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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 정의
체 [math(F)]에 대해, [math(n)]차 정사각행렬 [math(A)], [math(B)]가 닮음(similar), 또는 상사(相似)[1]라는 것은 [math(P\in \text{GL}_{n}\left(F\right))]가 존재하여, [math(A=PBP^{-1})]임을 말한다. 이 경우, [math(A\sim B)]라 표현한다.2. 의미
[math(P\in \text{GL}_{n}\left(F\right))]는 [math(F^{n})]의 기저 변환이다. 벡터공간 내의 같은 벡터라도 기저를 어떻게 잡느냐에 따라 해당 벡터를 표현하는 좌표가 달라지는데,[2] 이 때문에 같은 선형사상을 표현하는 행렬이라도 기준이 되는 기저가 무엇이냐에 따라 서로 다른 행렬이 될 수 있다. 이러한 두 행렬을 묶어 주는 관계가 바로 닮음이다. 다시 말해, [math(A)], [math(B)]가 나타내는 선형사상은 대응되는 기저만 다를 뿐 같은 사상이라는 것이다.3. 닮음불변량
닮음불변량이란, 닮음 관계에 있는 행렬들이 서로 같은 값을 갖는 것을 의미하며, 다음과 같은 것들이 있다.일반적으로, 행렬의 어떤 함수 [math( f )]에 대해 [math( f(AB) = f(BA))]를 만족하기만 하면 [math( f )]이 닮음불변량임은 쉽게 알 수 있다. 대각합 함수 [math( \mathrm{tr} )] 또한 [math( \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA) )]이므로 닮음불변량이다.
4. 활용
4.1. 거듭제곱
만약 대각행렬[6] [math(D)]가 존재하여 [math(A=PDP^{-1})]라 하자. 그러면 [math( A^{k}=PD^{k}P^{-1})]이고, [math(D^{k})]를 계산하는 것은 [math(A^{k})]를 직접 계산하는 것에 비해 아주 쉽다.[7]그리고 이것이 대각화의 기본 목적이다. 그러나 대각화가 항상 가능한 것은 아닌데, 그럴지라도 "충분히 간단한"[8] [math(B)]에 대해, [math(A=PBP^{-1})]가 성립한다면 그것만으로도 족할 것이다. 이것을 극한까지 밀어붙인 것이 조르당 분해이다.4.2. 선형 변환의 분해
선형 변환이, 서로 영향을 끼치지 않는 공간들로 분해될 수 있는 것인가는 아주 자연스러운 질문이다.[9] 또, 거듭제곱의 편의성도 이 질문의 하위 질문으로 이해될 수 있다. 그리고 이것에 대한 답변들로, cyclic decomposition, primary decomposition 등이 있다. primary decomposition는 계산의 편의성과는 거리가 먼 분해이다.5. 같이 보기
[1]
행렬 A와 B가 서로 비슷하다는 뉘앙스이다.
[2]
예를 들어, [math(R^{3})]에서 표준 기저를 기준으로 (1, 2, 3)으로 표현되는 벡터는 기저 [math({(1,2,3), (4,5,6), (7,8,0)})]에서는 (1, 0, 0)이라는 다른 좌표로 표현된다.
[3]
기하적 중복도와 대수적 중복도 모두 닮음불변량이다.
[4]
행렬식 함수는 곱셈적 함수라는걸 염두에 두면 된다.
즉 [math(PAP^{-1}=B)]라면, [math(\displaystyle \det{B}=\det{PAP^{-1}}=\det{P}\times\det{A}\times\det{P^{-1}}=\det{P}\times\det{A}\times\frac{1}{\det{P}}=\cancel{\det{P}}\times\det{A}\times\frac{1}{\cancel{\det{P}}})]
따라서 [math(\det{A}=\det{B})]가 되기 때문에 자명하게 유도된다. [5] 당연히 고윳값의 중복도와 고윳값이 같고, 계수가 같기 때문에, 해당 고윳값으로 계산되는 고유공간의 차원 역시 동일하다. [6] 주대각선 밖의 원소가 모두 [math(0)]인 행렬 [7] [math(D)]가 [math(n\times n)] 형태의 대각행렬일 때, [math(\displaystyle D={\sum_{m=1}^n}l_m e_{mm})]이라고 하면 [math(D^k)]는 [math(D^k=\displaystyle{\sum_{m=1}^{n}}{l_m}^k e_{mm})]이 된다. 즉, 대각행렬의 n차 거듭제곱은 각 성분만 n제곱하면 되는 것.
※[math(e_{kl})]은 [math(k)]행 [math(l)]열만 1이고 그 외의 성분이 0인 특수한 행렬을 의미한다. 즉 [math(e_{mm})]은 m행 m열의 원소만 1이고 그 외의 원소가 모조리 0인 행렬을 의미한다. [8] [math(B=\bigoplus B_{i})]로 표현된다면, [math(B^{k}=\bigoplus B_{i}^{k})]이기 때문에 더욱 좋을 것이다. 그리고 대각행렬이 근본적으로, [math(D=\bigoplus d_{i})]이다. [9] [math(V=\bigoplus W_{i})]라면, 선형 변환 [math(T)]는 [math(T=\bigoplus \left.T\right|_{W_{i}})]으로 표현될 것이다.
즉 [math(PAP^{-1}=B)]라면, [math(\displaystyle \det{B}=\det{PAP^{-1}}=\det{P}\times\det{A}\times\det{P^{-1}}=\det{P}\times\det{A}\times\frac{1}{\det{P}}=\cancel{\det{P}}\times\det{A}\times\frac{1}{\cancel{\det{P}}})]
따라서 [math(\det{A}=\det{B})]가 되기 때문에 자명하게 유도된다. [5] 당연히 고윳값의 중복도와 고윳값이 같고, 계수가 같기 때문에, 해당 고윳값으로 계산되는 고유공간의 차원 역시 동일하다. [6] 주대각선 밖의 원소가 모두 [math(0)]인 행렬 [7] [math(D)]가 [math(n\times n)] 형태의 대각행렬일 때, [math(\displaystyle D={\sum_{m=1}^n}l_m e_{mm})]이라고 하면 [math(D^k)]는 [math(D^k=\displaystyle{\sum_{m=1}^{n}}{l_m}^k e_{mm})]이 된다. 즉, 대각행렬의 n차 거듭제곱은 각 성분만 n제곱하면 되는 것.
※[math(e_{kl})]은 [math(k)]행 [math(l)]열만 1이고 그 외의 성분이 0인 특수한 행렬을 의미한다. 즉 [math(e_{mm})]은 m행 m열의 원소만 1이고 그 외의 원소가 모조리 0인 행렬을 의미한다. [8] [math(B=\bigoplus B_{i})]로 표현된다면, [math(B^{k}=\bigoplus B_{i}^{k})]이기 때문에 더욱 좋을 것이다. 그리고 대각행렬이 근본적으로, [math(D=\bigoplus d_{i})]이다. [9] [math(V=\bigoplus W_{i})]라면, 선형 변환 [math(T)]는 [math(T=\bigoplus \left.T\right|_{W_{i}})]으로 표현될 것이다.