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특수함수 Special Functions |
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1. 개요
테트레이션(tetration)[1]은 특수함수의 하나이다. 큰 수에 대한 연산 중 하나로, 거듭제곱을 거듭하여 만들어지는 연산이다. 덧셈을 1차 연산, 덧셈의 거듭으로 만들어진 곱셈을 2차 연산, 곱셈의 거듭으로 만들어진 거듭제곱을 3차 연산이라고 하면, 거듭제곱을 거듭하여 얻어지는 테트레이션은 4차 연산이라고 할 수 있다.[2] 'Tetration'의 'tetr(a)-'는 4를 의미하는 접두사이다.
일반적으로 부호는 [math(\uparrow)]( 커누스 윗화살표 표기법)을 사용하여 [math(a \uparrow\uparrow b)]로 쓰거나[3], [math(b)]를 [math(a)]의 왼쪽 위에 작게 앞지수로 붙여 표현([math(^{b}a)]의 꼴)[4]하기도 한다. 이외에도 여러 표기법이 있긴 한데 수학자들 각자의 독자연구에 가까운지라 통일된 표기법은 없는 상태다.
[math(a^a = a \uparrow\uparrow 2)]
[math(a^{a^a} = a \uparrow\uparrow 3)]
[math(a^{a^{a^a}} = a \uparrow\uparrow 4)]
[math(\vdots)]
[math(\underbrace{a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}}_{n})] [math(= a \uparrow\uparrow n)]으로 정의한다.
2. 계산의 순서
실수체에서 곱셈의 교환법칙([math(\displaystyle a\times b = b\times a)])이 언제나 성립하여 ([math(\displaystyle a\times a\times a \times \cdots \times a)])는 어떤 순서로 계산해도 언제나 같은 값을 반환하지만, 거듭제곱은 [math(\displaystyle a^b = b^a)]이 일반적으로 성립하지 않으므로, 일반적으로 [math(\displaystyle a^{\left(a^a\right)} \neq \left(a^a\right)^a)], [math(a^{b^c} = a^{(b^c)})]다.지수를 거듭해서 적을 경우에는 규범에 따라 가장 위쪽에 있는 지수부터 계산하며 화살표 연산으로는 맨 뒤에서부터 앞으로 계산한다. 따라서 [math(\displaystyle a\uparrow\uparrow3 = a^{\left(a^a\right)})]이다.
만약 아래에서부터(화살표 연산으로는 앞에서부터) 계산하면 거듭제곱 규칙([math(\left(a^n\right)^m = a^{nm})], [math((a^b)^c = a^{bc})]을 따라 다음과 같다. 이럴 경우 [math(a>1,\ n>2)]일 때 이 값은 테트레이션보다 훨씬 작다.
[math(\displaystyle \left({{\left(\left(\left(a^a\right)^a\right)^a\right)^\cdot}^\cdot}^\cdot\right)^a = a^{\left(a^n\right)})]
예를 들어, [math(\displaystyle 3\uparrow\uparrow3 = \displaystyle 3^{\left(3^3\right)} = 3^{27} = 7\ 625\ 597\ 484\ 987)]이다. 반면 [math(\displaystyle \left(3^3\right)^3 = {27}^3 = 19683)]으로, [math(n \uparrow\uparrow 3)]이 약 3억 8700만배 더 크다.
3. 성질
자연로그의 밑 [math(e)] 한정으로 [math(e \uparrow \uparrow n=\exp^{n-1} e)] 꼴로 바꿀 수 있다. 여기서 [math(n-1)]은 동일 함수를 합성한 횟수.이외에도 다음과 같은 성질이 있다.
- [math(a \uparrow \uparrow (n+1) = a^{a \uparrow \uparrow n})]이므로 가 성립한다.
- 임의의 복소수 [math(a)]에 대해서 [math(a \uparrow \uparrow 0=1)]이다.[5][출처]
- 임의의 복소수 [math(a)]에 대해서 [math(a \uparrow \uparrow -1=0)]이다.[7]
- 임의의 복소수 [math(a)]에 대해서 [math(a \uparrow \uparrow -2)]의 값은 정의되지 않는다(불능).[8]
- [math(displaystyle lim_{n to infty} a uparrow uparrow n= -frac{W(-ln a)}{ln a})]가 성립한다. [math(W)]는 람베르트 W 함수이다.
- 실수 범위에서 [math(0 < a < 1)], [math(1 < a \leq e^{\frac{1}{e}})]에서 수렴한다.
- [math(a=Omega)]인 경우 [math(-\ln \Omega = \Omega)]이므로 [math(\dfrac{W(\Omega)}{\Omega} = W(\Omega)\,e^{\Omega})]가 된다.
- [math(a = e^{\frac{1}{e}})]인 경우, [math(\ln e^{\frac{1}{e}} = \dfrac{1}{e})]이고 [math(W\left(-\dfrac{1}{e}\right) = -1)]이므로, 최종적으로 [math(e)]가 된다.
- [math(a=1)]인 경우 [math(\dfrac{0}{0})] 꼴이 되기 때문에 부정형이 되어버리지만, 로피탈의 정리를 이용해서 [math(\displaystyle \lim_{a \to 1} -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} = 1)]임을 알 수 있다.
- [math(a=0)]인 경우도 비슷하게 [math(\dfrac{\infty}{\infty})][9] 꼴이 되는데, 마찬가지로 로피탈의 정리를 이용해서 [math(\displaystyle \lim_{a \to 0+} -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} = 0)]임을 알 수 있다.
-
[math(a<0, a>e^{\frac{1}{e}})]는 실수에서는 발산하지만
복소해석학을 이용해
해석적 확장을 하면 값을 구할 수 있는데, 가령 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} -1 \uparrow \uparrow n)]의 경우 [math(\displaystyle -\frac{W(-\mathrm{Log}(-1))}{\mathrm{Log}(-1)} = \frac{W(-i\pi)}{\pi}i)]임을 알 수 있다.
3.1. 1 < a < e√e일때
위 구간에선 x가 무한대로 갈때 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow x)]는 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow \infty)]로 수렴하므로[math(\displaystyle a \uparrow \uparrow x=(a \uparrow \uparrow \infty )[1-f(x) ])]
로 쓸수있다.
※ x가 무한대로 갈땐 f(x)는 0으로 수렴한다.
이걸 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow x=a^{a \uparrow \uparrow (x-1)})]에 넣으면
[math((a \uparrow \uparrow \infty )[1-f(x) ]=a^{(a \uparrow \uparrow \infty )[1-f(x-1) ]}=(a \uparrow \uparrow \infty )^{1-f(x-1)})]가 나오고, 양변을 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow \infty)]로 나눠주면
[math(1-f(x)=(a \uparrow \uparrow \infty )^{-f(x-1)})]가 나온다.
그다음 [math(\displaystyle a \uparrow \uparrow \infty=e^b)]로 치환한 뒤 정리하면
[math(f(x)=1-e^{-bf(x-1)})]
을 얻는다.
x가 클 땐 f(x)가 엄청 작으니 [math(e^{-bf(x-1)}≒1-bf(x-1))]로 볼 수 있으므로 이 근사식을 위 공식에다 적용하면
[math(f(x)≒bf(x-1))]
를 얻고, 이걸 풀면
[math(f(x)≒A(a)b^x)]
임에 따라
[math(\displaystyle a \uparrow \uparrow x≒(a \uparrow \uparrow \infty )(1-A(a)b^x))]임을 알 수 있다.
문제는 아직 여기서 a랑 A(a) 사이 관계식을 구하지 못했으니 이제 A(a)가 얼만지를 한번 구해보자.
4. 일반화
이를 일반화하여 [math(n)]차 연산을 정의하는 것도 가능하다. 커누스 윗화살표 표기법을 이용하면 5차 연산(pentation)은 [math(a \uparrow^3 b = a \uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{a \uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow a}_{a가\;b개})]로 정의할 수 있다. 같은 원리로 6차 연산(hexation) [math(\uparrow^4 = \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow)]도 정의 가능하고, n차 연산(hyperoperation) [math(\uparrow^{n-2} = \underbrace{\uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow}_{n-2})]도 정의 가능하다. 이러한 n차 연산을 하이퍼 연산(hyperoperation)이라고 부른다. 이 하이퍼 연산을 표기하는 표기법들은 위에서 얘기했듯이 화살표 표기법 외에도 정말 다양한 방법들이 존재한다.한편, 같은 수의 테트레이션뿐만 아니라 [math(\{2,4,6,8\} \mapsto 2^{4^{6^{8}}})]같이 다른 수의 테트레이션(즉, 수열의 테트레이션; nested Exponentials)까지 고려해 볼 수 있는데, 정작 여기에 대한 논의는 부실한 실정이다.[10] 페르마 소수가 수열 [math(\{2,2,n\})]에 대한 테트레이션에 관련된 문제.
실수차, 복소수차로의 확장은 아직 학계에서 널리 사용되는 정의가 없지만, Takeji Ueda가 실수층, 복소수층으로의 확장을 시도한 바 있다.[11]
5. 여담
일상 생활은 물론이고 과학에 천문학적, 불교적으로 큰 수가 나오는 분야에서도 쓰일 일이 거의 없다시피한 연산이지만 (일반적인 교육과정에서는 아예 언급도 않지만, 드물게 거듭제곱의 거듭제곱은 등장한다.), 그레이엄 수나 모우저처럼 거듭제곱으로는 나타낼 수 없는 끔찍하게 큰 수를 나타낼 때 유용하게 쓰이는 연산이라 수학자들이 계속 연구하고 있다.거듭제곱에 대응되는 제곱근과 로그가 있는 것처럼 테트레이션에도 대응되는 초제곱근(super-root)과 초로그(super-logarithm, slog)가 존재한다.
- [math(x \uparrow \uparrow n=a)]가 성립할 때, [math(x)]는 [math(a)]의 [math(n)]초제곱근(super-root)이며, [math(\sqrt[n]{a}_s)]로 표기한다. #
- [math(n = 2)]일 경우, 람베르트 W 함수를 사용해서 [math(\sqrt{a}_s = e^{W(\ln a)} = \dfrac{\ln a}{W(\ln a)})] 로 정의할 수 있다. 이 함수는 음함수이므로 양함수 형태로 만들면 [math(\sqrt{a}_s = \dfrac{\ln a}{\left(\frac{W_{0}(\ln a)}{\bold{1}_{\mathbb{R}}(W_{0}(\ln a))}\right)} \cup \dfrac{\ln a}{\left(\frac{W_{-1}(\ln a)}{\bold{1}_{\mathbb{R}}(W_{-1}(\ln a))}\right)})]가 된다.[12]
- [math(n \uparrow \uparrow x=a)]가 성립할 때, [math(x)]는 [math(n)]을 밑으로 하는 [math(a)]의 초로그(super-logarithm)이며, [math(\mathrm{slog}_n(a))]로 표기한다. #
- [math(x \uparrow \uparrow 2)]의 경우 [math(\displaystyle \sum_{i=0}^\infty \frac{(x\ln x)^i}{i!})]라는 무한급수로 표현된다.
더 자세한 건 한글 위키백과의 테트레이션 항목 참고.
테트레이션에 대응하는 적분 연산이 아직 없다. 당장 가장 간단한 테트레이션 적분인 [math(\displaystyle \int x^x \mathrm{d}x)]부터 대응 특수함수가 없는 상황이니... 그나마 [math([0, 1])] 구간 한정해서 2학년의 꿈이라는 이상적분이 정의되어 있기는 하다.
[math(\displaystyle y = \int_{0}^{x} t^t \mathrm{d}t)] 의 개형은
이렇게 생겼다. 점선은 개형이 비슷한
포물선인 [math(\displaystyle y = x^2)].
[1]
아직 적절한 한글 용어가 확립되지 않았다. 위 영상의 강의자는 이를 '층(
層)' 연산으로 부르고 '3의 4층' 식으로 쓰자고 제안하고 있다.
[2]
추가로 0차 연산은
다음수(successor)라고 하며, [math(a)]의 다음수 [math(a^+ = a + 1)]이다.
[3]
[math(\uparrow)]를 하나만 쓰는 [math(a \uparrow b)]는 [math(a^b)], 즉 거듭제곱과 같다.
[4]
위키백과에서는 이 표기를 쓴다.
[5]
위 식에 [math(n=0)]을 대입하면 [math(a \uparrow \uparrow 0 = \log_a (a \uparrow \uparrow 1)=\log_a a=1)]이다. 아래 성질도 이 방법으로 얻어진 것이다.
[출처]
https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration
[7]
위 식에 [math(n=-1)]을 대입하면 [math(a \uparrow \uparrow -1 = \log_a (a \uparrow \uparrow 0)=\log_a 1=0)]이다.
[8]
위 식에 [math(n=-2)]를 대입하면 [math(a \uparrow \uparrow -2 = \log_a (a \uparrow \uparrow -1)=\log_a 0)]이므로.
[9]
[math(\displaystyle \lim_{x \to 0+} -\ln x = \infty)]이고 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} W(x) = \infty)]이므로.
[10]
우선 수열합을 나타내는 [math(\Sigma)], 수열곱을 나타내는 [math(\Pi)]에 대응하는 새 기호를 고안해야 하는데 아직까지 그 기호에 대해 논의를 하려는 수학자가 없다.
[11]
출처:
arxiv:2105.00247v3
[12]
[math(\bold{1}_{\mathbb{R}})]는
실수 집합을 판별하므로,
실수가 아닌 함숫값은 제외된다.