최근 수정 시각 : 2024-07-08 17:52:59
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部
分
積
分 / integration by parts
부분적분이란, 두 함수의 곱으로 정의된 함수를
적분하는 기법이다.
미분가능한 연속
함수 [math(f(x))], [math(g(x))]에 대해서 다음과 같이
부정적분,
정적분할 수 있다. 이때 [math(f(x))], [math(g(x))]의
도함수도 각각 연속이어야 한다.
곱의 미분법에서 도출된 공식이다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \\ \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x&=\biggl[ f(x)g(x) \biggr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned} )]
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곱의 미분법에 따라 다음이 성립한다.
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[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]=f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}g(x) )]
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양변을 적분하면 다음과 같다.
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[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )]
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그런데, 좌변은
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[math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x) ]\,\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}[f(x)g(x) ]=f(x)g(x) )]
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이므로 결국 다음 결과를 얻을 수 있다.
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[math(\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}g(x)\,\mathrm{d}x )]
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위의 결과에서 이항을 하고 [math({\rm d}f(x)/{\rm d}x \equiv f'(x))], [math({\rm d}g(x)/{\rm d}x \equiv g'(x))]로 쓰면 다음과 같은 부분적분 공식이 유도된다.
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[math(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x )]
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자세한 내용은
부분적분/LIATE 법칙 문서를
참고하십시오.
부분적분을 빠르게 계산하는 방법이다.
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자세한 내용은
세로셈법 문서를
참고하십시오.
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \int f(x)\,\mathrm{d}g(x) &= f(x)g(x) - \int g(x)\,\mathrm{d}f(x) \\ \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d} g(x) &= \biggl[ f(x)g(x)\biggr]_a^b-\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} f(x) \end{aligned} )]
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미분계수가 함수인 꼴의 부분적분도 가능하다. 이 경우 미분을 하지 않는다는 차이점이 있다.
위 식에서 [math(f(x) = u)], [math(g(x) = v)]를 이용해 간략하게 나타낼 수 있다. 주로 영미권 원서에서 이런 표기를 사용한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \int u\,\mathrm{d}v&=uv-\int v\,\mathrm{d}u \end{aligned} )]
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자세한 내용은
부분적분/예제 문서를
참고하십시오.
7. 고등학교
다항함수의
정적분을 편리하게 계산하는 다음의 공식 역시 부분적분을 통하여 유도된다. 자세한 내용은
다항함수/공식/넓이 참고.
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[math(\begin{aligned}\left|\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^m(x-\beta)^n\;{\rm d}x\right|&=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}|a|(x-\alpha)^m(\beta-x)^n\;{\rm d}x\\&=\dfrac{|a|(m!n!)}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\end{aligned})]
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9. 관련 문서