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정수론 Number Theory |
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1. 개요
Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture[1][2]추측의 대략적 내용은 아래와 같다.[3][4]
| 수체(number field) [math(K)] 위에서의 타원곡선 [math(E)]의 모델-베유 군(Mordell-Weil group) [math(E(K))]의 계수(rank)는, [math(E)]의 하세-베유 [math(L)]-함수(Hasse-Weil L-function) [math(L(E,s))]를 [math(s = 1)]을 중심으로 테일러 전개했을 때 처음으로 계수가 0이 아닌 항의 [math((s-1))]의 차수와 같다.[5] |
위 추측에 대한 증명은 밀레니엄 문제 중 하나다. 현재까지 미해결인 상태며, 이 문제를 푼 사람에게 상금 100만 달러가 수여된다.[6]
2. 배경지식 및 해설
2.1. 디오판토스 방정식
정수론의 가장 중요한 문제 중 하나는 방정식의 정수해 또는 유리수해를 찾는 것이다.간단한 예로 다음 문제를 생각해 보자. 세 변의 길이가 모두 정수인 직각삼각형은 어떤 것이 있을까?
다시 말해서, 이는 피타고라스 정리의 방정식 [math(a^2 + b^2 = c^2)] 을 만족하는 자연수 [math(\left(a,b,c\right))]를 찾는 것이다. 이를 만족하는 [math(left(3,4,5right), left(5,12,13right), left(7,24,25right), left(8,15,17right), left(6,8,10right), cdots)] 같은 무한히 많은 쌍들은, 모두 [math(\left(a, b, c\right) = k\left(m^2 - n^2 , 2mn, m^2 + n^2\right))] 또는 [math(k\left(2mn, m^2 - n^2 , m^2 + n^2\right))]의 형태로 나타낼 수 있다. 이런 식으로 변수가 정수인 다항방정식을 디오판토스 방정식(Diophantine equation)이라 부른다.
유명한 페르마의 마지막 정리 [math(x^n + y^n = z^n)]도 디오판토스 방정식의 예라고 볼 수 있다. 하지만 페르마의 마지막 정리 문서를 보면 알겠지만, 이 경우의 정수해는 xyz가 0인 것을 제외하고는 존재하지 않는다. 이 문제는 대다수의 디오판토스 방정식은 보기와는 다르게 매우 어렵다는 것을 시사하기도 한다. 사실 실수의 방정식이라면 (차수나 양음의 조건만 만족시키면) 해가 존재하는 건 당연하지만, 이 경우에는 '정수가 되어야 한다'는 훨씬 까다로운 조건을 만족해야 하니...[7]
방정식의 유리수해를 찾는 것은 정수해를 찾는 것과 꽤 비슷하다. 예로 위의 피타고라스 정리 방정식의 경우 양변을 [math(c^2)] 로 나누고 [math({a \over c} = x)], [math( {b \over c} = y )]라 하면, 이는 원 [math(x^2 + y^2 = 1)] 위의 점 중 [math(\left(x,y\right))]가 유리수인 점을 찾는 문제가 된다.
2.2. 타원곡선
우선 타원곡선이 뭔지 알아야 한다. 타원곡선은 수학과 대학원의 대수기하학 수업에서 다루는 것 중 하나이다.타원곡선(elliptic curve)은 일반적으로
[math(E: y^2 = x^3 + Ax + B)]
꼴의 도형의 방정식을 나타낸다. 정수론에서 관심을 두는 것은 [math(\left(x,y\right))]가 유리수인 해, 즉 유리수점의 집합 [math(E\left(Q\right))]를 찾는 것이다.아래 두 단락은 대수학 중 군론, 특히 그 중에서도 유한생성 아벨군의 기본 정리(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)를 모르면 이해할 수 없는 내용이다.
타원곡선의 유리수점들은 해들을 '더할 수 있는' 특이한 구조를 가지고 있다. 곡선 위의 두 점 [math(P)]와 [math(Q)]를 더하는 방법은 대략 다음과 같다. [math(P)]와 [math(Q)]를 잇는 직선 [math(l)]을 생각하고, [math(l)]과 [math(E)]의 다른 교점 [math(R)]을 생각한다. 이제 [math(R)]의 [math(y)]좌표를 [math(-)]로 바꾼 점 [math(R')]은 [math(P+Q)]가 된다. 이 덧셈에 대해서 유리수점들은 가환 군을 이룬다. 다시 말해 이 덧셈에 대해 교환법칙과 결합법칙이 성립하고, 0에 해당하는 점에 대해[8] 점들을 빼는 것도 가능하다는 것이다. 이 [math(E\left(Q\right))]의 군을 모델-베유 군(Mordell-Weil group)이라 하자.
이제 자연스럽게 떠오르는 질문은 [math(E\left(Q\right))]의 군의 구조에 대한 것이다. 모델-베유 정리(Mordell-Weil theorem)에 따르면 이 군은 유한생성(finitely generated)된다. 다시 말해 유한 개의 유리수점 [math(P_1,P_2,\cdots,P_k)] 가 있어서, 이들의 합으로 모든 점을 나타낼 수 있다. 이를 만족하는 최소개수의 점들 중, 반복해서 더해서 0이 되지 않는 점들의 개수를 타원곡선의 계수(rank)라고 한다. 이 계수를 [math(r)]이라 한다면, 타원곡선의 모든 유리수점은 다음의 꼴로 (단 [math(n_i\in\mathbb{Z}, P_{\text{torsion}})] 은 반복해서 더해서 0이 되는 점)
[math(P = {n_1}P_1 + {n_2}P_2 + ... + {n_r}P_r + P_{\text{torsion}} )]
유일하게 나타낼 수 있다.분모, 분자가 모두 [math(N)] 이하인 유리수점의 개수가 증가하는 개형을 [math(r)]로 표현할 수 있다.
타원곡선의 계수에 대해서 다음처럼 간략화시켜서 기억하고 넘어가도록 하자:
계수는 타원곡선의 유리수점이 얼마나 많은지 나타나는 지표이다.
2.3. L-함수
본 단락을 이해하는 데에는 정수론 배경 지식이 필요하다.디오판토스 방정식을 푸는 데에 중요한 접근 중 하나는, 방정식을 특정 정수로 나눈 나머지로 생각하는 것이다. 예를 들면 [math(x^2 - 3y^2 = 2)]같은 방정식은 정수해가 존재하지 않는데, 이는 정수 [math(x)]에 대해 [math(x^2)] 를 3으로 나눈 나머지는 0과 1밖에 없기 때문이다.[9] 비슷하게 [math(x^2 + y^2 = 103)]같은 경우도, [math(x^2 + y^2)]을 4로 나눈 나머지는 0, 1, 2밖에 가능하지 않으므로 정수해가 없다.
일반적으로 ([math(x)]와 [math(y)]에 대한 식) = 0 꼴의 디오판토스 방정식에 대해, ([math(x)]와 [math(y)]에 대한 식)이 정수 [math(N)]으로 나누어 떨어지는 해가 있는지[10]의 조건을 국소적 조건이라 한다. 디오판토스 방정식이 해가 존재하려면 당연히 국소적 조건을 만족시켜야 하지만, 그 역이 성립하지는 않는다.
이제 하세-베유 [math(L)]-함수(Hasse-Weil L-function), 간단히 L-함수라는 대상은, 임의의 방정식에 대해 국소적 조건의 조각들을 모두 모음으로 만들어진다. 즉 소수 [math(p)]에 대해서 합동방정식
[math(E_p : y^2 \equiv x^3 + Ax + B \left(\text{mod}\,p\right))] [11]
의 해의 개수[12]에 대한 적절한 식[13] 으로 정의하는데, 타원곡선의 경우 이 함수는
[math(L\left(E,s\right) = \prod_p \left(1- a_p p^{-s} + p^{1-2s} \right)^{-1})]
로 나타난다. 여기서 [math(a_p)] 는 [math(p+1-\left(E_p\right.)]의 해의 개수[math(\left.\right))].어찌 보면 이는 리만 가설에 나오는 리만 제타함수의 아날로그라 생각할 수 있다. 제타함수의 오일러곱을 생각하면 이는 소수 [math(p)]에 대한 국소적 함수 [math(\left(1 - p^{-s}\right))]들의 모음이니까. 다만 소인수분해의 일의성에 의해 소수의 개수와 리만 제타함수가 바로 연결되는 상황과는 다르게, 타원곡선의 [math(L)]-함수는 유리수점 [math(E\left(Q\right))]의 개수에 대한 정보를 줄 이유가 선험적으로는(a priori) 전혀 없다.
2.4. 문제의 내용
이제까지 나왔던 개념들을 정리해 보자. 타원곡선 E의 계수 r은 타원곡선의 유리수점의 군에 대응되는 양으로, 유리수점이 얼마나 많은지를 나타내는 지표이다. 한편 하세-베유 [math(L)]-함수는 [math(E)]의 국소적 조건들을 모두 모아 합친 양이다. 앞서 말하진 않았지만, 복소해석학의 이론에 따르면 [math(L)]-함수에서 [math(s = 1)]에서의 근의 차수는 특별한 의미를 가진다. 중간과정을 모두 생략하면, 이 근의 차수는 국소적 조건으로 유리수점이 얼마나 많은지를 어림하는 '추정치'라고 생각될 수 있다. 즉 버치-스위너턴다이어 추측은 결국실제 유리수점이 얼마나 많은지는 국소적 조건의 정보로 계산한 추정치와 사실 일치한다.
라는 것을 말한다.
2.5. 수학자들이 생각하는 의미
버치-스위너턴다이어 추측의 의미는 디오판토스 방정식의 핵심적인 문제 중 하나인 해가 얼마나 있는지의 질문과 연관지을 수 있다. 만약 이 추측이 맞다면, 타원곡선의 해가 유한 개인지 무한 개인지 판정할 수 있다.[14] 왜 하필 타원곡선이 중요하냐 하면, 타원곡선의 해 판정이 곡선, 즉 [math(f(x,y)=0)]꼴의 방정식 중에선 유일하게 풀리지 않은 문제이기 때문이다. 곡선의 차수가 1 또는 2인 경우에는[15] 풀이가 초등정수론에서 완벽히 해결되었고(1일때는 너무 쉽고, 2일 때는 [math(ax^2-by^2=c)]의 해집합이 펠 방정식 기법을 이용하면 찾아진다), 4차 이상의 곡선[16]의 경우에는 팔팅스의 정리에 의해 해가 유한 개밖에 없다는 사실이 증명되었다. 3차인 곡선들 중 해가 있는 것은 타원곡선과 대수적으로 동치이므로, 즉 해가 무한히 많은지 아닌지 유일하게 모르는 곡선이 타원곡선인 셈이다.당장에 스위너턴다이어가 본 추측을 생각한 동기도 [math(E_p)]의 해의 개수인 [math(N_p)]의 분포를 컴퓨터로 계산하며 나왔다고 하니,[17] 문제제기 자체가 비교적 실용적인 알고리즘 정수론 측면에서 이루어졌다고 볼 수도 있다. 물론 조금만 더 지나선 방정식에 대한 L-함수 이론이 체계화되면서 복잡한 이론이 끝없이 전개되어, 추측의 형태도 현재의 추상적인 형태에 이르게 된다. 하여튼 정수론 연구자들에겐 버치-스위너턴다이어 추측도 다른 밀레니엄 문제인 리만 가설만큼처럼 분야의 새 지평을 연 문제로 생각되곤 하지만...
이런 수학자들의 생각은 너무 비직관적이여서 대부분 사람들에게는 접근하기 힘들다. 비슷한 포지션의 문제인 리만 가설에 비해서 여기에 대해 다루는 교양서적들도 거의 없고 관심도 못 받기에 인지도가 거의 없는편... 타원곡선 자체는 타원곡선 암호라던가 실용적인 역할이 조금씩 생겨나고 있긴 하지만, 본 추측 자체가 타원곡선 암호에 영향을 미치는 영향에 대해서는 현재로는 리만 가설의 경우보다도 훨씬 근거가 빈약하다. 물론 역사적으로 순수 수학에서의 발견은 많은 실용적 결과로 쓰이기에 초창기에는 별로 실용적으로 쓰는일은 거의 없었지만 나중에 돼서야 실용적인 용도로 쓰이는 경우가 생기는지라[18] 미래는 모른다.
3. 기타
이 문제를 밀레니엄 문제로 선정한 사람은 페르마의 마지막 정리를 증명한 앤드루 와일스 교수이다. 본인이 타원곡선을 전공했고, 페르마의 마지막 정리 또한 타원곡선으로 증명해냈으니 그럴 만도 하다. 실제로 페르마의 마지막 정리 증명을 보면 첫 줄부터 '타원 곡선'과 '하세-베유 제타 함수' 같은 게 마구 튀어나온다.[19]최근에는 인공지능의 발달로 타원곡선 방정식을 기계학습시켜 BSD 추측에 관한 새로운 패턴을 발견했다고 한다. #
[1]
Bryan Birch와 Peter Swinnerton-Dyer 두 사람이다. 버치와 스위너턴다이어 사이에 and가 빠지면 안 되는 이유.
[2]
스위너턴다이어의 경우
외래어 표기법에 따라 인명 안의 줄표(-)를 무시한다. 줄표의 앞뒤를 별개의 단어로 보아 띄어 쓰지는 않되, 연음 등은 고려하지 않고 표기한다.
[3]
실제 버치-스위너턴다이어 추측은 본문에 서술한 약한 추측과 강한 추측 두 파트로 구성되어 있다. 강한 추측은 약한 추측에서 더 나아가서 [math(L(E,s))]에서 [math(s=1)]에서의 첫 번째 로랑 계수를 계산하는 식인데, 이 식을 쓰는데만 해도 대학원 이상 수준의
타원곡선의 온갖 개념이 필요하므로 여기서는 생략한다.
[4]
호지 추측만큼은 아니더라도 밀레니엄 문제의 나머지 5개 문제보다는 문제의 말뜻을 일상 언어로 표현하여 이해하기는 어려우며, 정확한 이해를 위해서는 어느 정도의 수학적 지식이 필요하다.
[5]
[math(s = 1)]에서의 근의 차수와 같다는 표현도 여기서 비롯된다.
[6]
당연히 증명하는데 성공한다면 100만 달러는 따위로 만들 수 있는 부와 명예가 주어질 것이다.
[7]
한마디로 복소수, 실수로 가득 차 있는 해의 바다에서 그 수가 훨씬이라고 말하기도 부족한 숫자의 정수해를 찾아낸다는 것이 얼마나 어려운지 감이 안 잡힐 것이다.
[8]
여기서는 [math((\infty, \infty))]의 가상의 점으로 생각.
[9]
[math(x\equiv 0,1,2 \left( \text{mod}\,3\right))]인 세 가지 경우에서 양 변에 같은 수를 곱해도 식이 성립하므로, [math(x\equiv 0 \left( \text{mod}\,3\right))]이었다면 [math(x^2 \equiv 0 \left( \text{mod}\,3\right))]이다. [math(x\equiv 1 \left( \text{mod}\,3\right))]이라면 [math(x^2 \equiv x \left( \text{mod}\,3\right))]인데 [math(x\equiv 1 \left( \text{mod}\,3\right))]이라서 [math(x^2 \equiv 1 \left( \text{mod}\,3\right))]이다. [math(x\equiv 2 \left( \text{mod}\,3\right))]라면 [math(x^2 \equiv 2x \left( \text{mod}\,3\right))]인데 [math(x\equiv 2 \left( \text{mod}\,3\right))]라는 가정이었으므로 양 변에 2를 곱하면 [math(2x \equiv 4 \left( \text{mod}\,3\right))]가 되어 [math(x^2 \equiv 1 \left( \text{mod}\,3\right))]이 된다.
[10]
즉 방정식을 법 [math(N)]에 대한 합동방정식으로 보았을 때 해가 있는지.
[11]
'[math(\equiv)]'의 왼쪽과 오른쪽 식을 [math(p)]로 나누었을 때 나머지가 같다는 소리이다.
[12]
여기서 '해의 개수'라 함은 [math(x)]나 [math(y)]를 [math(p)]로 나눈 나머지만을 생각하는 개념이다. [math(x)]나 [math(y)]가 모두 0에서 [math(p-1)] 일 때까지만 생각한다고 봐도 무방하다.
[13]
보통은 모든 유한체(finite field) 위에서의 해의 개수를 모두 생각하고, 타원곡선의 경우에는 [math(F_p)] 의 경우를 계산하는 것만으로도 [math(L)]-함수를 구하기 충분한 상황이다.
[14]
만약 타원곡선의 해가 유한 개라면 타원곡선의 계수는 0이다. 추측이 맞다면 이는 [math(L(E,1) \neq 0)]을 의미하므로, L-함수를 계산해서 0이 아님을 보이면 된다. 만약 무한 개라면 유한 번 더해서 0이 아닌 해를 찾을 수 있다는 소리이므로, 조사하면 언젠가 해가 나올 것이다.
[15]
정확히 말하면 종수 0
[16]
종수 2 이상
[17]
극도로 단순화시켜 얘기하자면, 해가 많을수록 [math(N_p)]가 커지는 경향이 있다. 위의 L-함수와 연관지어 생각한다면 [math(N_p)]가 커지면 [math(a_p=p+1-N_p)]가 작아지므로 [math(L(E,1)=0)]이 될 가능성이 좀더 높아진다고 억지로 끌어다 얘기할 수도 있다.
[18]
불완전성 정리의 제1증명 과정에서 파생된
튜링 머신이 대표적인 예이다.
[19]
덧붙이자면, 타원곡선이나 하세-베유 제타함수는 이 논문 내에서 그나마 알아먹기 쉬운 수준에 속한다.