A)^{-1}A^{T})]은 멱등행렬이다.

4. 대각화

멱등행렬은 대각화 가능한 행렬이다. [math(f(x)=x^2-x)]가 [math(E )]의 소멸다항식[1]이므로, [math(E)]의 최소다항식[2]은 [math(x^2-x=x(x-1))]의 약수이다. 그런데, 그러한 다항식은 [math(x)], [math(x-1)], [math(x(x-1))]밖에 없고, 모두 서로 다른 1차다항식의 곱꼴이므로, 대각화 가능하다. 또한 최소다항식의 근이 0이거나 1일 수밖에 없으므로 고유값은 0이거나 1이다. 대각합은 닮음불변량이므로, 1의 중복도는 [math(\text{tr}E )]와 같고, 0의 중복도는 [math(n-\text{tr}E)]와 같음을 쉽게 알수있다. 또한 [math(E)]의 각 열벡터는 1에 대응하는 고유벡터이다. 왜냐하면, [math(E_{i})]를 [math(E)]의 [math(i)]열이라 했을 때,
[math(E^{2}=E \iff E(E_{1},E_{2},\cdots,E_{n})=(E_{1},E_{2},\cdots,E_{n}))]
이 성립하여, [math(EE_{i}=E_{i})]를 만족하기 때문이다. 따라서, 열공간이 1에 대응하는 고유공간이다. 한편, [math(\text{Rank}(E)\neq n)][3]이면 영공간이 0에 대응하는 고유공간이므로, 차원 정리에 의해서도 대각화가능함을 알 수 있다. 위를 정리하면 아래와 같다.

고유 다항식 : [math(x^{n-\text{tr}E}(x-1)^{\text{tr}E})]
최소 다항식 : [math(x)][4] 또는 [math(x-1)][5] 또는 [math(x(x-1))]
고윳값 : 1 [6]또는 0[7]
고유공간

대각화: [math(I)]와 [math(O)]는 이미 대각행렬이다. 그 외의 경우도 항상 대각화 가능하며, 대각화 시

[8]

5. 사영과의 관계

멱등행렬은 유한차원 벡터공간의 임의의 벡터를 어떤 부분공간 위로 사영시키는 선형 변환의 행렬표현(matrix representation)이다. 유한차원 벡터공간에서 직교정사영의 정규 직교 기저에 대한 행렬표현은 영공간이 열공간의 직교여공간이다. 즉, 직교대각화 가능한 멱등행렬이며, 특히 성분이 모두 실수일 경우, 멱등행렬인 동시에 대칭행렬이다.

6. 성질

[math(E^2=E)]가 성립하고 [math(E^n=E)]이면 [math(E^{n+1}=E^nE=E^2=E)]이므로, 수학적 귀납법에 의하여 1 이상의 모든 자연수 n에 대하여 [math(E^n=E)]가 성립한다.
임의의 대각화 가능한 행렬 [math(D)]에 대하여, 고유값이 [math(c_{1},\cdots,c_{k})]일 때, 다음 조건

[math(D=c_{1}E_{1}+\cdots +c_{k}E_{k})]
[math(I=E_{1}+\cdots+E_{k})]
[math(E_{i}E_{j}=O)] for [math( i\neq j)]

또한 임의의 다항식 [math(p)]에 대하여,
[math(p(D)=p(c_{1})E_{1}+\cdots+p(c_{k})E_{k})]
가 성립하며, 특히 라그랑주 다항식 [math(p_{i}=\displaystyle\prod_{j\neq i} \frac{x-c_{j}}{c_{i}-c_{j}})]에 대하여, [math(p_{i}(D)=E_{i})]가 성립한다.
단위행렬 [math(I)]에 대해 [math(I-E)] 역시 멱영행렬이다.

증명 : [math((I-E)^2 = I^2-2E+E^2 = (I^2)+(-2E+E) = I-E)]

임의의 실수 [math(a)]와 단위행렬 [math(I)]에 대해 [math(E^2-E+aI=aI)]가 성립하므로 다음과 같다. 여기서는 [math(-10\leq a\leq \displaystyle\frac{1}{4})]이며 [math(a)]가 정수 또는 이 범위의 양 끝값 중 하나인 경우만 다룬다.

[math(a=-6)]일 때, [math(E^2-E-6I=(E+2I)(E-3I)=-6I)], 즉 [math(\displaystyle-\frac{1}{6}(E+2I)(E-3I)=I)]이므로 [math((2I+E)^{-1}=\displaystyle\frac{1}{2}I-\displaystyle\frac{1}{6}E)]이다.
[math(a=-2)]일 때, [math(E^2-E-2I=(E+I)(E-2I)=-2I)], 즉 [math(\displaystyle-\frac{1}{2}(E+I)(E-2I)=I)]이므로 [math((I+E)^{-1}=I-\displaystyle\frac{1}{2}E)]이다.
[math(a=\displaystyle\frac{1}{4})]일 때, [math(E^2-E+\displaystyle\frac{1}{4}I=\displaystyle\frac{1}{4}I)], 즉 [math(4E^2-4E+I=(2E-I)^2=I)]가 성립하므로 [math((2E-I)^{-1}=2E-I)]이다.

주대각선의 모든 원소가 0 또는 1이고 나머지 원소가 모두 0인 n차 정사각행렬 [math(A)]은 멱등행렬이다.
증명:
[math(A=\begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
일 때,
[math(A^2=\begin{pmatrix}a_{11}^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^2\end{pmatrix})]
이고, 이때 주대각선의 원소 [math(a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn})]가 모두 0 또는 1이면 [math(a_{11}=a_{11}^2, ..., a_{nn}=a_{nn}^2)]이므로 결론적으로 [math(A=A^2)]가 성립한다.
이 행렬 [math(A)]에 대해서 역행렬이 존재하는 임의의 n차 정사각행렬 [math(X)]에 대해 [math(XAX^{-1}, X^{-1}AX)] 역시 멱등행렬이다. 사실 모든 멱등행렬 [math(A)]에 대해 성립한다.

증명1: [math((XAX^{-1})^2=XAX^{-1}XAX^{-1}=XAAX^{-1}=XA^2X^{-1}=XAX^{-1})]
증명2: [math((X^{-1}AX)^2=X^{-1}AXX^{-1}AX=X^{-1}AAX=X^{-1}A^2X=X^{-1}AX)]

[math(X\sim N_m(0,\,1))]이고 [math(A)]가 멱등행렬이면, [math(X^TAX\sim\chi^2({\rm rank}(A)))]이다.

[1] 대입했을 때 0이 되는 다항식 [2] 소멸다항식 중 최고차항의 계수가 1이고 차수가 가장 낮은 다항식 [3] n은 정사각행렬 [math(E)]의 크기 [4] E=O일 때 [5] E=I일 때 [6] 0행렬이 아닐때 [7] 단위행렬이 아닐 때 [8] 비워둔 곳은 당연히 0이다.