mir.pe (일반/밝은 화면)
최근 수정 시각 : 2022-09-25 06:13:01

연속변형성

호모토피에서 넘어옴
<rowcolor=#fff> ' 기하학· 위상수학
 '
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" 		평면기하학에 대한 내용은 틀:평면기하학 참고.
기본 대상
공리 유클리드 기하학 · 비유클리드 기하학
도형 기본 도형 평면 · 부피 · 꼬인 위치 · 각기둥 · 각뿔 · 원기둥 · 원뿔 · 구 ( 공 모양) · 전개도 · 겨냥도 · 다면체 ( 정다면체) · 정사영 · 대칭( 선대칭 · 점대칭)
곡면 타원면 · 타원포물면 · 쌍곡포물면 · 원환면
프랙털 도형 시에르핀스키 삼각형 · 시에르핀스키 사각형( 멩거 스펀지) · 망델브로 집합 · 코흐 곡선 · 드래곤 커브
기타 다포체 · 초구 · 준구 · 일각형 · 이각형
다루는 대상과 주요 토픽
대수기하학 대수다양체 · 층 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브 · 타원곡선
미분기하학 미분다양체 · 측지선 · 곡률( 스칼라 곡률 · 리만-크리스토펠 곡률 텐서 · 리치 텐서) · 열률 · 텐서 · 쌍곡 공간( 쌍곡삼각형 · 푸앵카레 원반) · 타원 공간( 구면삼각형) · 아핀접속
위상수학 위상 공간 유계 · 옹골 집합 · 다양체 · 택시 거리 공간 · 연결 공간 · 위상수학자의 사인곡선
위상도형 사영평면 · 뫼비우스의 띠 · 클라인의 병 · 매듭( /목록)
주요 성질·정리 분리공리 · 우리손 거리화정리( 우리손 보조정리) · 베르 범주 정리
대수적 위상수학 호모토피 · 사슬 복합체 · 호몰로지 이론( 호몰로지 · 코호몰로지) · 사상류 군 · 닐센-서스턴 분류
기타 차원 · 좌표계 · 거리함수 · 그물 · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제 · 사이클로이드
정리·추측
실베스터-갈라이 정리 · 해안선 역설 · 바나흐-타르스키 역설 · 라이데마이스터 변환 · 오일러 지표 · 푸앵카레 정리 · 페르마의 마지막 정리 · 호지 추측미해결 · 버츠와 스위너톤-다이어 추측미해결
분야
논증기하학 · 대수기하학 · 미분기하학 · 해석 기하학 · 매듭이론 · 프랙털 이론 · 정보기하학 · 위상 데이터분석 }}}}}}}}}

[[대수학|대수학
Algebra
]]
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" 		이론
기본 대상 연산 · 항등식( 가비의 이 · 곱셈 공식( 통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식( 절대부등식) · 방정식( /풀이 · 근( 무연근 · 허근 · 비에트의 정리( 근과 계수의 관계) · 제곱근( 이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술( 시계 산술)
수 체계 자연수( 소수) · 정수( 음수) · 유리수 · 실수( 무리수( 대수적 무리수 · 초월수) · 초실수) · 복소수( 허수) · 사원수 · 팔원수 · 대수적 수 · 벡터 공간
다루는 대상과 주요 토픽
대수적 구조
군(group) 대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리
환(ring) 아이디얼
체(field) 갈루아 이론 · 분해체
대수 가환대수 · 리 대수 · 불 대수( 크로네커 델타)
마그마· 반군· 모노이드 자유 모노이드 · 가환 모노이드
선형대수학 벡터 · 행렬 · 텐서( 텐서곱) · 벡터 공간( 선형사상) · 가군(module) · 내적 공간( 그람-슈미트 과정 · 수반 연산자)
정리·추측
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측미해결
관련 하위 분야
범주론 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 · 토포스 이론 · 타입 이론
대수 위상수학 연속변형성 · 사슬 복합체 · 호몰로지 대수학( 호몰로지 · 코호몰로지) · mapping class group · 닐센-서스턴 분류
대수기하학 대수다양체 · 층 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브
대수적 정수론 타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리
가환대수학 스펙트럼 정리
표현론 실베스터 행렬
기타 및 관련 문서
수학 관련 정보 · 추상화 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재 }}}}}}}}}


1. 개요2. 정의3. 성질
3.1. 연속변형류(Homotopy class)3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)
4. 관련 개념들
4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)4.3. 변형수축(Deformation retract)4.4. 동위(Isotopy)

1. 개요

파일:external/upload.wikimedia.org/HomotopySmall.gif
▲ 연속변형의 일종인 경로 연속변형. 출처
Homotopy · 連 續 變 形( 性)

연속변형성 혹은 연속변형은 대수적 위상수학의 연구 주제 중 하나로 특정 위상공간에 주어진 두 연속함수 사이의 연속적인 변화를 주는 함수, 혹은 그 성질을 지칭하는 용어이다.

2. 정의

[ 정의 ] 연속변형성(Homotopy)
위상 공간 [math(X, Y)]와 연속함수 [math(f, g: X \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, 두 연속함수 [math(f, g)]가 [math(H)]에 의해 연속변형적(homotopic by [math(H)])이라 정의한다.
  • 함수 [math(H)]는 연속함수이다.
  • [math(\forall x \in X, \ \ H(x, t) = \begin{cases} f(x), & \textsf{if }t = 0 \\ g(x), & \textsf{if }t = 1 \end{cases})]
이 때, 연속함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]를 함수 [math(f, g)] 사이의 연속변형(Homotopy)이라 하고, [math(f \simeq_H g)][1]라 쓴다.
구간 [math(I = [0, 1])]의 원소를 시간으로 보면, [math(t \in I)]가 흐름에 따라 함수 [math(h_t: x \mapsto H(x, t))]가 결정된다고 볼 수 있다. 연속변형이라는 것은 이 함수의 모임 [math(\left\{ h_t \right\} _{t \in I})]가 [math(f = h_0)]부터 [math(g = h_1)]까지 연속성을 유지하면서 옮겨가는 것이라고 이해할 수 있다.[2]

3. 성질

3.1. 연속변형류(Homotopy class)

[ 명제 ] 위상 공간 [math(X, Y)] 사이의 연속함수들의 집합 [math(\mathcal C(X, Y))]에 관계 [math(\sim)]를
  • [math(f \sim g \ \ \Leftrightarrow \ \ f, g)] 가 연속변형적 [math(\ \ \Leftrightarrow \ \ f \simeq g)]
으로 주면, [math(\sim)]은 [math(\mathcal C(X, Y))] 위의 동치관계.
[ 증명 ]
[math(f, g, h \in \mathcal C(X, Y))]라 하자.
  • [math(f \sim f)] : [math(H(x, t) = f(x))]라 정의하면 된다.[3]
  • [math(f \simeq_H g \ \Rightarrow \ g \sim f)] : [math(H'(x, t) = H(x, 1 - t))]라 정의하면 된다.[4]
  • [math(f \simeq_{H_1} g, g \simeq_{H_2} h \ \Rightarrow \ f \sim g)] : [math(H_3(x, t) = \begin{cases} H_1(x, 2t), & \textsf{if }0 \leq t \leq \dfrac 12 \\ H_2(x, 2t - 1), & \textsf{if }\dfrac 12 \leq t \leq 1 \end{cases})]라 정의하면 된다.[5]□
[ 정의 ] 연속변형류(Homotopy class)
위 사실로부터 얻어지는 상집합 [math(\mathcal C(X, Y) / \sim)]에 대하여, 각 함수 [math(f \in \mathcal C(X, Y))]는 동치류 [math([f] \in \mathcal C(X, Y) / \sim)] 를 가진다. 이 [math([f])]를 [math(f)]의 연속변형류(Homotopy class)라고 정의한다.
정의에 따르면, [math([f] = [g] \Leftrightarrow f \simeq g)] 이다.

3.2. 연속변형 유형(Homotopy type)

[ 정의 ] 위상 공간 [math(X, Y)] 사이의 연속함수 [math(f: X \to Y)]에 대하여, 다음을 만족하는 연속함수 [math(g: Y \to X)]가 존재할 때 [math(f)]를 연속변형 동치(Homotopy equivalence), [math(g)]를 [math(f)]의 연속변형 역원(Homotopy inverse)라 한다.
  • [math([fg] = [\text{id}_Y], [gf] = [\text{id}_X])]
이 때, 두 공간 [math(X, Y)]는 서로 연속변형 동치(Homotopy equivalent)라 부른다.[6] 서로 같은 연속변형 유형(Homotopy type)을 가진다고 표현하기도 한다.

4. 관련 개념들

4.1. 경로 연속변형(Path homotopy)

[ 정의 ] 경로 연속변형(Path homotopy)
위상 공간 [math(X)]와 경로 [math(f, g: [0, 1] \rightarrow X)]가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 [math(H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow X)]가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, [math(H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow Y)]를 경로 [math(f, g)] 사이의 경로 연속변형(Path homotopy)이라 부른다.[7]
  • 함수 [math(H)]는 연속함수이다.
  • [math(\forall s \in [0, 1], \ \ H(s, t) = \begin{cases} f(s), & \textsf{if }t = 0 \\ g(s), & \textsf{if }t = 1 \end{cases})]
위에서 정의한 연속변형의 경로 버전. 함수의 정의역이 일반 공간이 아닌 구간 [math([0, 1])]로 바뀐 것으로, 당연히 연속변형의 일종이다. 따로 정의할 필요가 있을까 싶겠지만, 대수적 위상수학의 기본군(Fundamental group)을 다룰 때는 경로 연속변형만을 취급하는 일이 많다.

4.2. 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace)

[ 정의 ] [math(A)]를 고정한 연속변형(Homotopy relative to [math(A)])
위상 공간 [math(X, Y)], 부분 공간 [math(A \subset X)]와 연속함수 [math(f, g: X \rightarrow Y)], 연속변형 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 [math(H)]를 [math(A)]를 고정한 연속변형(Homotopy relative to [math(A)])이라 한다.
  • [math(\forall x \in A, \ \ H(x, t) = f(x) = g(x))][8]
이 때 [math(f \simeq_H g \textsf{ rel }A)]나 [math(f \simeq g \textsf{ rel }A)]로 나타낸다.

4.3. 변형수축(Deformation retract)

[ 정의 ] 변형수축(Deformation retract)
위상 공간 [math(X)]와 부분 공간 [math(A \subset X)], 연속함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow X)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, [math(A)]를 [math(X)]의 변형수축(Deformation retract of [math(X)])라 한다.
  • [math(\forall x \in X, \ \ H(x, 0) = x = \text{id}_X(x))]
  • [math(\forall x \in X, \ \ H(x, 1) \in A)]
  • [math(\forall a \in A \ \forall t \in [0, 1], \ \ H(a, t) = a = \text{id}_A(a))]
어떤 위상 공간이 그 부분공간으로 연속적 수축이 됨을 나타내는 용어. 단, 교재별로 세 번째 조건을 [math(H(a, t) \in A)]로 약화시킨 것을 정의로 삼기도 한다.[9] 이렇게 두 공간 사이의 변형수축이 존재하면, 두 공간의 기본군이 같아지며 이를 이용하여 기본군을 계산하는 경우가 많다.

4.4. 동위(Isotopy)

[ 정의 ] 동위(Isotopy)
위상 공간 [math(X, Y)]와 매장(Embedding) [math(f, g: X \rightarrow Y)], 연속변형 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 [math(H)]를 동위(Isotopy)라고 한다.
  • [math(\forall t \in [0, 1], \ \ h_t(x) = H(x, t))]로 정의된 [math(h_t: X \rightarrow Y)]도 매장이다.

[1] 혼란의 여지가 없다면, [math(f \simeq g)]의 표현도 사용한다. [2] 그렇기 때문에 연속변형을 간단하게 [math(h_t: X \to Y(t \in I))]라고 표기하기도 한다. 단, 이 표기는 [math(t)]에 의한 연속성이 명시적으로 표현되지 않아 혼란을 초래할 수 있으므로 주의가 필요하다. [3] 시간의 흐름과 무관하게 움직이지 않는다고 생각. [4] Homotopy [math(H)]의 시간을 거슬러 움직인다고 생각. [5] Homotopy [math(H_1, H_2)]를 2배의 속도로 따라간다고 생각. 함수의 연속성은 붙임 보조정리로부터 얻어진다. [6] [math(f)]의 이름도 연속변형 동치이지만, 함수와 공간의 차이가 있으므로 구별이 된다. [7] 두 경로 [math(f, g)]는 [math(H)]에 의해 연속변형적(homotopic by [math(H)])인 것은 위 정의에 의해 명백. [math(f \simeq_H g)]나 [math(f \simeq g)]의 표현도 공유한다. [8] 물론 이것이 성립하려면, [math(f \rvert_A \equiv g \rvert_A)]이어야 한다. [9] 이렇게 정의할 경우, 본 문단에서 정의하는 것을 강한 변형수축(Strong deformation retract)라고 부른다.

분류