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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
論 證 幾 何 學 / Synthetic(axiomatic) geometry[1]해석기하학과는 다르게 좌표계를 이용하지 않고 순수한 기하적 공리(공준)만을 이용해서 도형에 관한 공식을 증명해 나가는 기하학을 뜻한다. 예로 중학교 과정에서 배우는 합동, 닮음, 원의 성질 등의 내용이 논증기하학의 내용이다. 유클리드의 원론에서 파생되어 나온 유클리드 기하학과 비슷한 뜻으로 쓰이는 경우가 많지만, 논증기하학을 좀 넓게 보면 길이나 삼각비 등등의 수치적인 계산을 포함시키기도 하고, 이렇게 보면 해석기하학을 창시한 데카르트 이전의 모든 기하학은 논증기하학이라 볼 수 있다. '유클리드 기하학'을 '해석기하학을 포함한 유클리드 공간에 대한 연구'라는 의미로 사용하는 경우도 있다.
과거 고대 그리스부터 시작된 유구한 전통을 가지고 있는 학문이지만, 현재는 죽은 분야나 다름없다. 논증 기하학적 방법으로 증명할 수 있는 모든 것들은 그냥 도형을 좌표 위에 올려 버리면 이론적으로는 전부 다 증명할 수 있기 때문.[2] 다만 의외로 논증기하학의 발전이 해석기하학 한참 이후인 19세기 중엽까지 이어진 걸 보아서는, 비유클리드 기하학이 나오면서 기하학이 유클리드 공간을 벗어난 게 더욱 결정적이었을 것이다. 하여튼 현대수학에서 논증기하학을 언급하는 것은 사실상 무의미해졌다. 물론 역사적인 의미로 보면 당장에 유클리드의 제5공준이 비유클리드 기하학의 발생동기가 되었고, 사영기하학 등의 세부분야가 고전 대수기하학의 정립에 미친 영향이나 힐베르트의 23개 공리체계 등 지금도 현대수학에 남아있는 수많은 논증기하의 유산들이 있지만, 그나마도 관련 분야 전공자가 아니면 체감하긴 힘든 부분이다. 사실상 현대의 논증기하는 중등 교육과정을 제외하면 취미 수학 또는 수학 경시대회에서 가장 자주 나올 것이다.
2. 내용
좁게 보면 유클리드 작도를 다루는 원론의 내용들부터, 넓게 보면 평면에 대한 기하학 대부분의 ( 미분기하학에서 다루는 곡선 얘기는 제외) 내용이 들어간다. 교과과정에 나오는 합동, 닮음, 삼각형의 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심), 원의 성질( 원주각, 방멱(원의 비례 관계)) 등등은 비교적 기초적인 편이고, 기타 수많은 이름붙은 원과 선, (특히 삼각형에 대한) 정리들이 있다. 여기 나무위키에선 기하학 문서, 오심과 관련된 정리나 '분류:삼각형'의 정리들에 꽤나 많은 서술이 있지만, 더 파고들면 이것들도 빙산의 일각에 불과하다고 한다.의외로 주요했던 분야로 사영기하학(projective geometry)이 있는데, 엄밀히 말하면 별도의 개념이 맞지만 그 출발은 논증기하학이었으니 많은 사영기하학의 내용이 논증기하학에 들어가기도 한다.[3] 다만 현대수학에 미친 영향과는 다르게 지금 이 분야 자체를 배우는 건 커리큘럼도 없고 거의 불가능하다. 파스칼 정리나 데자르그 정리 등에서 사영기하의 편린을 엿볼 수 있다.
3. 교육과정에서
한국에서는 중학교 과정 기하학의 내용이 모두 논증 기하학이다. 해석기하학이 고등학교 수학에 나오는 만큼 일종의 예비 과정이라 생각할 수 있다. 내용뿐만이 아니라 수학적 증명의 사고에 익숙해지는 교육적 효과도 의도한 것이겠지만, 웬만한 직관력이나 수학적 감각이 뒷받침이 되지 않으면 보조선을 그려서 정리를 증명, 추론하는 과정을 유추하기가 그렇게 쉬운 편이 아니기 때문에 기피하는 면이 훨씬 크다.[4] 결정적으로 평면이 아닌 곳에서는 논증기하의 공리들이 모두 무용지물이 된다는 것이다.고등학교 1학년 때 고등수학 상(上)에서 처음으로 해석 기하학을 배우게 되는데, 학생들은 마치 보조선으로부터 해방된 듯한 쾌감(...)을 맛본다고 카더라.[5] 참고로 중2 2학기 피타고라스 정리와 중3 2학기 삼각비에서 약간 해석 기하학의 맛을 볼 수 있다. 피타고라스 정리, 삼각비 자체는 논증기하학이지만 이 둘이 해석기하학의 기반이 되기 때문. 그리고 논증 기하학의 요소가 기하에서 공간도형 파트때 다시 나오기는 한다. 그리고 논증 기하학과의 인연은 대부분 거기서 완전히 끝나며, 설령 수학을 전공하더라도 논증기하를 다시 만날 일은 거의 없다. 대신에 만약 수학 경시대회를 하게 된다면 논증기하는 4대 주요 출제과목 중 하나이므로 수학 전공자들도 잘 모르는 공부를 끝없이 하게 될 것이다. 그리고 상술했다시피 중학교 과정의 기하학 파트는 모두 논증 기하학인 만큼, 수학교사가 되고자 하는 경우라면 논증 기하학도 당연히 공부해야 한다.
4. 기타
- Euclidea: 논증 기하학을 이용한 퍼즐게임.
[1]
각각 합성 기하학, 종합 기하학, 공리주의 기하학 등으로 번역되는 경우도 있고 약간의 뉘앙스 차이는 있지만, 가장 근접한 개념으로 사용된다.
[2]
근데 이것도 마냥 자명한 사실은 아니고 증명은 20세기 와서야 이루어졌고, 이 문제에 대한 고찰이
대수학의 분야를 탄생시키기도 했다. 일단 논증기하학의 공리와 무정의용어를 해석기하로 정의/증명할 수 있기 때문에 논증기하학은 무모순하고 논증기하학의 정리를 해석기하학으로 유도하는게 가능하다. 반대로 논증기하학으로 해석기하학을 유도할 수 있으므로 둘은 동치이다. 그리고 해석기하학으로 잘 정의된 명제는
불완전성 정리에 해당하는 명제가 아닌 이상 실수의 성질로 유도할 수 있어야 한다.
[3]
초창기 이후의 사영기하학은 사영 좌표(projective coordinate) 등등
해석기하학의 요소가 상당히 포함되었다. 근대적인 관점(에를랑겐 프로그램)에서 보면 사영기하학의 초점은 유클리드 공간의 합동변환이 아닌 사영변환에 맞추어져 있으니 아예 별도의 기하학으로 생각될 수 있다.
[4]
어느 정도냐면, 그 유명한
르네 데카르트도 이 보조선에 환멸이 나서 논증기하학 때려치고 대수학에 관심을 갖게 되었다. 이후 대수학을 기하학에 접목시키면서 만든 것이 다름아닌
해석기하학.
[5]
물론 이는 사람마다 케바케가 있기 때문에 논증기하가 잘 맞았던 학생이라면 해석기하를 접하면서 역으로
멘붕을 경험하는 경우도 적잖이 있다. 특히 해석기하는 논증기하보다 계산량이 압도적으로 많아 계산을 싫어하는 학생들이 해석기하를 싫어하게 되는 경우가 많다. 논증기하에서는 단순하고 명료하게 시각적으로 표현되는 간단한 교점의 좌표나 수직이등분선의 식을 구할 때에도 연립방정식이나 이차방정식을 몇 번씩 풀어야 하는 경우가 다반사이다. 다만 좌표라는 것 자체가 매우 강력한 도구이기 때문에 계산량은 생각하지 않고 순수히 문제를 푸는 과정 자체를 논하면 논증기하 쪽이 훨씬 복잡하긴 하다.