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바쁜 비버

바쁜 비버 함수에서 넘어옴
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1. 개요2. 바쁜 비버 게임
2.1. 세부 동작 방법2.2. 가장 바쁜 비버
3. 파생 함수
3.1. 바쁜 비버 함수(라도 시그마 함수)3.2. 미친 개구리 함수(최대 쉬프트 함수)
3.2.1. 성질
3.3. 고차 바쁜 비버 함수3.4. 삑삑거리는 바쁜 비버 함수3.5. 차분한 오리너구리 함수3.6. 피곤한 웜뱃 함수3.7. 일반화 바쁜 비버 함수3.8. 세미 바쁜 비버 함수
4. 역사
4.1. BB(2, 2)~BB(4, 2)4.2. BB(5, 2)
4.2.1. skelet list
4.3. BB(6, 2)4.4. BB(7, 2) 이상4.5. BB(2, 3)4.6. BB(3, 3)4.7. BB(4, 3)4.8. BB(2, 4)4.9. BB(3, 4)4.10. BB(2, 5)4.11. BB(2, 6) 이상4.12. BBB 함수
5. 다른 수학 난제와의 관계
5.1. cryptid
6. 참고문헌 및 외부 링크

1. 개요

바쁜 비버(Busy Beaver)는 계산 가능성 이론과 계산 복잡도 이론에서 흥미로운 부분이 있는 컴퓨터 프로그램으로 헝가리의 수학자 라도 티보르(Radó Tibor, 1895~1965)가 도입했다. 튜링 머신이 일하는 모습이 동물 비버가 일하는 모습과 비슷하다고 해서 바쁜 비버라는 이름이 붙었다. 처음 제시된 BB(5)값과 BB(6)값을 보면 이런 수열이 될 거라고는 본인도 상상 못했을것이다.

정지 문제와 밀접한 관련이 있으며, 수학에서 알려진 함수 중 손에 꼽힐만큼 빠르게 증가하는 함수인 바쁜 비버 함수와, 수학에서 등장한 수 중 손에 꼽힐만큼 큰 수인 바쁜 비버 수로 유명하다.

2. 바쁜 비버 게임

바쁜 비버 게임은 무한히 긴 테이프에 "0"이 빼곡히 쓰여 있을 때, n개의 상태(state)를 가질 수 있는 정지하는 튜링 머신으로 테이프에 최대한 많은 수의 "1"을 쓰는 게임이다. n비트 길이의 프로그램 중 가장 복잡한 프로그램을 찾는 게임이라고 이해해도 된다.

이때 n개 상태를 가지는 정지하는 모든 튜링 머신 중 가장 많은 1을 쓴 튜링 머신을 n번째 바쁜 비버라 한다.


4번째 바쁜 비버가 동작하는 모습. 비어 있는 칸은 0이라고 생각하면 된다.

State: 현재 상태를 표시한다. 0, 1, 2, 3이 있다. 차례대로 후술할 표의 A, B, C, D에 대응된다.
Position: 현재 위치가 처음 시작한 위치에서 몇 칸 떨어져 있는지를 표시하며, 오른쪽 아래의 점은 방향을 표시한다. 점이 켜져 있으면 현재 처음 위치보다 왼쪽에 있다는 뜻이고, 꺼져 있으면 오른쪽에 있다는 뜻이다. 정지했을 때 Position이 ‘10.’이므로 정지한 위치는 시작 위치로부터 왼쪽으로 10칸 떨어져 있다는 뜻이다.
Step: 시작한 후 현재까지 이동 횟수를 표시한다. 총 107번의 스탭을 거친다.

2.1. 세부 동작 방법

튜링 머신에 무한히 긴 테이프와 행동표를 입력한다. 표에는 값(0 또는 1)을 읽었을 때 현재 상태(A, B, C, ...)에 따라 다음에 할 행동들이 적혀있는데, 예를 들어 0과 A에 1좌B가 적혀있다면 현재 값이 0이고 상태가 A일때 1을 적고 왼쪽으로 1칸 이동한 다음 상태를 B로 바꾸라는 말이다.

또한 모든 비버 기계에는 "정지" 상태가 반드시 하나 이상 포함되어 있어야 하는데, 정의부터가 "정지하는" 튜링 머신이므로 정지 상태가 없으면 무한히 반복하기 때문.[1] 정의상으론 하나 이상이지만 정지 상태를 두 개 이상 넣어서 얻는 이득이 없으므로 실용적으로는 단 하나라고 봐도 무방하다.

예를 들어 2상태 바쁜 비버 기계의 예시를 들면 아래와 같다.
A B
0 1RB 1LA
1 1LB 1RH

L은 좌측 이동
R은 우측 이동
H는 정지 상태를 나타낸다.

그러면 위 비버 기계는 아래와 같이 행동하게 된다.(처음 시작은 A상태에서 시작한다.)
스텝 상태 위치 행동
1 A ... 0 0 0 0 0 ... 1을 기록하고 우측으로 이동한 다음 상태를 B로 변경
2 B ... 0 0 1 0 0 ... 1을 기록하고 좌측으로 이동한 다음 상태를 A로 변경
3 A ... 0 0 1 1 0 ... 1을 기록하고 좌측으로 이동한 다음 상태를 B로 변경
4 B ... 0 0 1 1 0 ... 1을 기록하고 좌측으로 이동한 다음 상태를 A로 변경
5 A ... 0 1 1 1 0 ... 1을 기록하고 우측으로 이동한 다음 상태를 B로 변경
6 B ... 1 1 1 1 0 ... 1을 기록하고 우측으로 이동한 다음 정지

2.2. 가장 바쁜 비버

여기서 상태를 늘리려면 우측으로 표를 확장하면 된다.
A B C
0 1RB 1LB 1LC
1 1RH 0RC 1LA
3번째 바쁜 비버는 5개의 1을 쓰며 21번 이동한다.
A B C D
0 1RB 1LA 1RH 1RD
1 1LB 0LC 1LD 0RA
4번째 바쁜 비버는 13개의 1을 쓰며 107번 이동한다.
A B C D E
0 1RB 1RC 1RD 1LA 1RH
1 1LC 1RB 0LE 1LD 0LA
5번째 바쁜 비버는 4098개의 1, 8191개의 0을 쓰며 47176870번 이동한다.
A B C D E F
0 1RB 1RC 1LD 1RE 1LA 1LH
1 1LE 1RF 0RB 0LC 0RD 1LC
2010년 알려진 6번째 바쁜 비버로 2022년 아래 튜링 머신에 역전당하기 전까지 최고 기록이었다. [math(3.5 \times 10^{18267})]개의 1을 쓰며 [math(7.4 \times 10^{36534})]번 이동한다.
A B C D E F
0 1RB 1RC 1LC 0LE 1LF 0RC
1 0LD 0RF 1LA 1RH 0RB 0RE
2022년 6월에 새롭게 찾은 6번째 바쁜 비버로 대략 [math(10\uparrow\uparrow15)]개의 1을 쓴다. 이동 횟수는 [math(10\uparrow\uparrow15)]보다 약간 더 크다.

3. 파생 함수

특수함수
Special Functions
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[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.
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바쁜 비버의 사례를 따라서 '~하는/~인 동물' 함수로 명명된다. 또한 영어로 적을 시 앞글자를 맞춘다는 특징도 보인다.

3.1. 바쁜 비버 함수(라도 시그마 함수)

n번째 바쁜 비버가 쓰는 1의 개수의 최대값을 대응한 함수를 바쁜 비버 함수(Busy Beaver function) [math({\rm BB}(n))] 혹은 라도 시그마 함수(Radó's sigma function) [math(\Sigma (n))] 라고 한다. 당연히 바쁜 비버 함수의 정의역과 공역은 모두 자연수 집합이다.

바쁜 비버 함수는 대표적인 계산불가능한 함수(uncomputable function)이며, 정의역과 공역이 자연수 집합인 그 어떠한 계산가능(computable)한 함수보다도 점근적으로 빠르게 증가한다. 엄청난 속도로 빠르게 증가하는 함수이기 때문에 결국에는 집합론으로 이루어진 수학 체계를 탈출해버리는데 이에 대해서는 후술한다.

알려져 있는 값으로는 [math({\rm BB}(1)=1)], [math({\rm BB}(2)=4)], [math({\rm BB}(3)=6)], [math({\rm BB}(4)=13)], 그리고 [math({\rm BB}(5)=4,098)]이다. 그러나 [math({\rm BB}(6))]부터는 일상적 수로 표현할 방법이 없으며, [math({\rm BB}(7))]부터의 값은 하한값조차 제대로 알려져 있지 않는데[2], 7 이상의 일부 n에 대해서는 매우 약한 하한값만이 알려져 있다. 한편, 이보다 더 큰 함숫값은 훨씬 더 약한 하한만이 증명되었다.
한참 동안 갱신 소식이 없다가 BB(5)가 증명되고 얼마 안 지난 2024년 8월, 새로운 하한값이 제기되었다. 아래의 하한값들은 모두 Racheline에 의해 추측되었다. 이때 G는 그레이엄 함수이다. 다만 해당 하한값들은 단지 특정 튜링 머신이 제시만 되어 있고 정말 저 횟수에서 멈추는지에 대한 엄밀한 증명은 아직 나와있지 않다. 당연히 [math(2 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4)]회만큼 직접 돌렸을 리는 없으니(...) 해당 튜링 머신이 어떤 과정을 거쳐 왜 저 횟수에서 정지하는지 엄밀한 증명이 제시되어야 새로운 하한값으로 인정받을 수 있을 것이다.

바쁜 비버 함수를 계산하는 대수적, 해석적인 해는 커녕[15] 기계적인 절차조차 존재하지 않기 때문에 함수값을 알아내는 것은 끔찍하게 어렵다. [math({\rm BB}(1)=1)]임은 자명하게 알 수 있지만, 이게 왜 어려운지 설명하자면, [math({\rm BB}(2))]를 계산하고자 하면 상태가 2개인 [math(6561)]개의 튜링 머신 중 정지하지 않고 영원히 동작하는 튜링 머신을 배제하는 작업이 필요한데 이걸 계산하는 일반화된 방법이 없음을 앨런 튜링이 증명하였다.

[math(6561)]개 까지는 어찌 해볼 수 있겠지만[16][17] 3 상태 튜링 머신은 [math(4826809)]개, 4 상태 튜링 머신은 [math(6975757441)]개, 5 상태 튜링 머신은 [math(16679880978201)]개가 존재한다. 일반적으로, n개의 상태를 가지는 튜링 머신은 [math((4n+1)^{2n})]가지 존재한다.[18][19] 한 번에 특정 튜링 머신이 행할 수 있는 가지수는 적을 기호(0과 1의 2개)*이동 방향(왼쪽, 오른쪽의 2개)*상태(n개)가 되어 4n이며 여기에 정지까지 추가하면 4n+1이다.[20] 거기에 가능한 케이스는 2n(0 또는 1을 만났는지 여부에 현재 상태의 수를 곱한 값)이다.[21] [math({\rm BB}(4))]를 계산하는데 성공한 Allen H. Brady는 이걸로 박사 학위를 받았다. [math(6975757441)]개의 튜링 머신을 전수조사한 것은 당연히 아니고 4 상태 튜링 머신의 특징을 분석해서 가능한 튜링 머신의 개수를 [math(5820)]개로 줄이는데 성공했기에 가능한 일이었다.

어찌 보면 무한 지수 탑 함수와 성격이 비슷해 보이지만, 무한 지수 탑 함수는 일정 정의역[22]]을 벗어나면 복소수가 된다.

3.2. 미친 개구리 함수(최대 쉬프트 함수)

n번째 바쁜 비버의 최대 스텝 이동 횟수를 대응한 함수를 최대 쉬프트 함수(Maximum shifts function) [math(S(n))][23] 혹은 미친 개구리 함수(Frantic frog function) [math({\rm FF}(n))]이라고 한다. 바쁜 비버 함수와 형제 관계인 함수로 많은 성질들을 공유한다. 바쁜 비버 함수보다 더 빠르게 증가하고, 모든 [math(n)]에 대하여 [math({\rm FF}(n) \geq {\rm BB}(n))]이므로 미친 개구리 함수 역시 계산 불가능하며, 정의역과 공역이 자연수의 집합인 그 어떠한 계산 가능한 함수보다도 점근적으로 빠르게 증가한다.

미친 개구리 함수 역시 작은 n에 대해서만 그 값이 알려져 있다. 알려져 있는 값으로는 [math({\rm FF}(1)=1)], [math({\rm FF}(2)=6)], [math({\rm FF}(3)=21)][24], [math({\rm FF}(4)=107)]이며, 5를 넘어가면 확 커지기 시작하는데, [math({\rm FF}(5)=47176870)]이고[25], 그보다 큰 값에 대해서는 매우 약한 하한만이 알려져 있다.
다만 FF 함수의 경우 BB 함수의 제곱 정도 값을 가지는 경향을 보이며, 1~5상태에서는 표기법 상 유의미하게 차이나지만 6 이상에서는 수 자체가 테트레이션 레벨 및 그 이상로 넘어가면서 BB(라도 시그마)와 표기법 상에서 크게 차이를 나타내지 못한다.

미친 개구리 함수를 바쁜 비버 함수라 부르는 사람들도 있는데[27], 1의 개수보다 쉬프트 횟수를 기준으로 하는게 더 자연스럽다고 보는 관점 때문이다. 단지 해당 함수값을 유도하는 머신은 항상 같지는 않은데, 예컨대 n=3의 경우 바쁜 비버 함수값은 6, 미친 개구리 함수값은 21이지만 6개의 1을 찍으면서 21번 이동하는 3상태 튜링 머신은 존재하지 않는다.[28]

3.2.1. 성질

여기에 제시된 성질들은 [math({\rm FF}(n))]뿐만 아니라 [math({\rm BB}(n))]에도 그대로 적용된다.
[math(f : {\mathbb N} \mapsto {\mathbb N})]이고 [math(f(n) \geq {\rm FF}(n))]인 어떤 함수 [math(f(n))]에 대해 계산이 가능한 연산 장치는 튜링 머신에 대한 정지 문제를 해결할 수 있다. 따라서 [math({\rm FF}(n))]과 [math({\rm FF}(n))]의 상한인 [math(f(n))]은 계산 불가능하다.
n 상태 튜링 머신이 정지하는지 결정하기 위해서는 미친 개구리 함수의 정의를 이용해서 튜링 머신이 [math({\rm FF}(n))] 스텝만큼 돌렸을 때 정지했는지 확인하면 된다. 만약 정지하지 않았다면 해당 머신은 영원히 동작함을 알 수 있다. 이는 미친 개구리 함수를 계산 가능한 튜링 머신은 정지 문제를 풀 수 있다는 것을 의미한다. 즉 바쁜 비버 문제는 정지 문제와 튜링 동치이다.
[math(f : {\mathbb N} \mapsto {\mathbb N})]인 모든 계산 가능한 함수는 [math(n \geq n_{f})]에 대해 [math({\rm FF}(n) > f(n))] 이 성립하는 [math(n_{f})]가 존재한다.
[math({\rm FF}(n))]이 계산가능한 모든 함수보다 점근적으로 빠르게 증가한다는 뜻이다.
공리계 [math(T)]가 계산가능하고 산술적으로 건전하다면 [math(n \geq n_{T})]에 대해 "[math({\rm FF}(n) ≤ k)]" 형식의 문장을 [math(T)]에서 증명할 수 없는 [math(n_{T})]가 존재한다.
[math({\rm FF}(n))]은 모든 [math(n)]에 대하여 완벽히 잘 정의된 함수이지만, 불완전성 정리로 인해 [math({\rm FF}(n))]에서 [math(n)]이 커지면 그 값을 절대로 알아낼 수 없다. 더 강력한 공리계를 도입해도 [math(n_{T})]의 하한이 증가할 뿐 미지의 경계는 사라지지 않는다. 2016년에 ZF 공리계가 [math({\rm FF}(7910))]의 값을 결정할 수 없다고 증명되었으며, 2019년에 [math({\rm FF}(1919))], 2020년에 [math({\rm FF}(748))]을 결정할 수 없음이 증명되었다. 2023년에는 ZFC[29] 공리계에서 [math({\rm FF}(745))]를 결정할 수 없다고 증명되었다. 이 성질은 바쁜 비버 함수에도 그대로 적용되므로 [math({\rm BB}(745))]도 ZFC 공리계와 독립이다. 계산 복잡도 이론의 권위자인 스콧 에런슨(Scott Aaronson) 교수는 ZF 공리계가 [math({\rm FF}(20))]의 값을 증명할 수 없고, 페아노 공리계는 [math({\rm FF}(10))]의 값을 증명할 수 없다고 추측하고 있다.

3.3. 고차 바쁜 비버 함수

바쁜 비버 문제에 계산 이론에서 다루는 개념인 Hypercomputation을 접목하면 재미있는 결과를 얻을 수 있다. 바쁜 비버 함수는 계산 불가능한 함수이다. 즉 튜링 머신으로 계산하는게 불가능하다. 만약 튜링 머신에 임의의 [math({\rm BB}(n))]을 구할 수 있는 장치인 오라클(Oracle)을 붙여서 바쁜 비버 함수를 계산할 수 있는 가상의 슈퍼 튜링 머신을 가정한다면, 슈퍼 튜링 머신에서의 바쁜 비버 함수인 2차 바쁜 비버 함수 [math({\rm BB}_{2}(n))]를 생각할 수 있다.

2차 바쁜 비버 함수는 바쁜 비버 함수는 물론, 미친 개구리 함수보다도 빠르게 증가하는데, 슈퍼 튜링 머신으로 계산 불가능하며, 슈퍼 튜링 머신으로 계산할 수 있는 그 어떤 함수보다도 점근적으로 빠르게 증가한다. 예를 들어 [math(({\rm BB \circ BB})(n))] 같은 괴물같은 함수보다도 [math({\rm BB}_{2}(n))]가 점근적으로 빠르게 증가한다.

여기서 끝나지 않고, 2차 바쁜 비버 함수를 구할 수 있는 오라클을 슈퍼 튜링 머신에 붙여 만든 슈퍼 슈퍼 튜링 머신으로 3차 바쁜 비버 함수 [math({\rm BB}_{3}(n))]를 만들 수 있다. 또 이를 [math({\rm BB}_{4}(n))], [math({\rm BB}_{5}(n))]...[math(\rm BB_{\rm ΒΒ(n)}(n))]...으로 무한히 확장해 나가는 방법으로 더욱 빠르게 증가하는 함수를 만들 수 있다. 피쉬 수 4 또한 이 과정으로 만들어졌다.

이런 무한번의 확장을 초월하기 위해 자연수 전체 k에 대해 k차 바쁜 비버 함수를 모두 계산할 수 있는 오라클을 가진 튜링 머신을 만들고, 이를 이용해 ω차 바쁜 비버 함수 [math({\rm BB}_{ω}(n))]라는 정신나간 함수를 만들 수 있다. 여기서 ω는 가장 작은 가산 무한 서수이다.

또 [math({\rm BB}_{ω}(n))]를 오라클로 쓰는 튜링 머신으로 [math({\rm BB}_{ω+1}(n))]를 정의할 수 있고, [math({\rm BB}_{ω+2}(n))], [math({\rm BB}_{ω+3}(n))] ...로 무한히 확장하고, 이를 초월해서 아무 자연수 k에 대해 [math({\rm BB}_{ω+k}(n))]를 모조리 계산할 수 있는 오라클을 사용하는 튜링 머신으로 [math({\rm BB}_{ω2}(n))]을 만들고, 이걸 또 오라클로 써서 정의한 [math({\rm BB}_{ω3}(n))], [math({\rm BB}_{ω4}(n))] ...로 무한히 확장, 또 한 단계 더 초월한 [math({\rm BB}_{ω^{2}}(n))], [math({\rm BB}_{ω^{3}}(n))], [math({\rm BB}_{ω^{4}}(n))] ... 한 단계 또 초월한 [math({\rm BB}_{ω^{ω}}(n))],[30] [math({\rm BB}_{ω^{ω^{ω}}}(n))], [math({\rm BB}_{ω^{ω^{ω^{ω}}}}(n))] ... 한 단계 또 초월한 [math({\rm BB}_{\epsilon_{0}}(n))], [math({\rm BB}_{\epsilon_{1}}(n))], [math({\rm BB}_{\epsilon_{2}}(n))] ... 한 단계 또 초월한 [math({\rm BB}_{\zeta_{0}}(n))], [math({\rm BB}_{\zeta_{1}}(n))], [math({\rm BB}_{\zeta_{2}}(n))] ... ... ... ... ... ... [math({\rm BB}_{ω_{\sf ZF}}(n))][31] 이런 식으로 가능하다. 이 과정을 계속 이어나갈수는 없는데, 비가산 서수를 이용한 고차 바쁜 비버 함수는 잘 정의되지 않을 가능성이 있으며, 매우 큰 가산 서수가 존재함을 증명하려면 더 강력한 공리계를 필요로 하기 때문이다. 비가산 서수의 예로는 최초의 비가산 서수 [math(\omega_1)]이 있고, 이는 모든 가산 서수의 상한이 된다. 즉 더 강력한 공리계를 들고올수록 더 빠르게 증가하는 함수와 더 큰 수를 만드는 것이 가능하다.

고차 바쁜 비버 함수는 가장 빠르게 증가하는 바쁜 비버 함수인 무한 시간 튜링 머신 바쁜 비버 함수(Infinite Time Turing Machine Busy Beaver function) [math({\rm BB}_{\infty}(n))]나 삑삑거리는 바쁜 비버 함수(Beeping Busy Beaver function) [math({\rm BBB}(n))]와 밀접하게 연관된다.

3.4. 삑삑거리는 바쁜 비버 함수

고차 바쁜 비버 함수에는 오라클에 값을 어떻게 질의할지에 대한 디테일이 빠져있다. 2차 바쁜 비버 함수를 작은 n에서나마 계산하기 위해서는 튜링 머신이 오라클에 접근하는 수많은 절차 중 하나를 먼저 선택해줘야 하는데, 모든 사람이 인정해 줄 기준이 되는 방법이 없다는 문제가 있다. 이 문제를 회피하기 위해 나온 함수가 삑삑거리는 바쁜 비버 함수이다.

삑삑거리는 바쁜 비버(Beeping Busy Beaver)는 미리 정해둔 특정한 상태를 탈출할 때 삑 소리를 내는 기능을 추가한 튜링 머신들이 있을 때 가장 많은 삑 소리를 낸 튜링 머신을 찾는 문제이다. 이때 n 상태 튜링 머신 중 유한번의 삑 소리를 낸 튜링 머신의 최대 삑 소리 횟수를 대응한 함수를 삑삑거리는 바쁜 비버 함수(Beeping Busy Beaver function) [math({\rm BBB}(n))]라 한다. 중요한 점은 튜링 머신이 정지할 필요는 없고, 유한번의 삑 소리만 내면 된다. 즉 바쁜 비버는 정지 문제와 튜링 동치이고, 삑삑거리는 바쁜 비버는 준정지 문제와 튜링 동치이다.

[math({\rm BBB}(n))]는 [math({\rm BB}(n))]을 초월하는 속도로 빠르게 증가하며, [math({\rm BB}_{2}(n))]와 비슷한 속도로 증가한다. 알려진 값으로는 [math({\rm BBB}(1)=1)], [math({\rm BBB}(2)=6)]이며, [math({\rm BBB}(3)≥55)], [math({\rm BBB}(4)≥32779478)]이다.

[math({\rm BBB}(n))]는 [math({\rm BB}(n))]보다 더 계산 불가능한 함수이다. [math({\rm BB}(n))]에 대한 오라클을 가지고 있는 튜링 머신은 [math({\rm BBB}(n))]을 계산할 수 없으며, [math({\rm BB}_{2}(n))]에 대한 오라클을 가지고 있어야 [math({\rm BBB}(n))]을 계산할 수 있기 때문이다. 그 역도 성립하는데 [math({\rm BBB}(n))]에 대한 오라클을 가진 튜링 머신은 [math({\rm BB}_{2}(n))]을 계산할 수 있다.

삑삑거리는 바쁜 비버 함수를 비슷한 방법으로 확장해서 [math({\rm BB}_{3}(n))]과 동일한 계층에 있는 함수인 일명 [math({\rm BBBB}(n))]를 만들 수 있는지를 생각할 수 있다. 즉, 0차 산술 계층에 계산 가능한 문제가 있고, 1차 산술 계층에 정지 문제, 2차 산술 계층에 준정지 문제가 있는데, 3차 산술 계층에 대응되는 문제는 무엇이냐는 질문이다. 이것은 아직 답이 나오지 않은 미해결 문제이다.

3.5. 차분한 오리너구리 함수

차분한 오리너구리 함수(Placid platypus function) [math({\rm pp}(n))]은 튜링 머신이 n개의 1을 출력하기 위한 최소한의 상태 갯수로 정의된다. 즉 바쁜 비버 함수의 역함수이다.

[math({\rm BB}^{-1}(n) = {\rm pp}(n) \Leftrightarrow {\rm pp}^{-1}(n) = {\rm BB}(n))]


바쁜 비버 함수가 너무 빠르게 증가해서 계산 불가능하다면, 차분한 오리너구리 함수는 더럽게 느리게 증가해서 계산 불가능한 함수이다. sgh처럼 비교적 느린 게 아니고 진짜로 느려터졌다. [math(n)]이 무한히 커질 때 [math(f(n))]이 무한으로 발산하는 모든 계산가능한 함수 [math(f)]보다 점근적으로 느리게 증가한다. 당연하지만 이렇게 느려터진 함수임에도 [math(\displaystyle\lim_{n\to ∞}{\rm pp}(n)=∞)]는 성립한다.

3.6. 피곤한 웜뱃 함수

피곤한 웜뱃 함수(Weary wombat function) [math({\rm ww}(n))]은 튜링 머신이 [math(n)]번의 쉬프트를 위해 필요한 최소한의 상태 개수로 정의된다. 즉 미친 개구리 함수의 역함수이다.

[math({\rm FF}^{-1}(n) = {\rm ww}(n) \Leftrightarrow {\rm ww}^{-1}(n) = {\rm FF}(n))]


차분한 오리너구리 함수보다도 느리다.

3.7. 일반화 바쁜 비버 함수

튜링 머신이 사용할 수 있는 기호가 2가지보다 많은 경우의 바쁜 비버 함수와 미친 개구리 함수를 생각할 수 있다. 이변수함수 꼴인 [math({\rm BB}(n,\,m))]과 [math({\rm FF}(n,\,m))]은 [math(n)]개 상태와 [math(m)]개 기호를 사용하는 튜링 머신에 대한 바쁜 비버 함수와 미친 개구리 함수이며, 이를 일반화 바쁜 비버 함수와 일반화 미친 개구리 함수라 한다.
m 또는 n이 1이면 자명한 값을 가지며, 기호가 1개, 즉 m=1인 경우 [math({\rm BB}(n,\,1)={\rm FF}(n,\,1)=n)]이다. 특히 상태가 1개, 즉 n=1인 경우 m의 값에 관계 없이 바쁜 비버 및 미친 개구리 함수 모두 1이다. 단, m, n 모두 2 이상인 경우 자명하지 않으며, 그 크기가 커짐에 따라 값 또한 계산할 수 없을 정도로 빠르게 커지며, 어느 정도 큰 크기에서는 계산 불가능해진다.
현재까지 결과에 따르면 m이 커질 경우 n이 커지는 경우보다 더욱 빠르게 증가한다. [math({\rm BB}(3,\,2)=6)]이지만 [math({\rm BB}(2,\,3)=9)]이다. [math({\rm BB}(4,\,2)=13)]이지만 [math({\rm BB}(2,\,4)=2050)]까지 올라간다. 이를 제외하고는 함수값이 정확히 알려져 있지 않으며, [math({\rm BB}(3,\,3))]은 되어도 하한값이 374686383이다.[32] BB(2, 5), BB(3, 4) 등 이를 넘어서는 값들은 자연수로 표기하기도 버거워질 만큼 매우 커진다.
미친 개구리 함수의 값은 마찬가지로 [math({\rm FF}(2,\,3)=38)], [math({\rm FF}(2,\,4)=3932964)]이며 이 이외의 값은 현재까지 증명되지 않았다. [math({\rm FF}(3,\,3))]은 하한값이 11경을 넘는다.

삑삑거리는 바쁜 비버 함수도 같은 방법으로 일반화할 수 있으며, m개의 상태, n개의 기호에 대해 BBB(m, n)과 같은 식으로 나타낸다.

3.8. 세미 바쁜 비버 함수

모든 계산 가능한 함수보다 점근적으로 빠르게 증가하면서도, 바쁜 비버 함수보다는 한 차원 느리게 증가하는 함수[33] [math(f)]가 존재하는가를 생각해볼 수 있다. 그에 대한 대답은 "예"이다.

대충 설명하자면, [math({\rm BB}(n))]에 대한 오라클을 가지고 있어서 바쁜 비버 함수를 계산할 수 있는 머신은 튜링 머신에 대한 정지 문제를 해결하는게 가능하다. 그런데 모든 계산가능한 함수보다 점근적으로 빠르게 증가하는 어떤 함수 [math(f)]에 대한 오라클을 가진 머신이 튜링 머신에 대한 정지 문제를 해결할 수 없는 경우가 존재한다. 따라서 모든 계산가능한 함수보다 빠르게 증가하면서 바쁜 비버보다는 한 차원 느리게 증가하는 함수 [math(f)]가 존재한다.

더 나아가 생각해보면 [math({\rm BB}(n))]에 대한 오라클을 가지고 있는 튜링 머신이 계산할 수 있는 모든 함수보다 점근적으로 빠르게 증가하면서도, [math({\rm BB}_{2}(n))]보다는 한 차원 느리게 증가하는 함수가 존재하는가를 생각해볼 수 있다. 이를 일반화하면 임의의 서수 [math(k)]에 대해 [math({\rm BB}_{k}(n))]에 대한 오라클을 가진 머신이 계산할 수 있는 모든 함수보다 점근적으로 빠르게 증가하면서도 [math({\rm BB}_{k+1}(n))]보다는 한 차원 느리게 증가하는 함수가 존재하는가를 생각해볼 수 있다.

4. 역사

m, n이 비교적 작은 값일 때 바쁜 비버 함수의 참값을 구하기 위해 1960년대부터 여러 수학자가 공헌하였다.

4.1. BB(2, 2)~BB(4, 2)

4.2. BB(5, 2)

4.2.1. skelet list

4.3. BB(6, 2)

4.4. BB(7, 2) 이상

4.5. BB(2, 3)

4.6. BB(3, 3)

4.7. BB(4, 3)

4.8. BB(2, 4)

4.9. BB(3, 4)

4.10. BB(2, 5)

4.11. BB(2, 6) 이상

4.12. BBB 함수

5. 다른 수학 난제와의 관계

다른 수학 난제와 동치인 튜링 머신을 만들 수 있는데, 바쁜 비버는 이를 통해 수학적 난제를 증명하는 새로운 접근 방법을 제시한다. 예를 들어 리만 가설에 대한 반례가 존재하면 정지하고 아니면 영원히 동작하는 744 상태를 가진 튜링 머신을 만들 수 있다. 미친 개구리 함수는 정지하는 튜링 머신의 연산 상한이므로 [math({\rm FF}(744))]번의 연산을 거쳤을 때 이 튜링 머신이 정지하였는지 여부를 관찰하면 리만 가설의 반증 가능 여부를 가릴 수 있다. 즉 컴퓨터로 유한한 연산을 해서 리만 가설의 반례가 없음을 보일 수 있다. 아래 ZF 상에서 증명될 수 없는 상태 개수와 겨우 1개밖에 차이나지 않는다(...) 물론 745에서 상한이 더 내려온다 해도 리만 가설이 ZFC 공리계에서 증명 불가능하다는 직접적인 증명은 되지 않는다.

비슷한 방법으로 순차적으로 검사를 해서 골드바흐 추측에 대한 반례를 찾으면 정지하는 프로그램은 27 상태 튜링 머신으로 만들수 있다. 이 튜링 머신이 [math({\rm FF}(27))]번의 연산을 했을 때 정지했는지를 확인함으로써 컴퓨터로 유한번의 연산을 해서 골드바흐 추측을 증명하는 것이 가능하다.

2021년에 나온 논문에 따르면 에르되시 추측[46]은 FF(15) 및 FF(5, 4)의 값을 구하는 것보다 어려울 수 없다. 만약 15상태의 바쁜 비버 함수값을 구할 수 있다면 FF(15)+1번의 연산을 거쳐 정지하지 않을 경우 참이 된다.

또한, ZF 공리계가 모순된다면 정지하는 748 상태 튜링 머신을 만들 수 있다. 이를 이용해 [math({\rm FF}(748))]번의 연산을 거쳤을 때 해당 튜링 머신이 정지하는지를 확인하면 ZF 공리계의 무모순성을 증명할 수 있다.[47]
2023년에는 선택공리가 적용된 ZFC 상에서 745상태로 필요한 상태수를 3개 더 줄이는데 성공하였다. 그러나 이는 불완전성 정리로 인해 ZFC 공리계 내에서 불가능하므로, [math({\rm FF}(745))]의 값과 상한을 알아내는 것이 ZFC 공리계에서 불가능하다는 결론을 낼 수 있다. 오해하면 안되는 게, 모든 [math(n)]에 대하여 완벽히 잘 정의된 함수이기 때문에 [math({\rm FF}(745))]은 정확히 고정된 유일한 자연수로 존재한다.[48] 그 값이 무엇인지 증명하는 게 ZF(C) 공리계에서 불가능하다는 뜻이다. 그래서 만약 ZF(C) 공리계보다 더 강력한 공리계를 도입해 [math({\rm FF}(745))]의 값을 증명할 수 있다면 그것을 통해 더 강력한 공리계에서 ZF(C) 공리계의 무모순성을 증명하는 것이 이론적으로는 가능하다. (하지만 그 강력한 공리계를 증명할 수 없다.) 또한 [math({\rm FF}(27))]을 ZF(C) 공리계에서 구하는 것이 가능하다면, 골드바흐의 추측이 ZF(C) 공리계와 독립이 아니라는 근거가 될 것이다.
2024년 7월, ZFC에서 정지 여부를 증명 불가능한 643 상태 바쁜 비버를 발견했다는 주장이 제기되었으며, 해당 주장이 참일 경우 상한값은 643으로 종전보다 102 줄어든다.

하지만 이 방법은 현실성이 없다. 위에서도 수차례 언급했듯이 미친 개구리 함수는 정신나갈 정도로 빠르게 증가하기 때문에 상태가 조금만 커져도 우주가 끝날 때까지 컴퓨터를 돌려도 증명 결과는 나오지 않을 것이다. [math(n)]이 6 이상일 때의 미친 개구리 함수의 정확한 값을 현재로서는 모르며, ZF 공리계에서 값을 알아내는 것이 불가능 할 수 있다는 것과, 그 값이 초월적으로 크다는 것이다. [math({\rm FF}(6))]이 우주 전체의 계산 능력을 아득히 넘어서는 [math(10\uparrow \uparrow 15)]보다 훨씬 크다는 것부터 답이 없다. 컴퓨터로 반례를 찾아내는 방식으로 수학 문제를 풀 때 필요한 연산의 수를 무한에서 유한으로 끌어 내렸다는 수학적 의미만 있을 뿐 실용적인 증명법으로는 사용할 수 없다.

사실 리만 가설, 골드바흐 추측, 에르되시 추측을 증명하겠다고 바쁜 비버 함수를 활용하는 말은 어찌 보면 주객전도가 된 셈이다. 가설을 풀기 위해서는 해당 가설과 동치인 튜링 머신만 확인해도 되지만 바쁜 비버 함수값을 구하기 위해서는 그 상태 개수에서 가능한 모든 튜링 머신을 전수조사해야 하며 그 과정에서 해당 가설과 동치인 문제들에 대한 해답도 자연스레 나오게 된다. 즉, FF(744)의 값을 알면 리만 가설도 증명할 수 있다라기 보다는 FF(744)의 값을 알아내기 위해서는 리만 가설을 증명해야 한다가 더 맞는 표현이다.

5.1. cryptid

상태, 기호 수가 비교적 적은 바쁜 비버를 연구하다 보면 정지 여부를 증명하기 까다로운 기계들이 존재하는데, 이들을 holdout이라 부른다. 이러한 holdout 중에는 특히나 어려워 보이는 수학 문제와 동치인 튜링 머신들이 존재하는데, 이들을 cryptids라고 부른다.[49] 상당수 cryptids들은 상당수가 콜라츠 추측 유사 문제로 변환된다. 콜라츠 추측 자체를 풀어야 하는건 아니다. 하지만 이들은 콜라츠 추측과 그 형태나 궤를 동일시 하는 것들로, 이들 대부분은 엄밀한 증명을 내기 까다롭다. 콜라츠 추측의 일반화된 증명은 해당 문서에도 설명되어 있지만 정지 문제와 동치가 되어 증명 불가능하다. 하지만 일반화 콜라츠 추측을 기존 콜라츠 추측과 다른 mod나 사상으로 특정화한 문제들 가운데에는 적은 상태, 기호로 표현되는튜링 머신으로 변환 가능한 경우가 존재한다.

리만 가설이나 골드바흐 추측을 증명할 수 있는 튜링 머신을 직접 찾은 경우도 있고 이들이 넓은 의미에서 cryptids에 포함되기도 하지만 일반적인 cryptids들은 BB 함수값 자체를 찾기 위해 연구하다가 발견된 문제들이다. 6상태, 2기호 튜링 머신에 이러한 cryptid가 존재한다.

이는 대표적인 콜라츠 추측 유사 사상이다. 다음과 같은 사상을 고려하자. 자연수 k에 대하여

[math( H(n) = \begin{cases} \begin{array}{cl} H(2k)=3k \\ H(2k+1)=3k+1 \end{array} \end{cases} )]

사상 H를 풀어서 설명하면 짝수일때는 1.5를 곱하고 홀수일 때는 1.5를 곱하고 거기서 0.5를 뺀다.[50]
또한 카운터 c를 생각하자. 카운터 c는 0부터 시작하여 짝수가 나오면 2가 추가되고, 홀수가 나오면 1이 줄어든다.
이때 n=8부터 시작하여 반복적으로 사상 H를 적용한다. 이때 c=-1이 될 수 있는가? 즉 8부터 사상 H를 통해 나오는 일련의 수열의 항들 가운데 홀수인 항의 수가 짝수인 항의 수가 2배를 넘는 시점이 존재하는가? 아니면 c는 영원히 커지는가? 이에 대한 대답이 필요하다.

사상 H를 처음 몇 항만 계산해보면
n 8 12 18 27 40 60 90 135 202 303 454 681 1021 1531 2296 3444 5166
홀짝 짝 짝 짝 홀 짝 짝 짝 홀 짝 홀 짝 홀 홀 홀 짝 짝 짝
c 2 4 6 5 7 9 11 10 12 11 13 12 11 10 12 14 16
보다시피 c는 지속적으로 증가 추세이다. 231=2,147,483,648회 반복 후에는 c=1,073,720,884까지 증가한다.

다음 6상태, 2기호 튜링 머신은 사상 H에 대하여 c=-1이 되는 경우에만 정지한다. 이 튜링 머신에는 'antihydra'라는 별칭이 존재한다.
A B C D E F
0 1우B 0좌C 1좌D 1좌A 1좌F 1우끝
1 1우A 1좌E 1좌C 0좌B 1우E 0우A

비슷하게, 2상태 5기호 튜링 머신에도 'hydra'라고 불리는 튜링 머신이 있는데, 이는 위의 사상 H에 대해 n=3부터 시작한다. 그리고 카운터 c는 위와는 반대로 홀수를 만나면 2 증가하고, 짝수를 만나면 1 감소한다. 그리고 c=-1이 되는 경우에만 정지하는 튜링 머신이 존재한다.

3상태 3기호에도 이러한 콜라츠 유사 튜링 머신이 존재하며, 이 튜링 머신은 홀짝만 고려하는 hydra 및 antihydra와 달리 6으로 나눈 나머지를 고려하며, 그에 따른 분류 가짓수도 6가지로 나뉜다.

6. 참고문헌 및 외부 링크


[1] 반드시 정지한다는 조건이 없다면 그냥 처음부터 계속 1만 찍어내면서 이동하면 그만이다. [2] BB(7)은 2014~2022년 이전에는 10^^6 정도의 매우 약한 하한이 알려져 있었으나, 이미 BB(6)에서 이 값을 아득하게 초과하였다. BB(6)이 테트레이션 레벨임에 따라 비록 현재 펜테이션 레벨의 하한값은 10이지만 BB(7)부터 최소 펜테이션 레벨일 가능성이 매우 높다. [3] 사실 바쁜 비버함수 10,11,12의 값은 [math({\rm BB}(6))]의 값이 27보다 크다는 사실에서 하한을 정한 것이다. 아래에도 언급되어 있지만 1964년 Green이 특정 종류의 튜링 머신을 이용해 밝혀낸 것으로, 최근 연구결과에서 [math({\rm BB}(6))]의 값이 [math(10\uparrow\uparrow15)] 이상이라는 사실이 밝혀졌으므로 10~12에 해당하는 값들은 현재 제시되어있는 하한값보다 비교도 안되게 클 것이다. 어쩌면 모우저처럼 화살표 갯수 조차 물리적으로 표현하기 불가능할 정도로 많아 화살표를 윗첨자로 나타내야 표현이 가능한 수치일 수도 있다. 당장 상태 4개만 더 추가된 BB(16)부터 그레이엄 수를 아득히 초과한다고 추측되는 마당에... [4] 그레이엄 수 뿐만 아니라 [math(G(G(1)))], [math(G(2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9))]보다도 크다. [5] 로더의 수 라고 불리는 이 수는 fgh로 측정 불가능한 계산 가능한 수다. [6] 이미 여기서 Green machine에서 BB(12)의 하한값으로 제시된 값을 넘어선다. Green machine에서의 BB(13)과 BB(14) 사이의 수다. [7] BEAF로는 {10, 24, {10, 24, 24}}에 근사한다 [8] 이미 이 단계에서 화살표 개수조차 자연수로 표현하기만큼 버거워진다. 모우저보다 크고, 아커만 함수로 표현해도 재귀가 필요하다. [9] BEAF로는 {12, 3, 1, 2} 또는 더 정확히 {2, 12, {2, 12, {2, 12, 2}}}에 근사한다 [10] G(3)은 [math(f^2_{\omega}(3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3))] 정도로 근사되기 때문에 실제 BB(11)이 G(3)를 넘는다 할 지라도 2024년 11월 기준 제시된 BB(11)의 하한값은 G(3)을 넘기지는 못한다. [11] BEAF로는 {4, 5, 1, 2}에 근사한다 [12] BB(11)과 마찬가지 이유로 G(5)는 [math(f^4_{\omega}(3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3))]이므로 G(5)를 넘기지 못했다. [13] BEAF로는 {3, 65537, 1, 2}에 근사한다 [14] 그레이엄 수보다 커진다고 추측되는 시점으로, 해당 추측이 사실이면 바쁜 비버가 그레이엄 수를 넘기는 상한값이 기존 16에서 14로 2 낮아지게 된다. [15] 다시 말하면, 바쁜 비버 함수는 초등함수를 유한 번 사용해서 표현할 수도, 테일러 급수, 푸리에 급수 등으로 극한을 구할 수도 없다. [16] 실제로 튜링 머신 중 사실상 같은 튜링 머신으로 볼 수 있는 것도 많고, 자명하게 제외되는 경우도 많아서 실제 계산해야 하는 수는 이보다 훨씬 적으며, BB(2)의 값은 튜링 머신의 작동 원리만 파악하면 수기로 계산할 수 있다. 자명하게 멈추지 않는 튜링 머신의 예를 들자면 한 방향으로만 이동한다거나, 0에서 1을 쓰는 상태가 단 하나도 없는 경우 등이 있다. [17] 물론 상태가 3개 이상이어도 자명한 튜링 머신들을 제거할 수 있다. 그러나 2개 상태를 가지는 경우와 달리, 3,4개의 경우 자명하지 않은 튜링 머신이 많이 남기 위해 참값을 구하는 것 하나로 논문 한 편을 써야 할 정도이고, 5개의 경우 여러 수학자들이 매달려 정확한 값을 구할 수 있었으며, coq를 이용한 자동증명까지 동원하여 60년 정도 걸렸다. 6개 이상인 경우에는 아직까지 완벽하게 증명하지 못했다. [18] 윗 문단에서 설명한 대로 정지 상태가 딱 하나라는 조건을 추가하면 실제 고려해야 할 튜링 머신은 [math((4n)^{2n}/2)]가지로 줄일 수 있다. [19] 팩토리얼보다 빠른 성장률이다. [20] 정지시에는 당연히 1을 적어야 하며, 왼쪽 오른쪽 이동을 따지는 것도 무의미하기 때문에 4(n+1)이 아니다. [21] 아래의 일반화 바쁜 비버 함수와 관련해서 n개의 상태와 m개의 기호를 가지는 튜링 머신은 [math((2mn+1)^{mn})]가지 존재한다. 여기서도 정지 상태가 딱 하나라는 조건을 추가하면 [math((2mn)^{mn}/2)]가지로 줄일 수 있다. [22] [math((0,\,1) \cup (1,\,\sqrt[e]{e}\;\!]) [23] 표기가 같은 프레넬 사인 적분 함수와 혼동될 수 있으므로 주의. [24] 단, 21번 움직이는 튜링 머신은 1을 5개밖에 쓰지 못한다. 1을 6개 쓰는 튜링 머신은 상술되어 있는 최대 14회 움직이는 튜링 머신이다. [25] 만약 튜링 머신이 1초에 한번씩 움직인다면 4 상태 비버가 멈추는 데는 2분이 채 걸리지 않지만, 5 상태 비버가 멈추려면 546일이 걸린다. 546일이면 육군 기준 입대할 때 튜링 머신이 움직이기 시작했다면 전역할 때가 되어야 멈춘다. 물론 6 상태 이상인 비버는 우주가 멸망할 때까지 멈추지 않을 것이다. [26] 다만 [math({\rm BB}(6))]보다 크고 이 값도 지수탑을 15개 쌓아야 하지만 현재 1등인 6 상태 기계 또한 10↑↑16보다는 작다. [27] 이 경우 주로 BB(n)은 최대 쉬프트 함수로 간주하고, 대신 라도 시그마 함수를 Σ(n)으로 종종 표시한다. 아래의 스콧 애런슨 교수도 이렇게 표기했다. [28] 21번 이동하는 3상태 튜링 머신은 1을 최대 5개밖에 쓰지 못한다 [29] 선택공리가 적용된 상태이다 [30] 피쉬 수 4의 성장률은 대략 [math({\rm BB}_{ω^{ω+1}63+1}(n))] 정도 된다. [31] [math(ω_{\sf ZF})]는 ZF 공리계에서 존재성을 증명할 수 있는 모든 가산 서수의 상한이다. [32] BB(3, 3)의 경우 참값으로 추측되고 있지만 후술되는 collatz-like problem으로 인해 증명에 애로사항이 있다. [33] 여기서 '한 차원 느리게'의 의미는 이 함수에 대한 오라클을 가진 머신이 바쁜 비버 함수를 계산할 수 없음을 의미한다. 단순히 '점근적으로' 모든 계산 가능한 함수보다 빠르게 증가하면서도, 바쁜 비버 함수보다는 느리게 증가하는 함수는 바쁜 비버 함수에 로그를 취하는 등의 쉬운 방법만으로 만들어낼 수 있으므로 자명하게 존재한다. [34] BB(4, 2)를 증명한 brady는 2024년 4월에 사망하였다. BB(5, 2)가 증명되기 불과 몇달 전이었다. [35] 다만 이 논문에서는 20, 22번이 미증명된 것으로 간주되었다. [36] Skelet list 외에 남아 있는 튜링 머신이 없고, 목록의 증명에 모두 오류가 없는 경우 [37] 34번을 증명한 Ligocki의 말에 따르면 약 10% 확률로 멈출 수도 있다고 보고 있다 [38] 앞선 BB(5, 2)~BB(7, 2)를 제시한 사람이다 [39] 정확히는 7*(393-3)/2이며 이 값은 394 및 8*1044보다 크다 [40] 이로 인해 Green의 결과에서 나온 하한값인 BB(12)를 까마득히 넘게 되었다. Green의 하한값에 따르면 17차 연산은 BB(34)까지 가야했다(...)이러다가 BB(3, 5)나 BB(4, 4)만 되어도 그레이엄 수를 넘을 기세다 [41] 비록 60년 전 결과긴 하나 펜테이션에 이른다고 증명된 값이 BB(10, 2)는 되어야 했음을 감안하면 필요한 기호 혹은 상태의 개수가 엄청나게 줄어든 거다 [42] BB(7, 2), BB(2, 7) [43] BB(5, 3), BB(3, 5) [44] BB(8, 2), BB(4, 4), BB(2, 8) [45] bbchallenge에 따르면 시기 미상 증명된 것으로 보인다 [46] 9 이상의 n에 대해 2n을 3진법으로 나타내면 반드시 2가 1개 이상 나타난다는 가설 [47] 2016년에 나온 논문에서는 7910 상태 튜링 머신이었으나 2020년까지 7910 상태 -> 1919 상태 -> 748 상태로 최적화되었다. [48] [math(n)]개 상태 튜링 머신 중 무한히 동작하지 않는 튜링 머신만 모아놓으면 그 중 가장 오래 동작하는 튜링 머신이 있다는 건 당연하기 때문이다. 정수로 이루어진 유한 집합은 최대값을 가진다는 것에서 유도된다. [49] ligocki가 붙인 이름이다 [50] 즉 결과값에서 소수점을 삭제하면 된다

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