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다면체 Polyhedron |
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1. 개요
Archimedes 多面體/Archimedean solids볼록한 준정다면체와 각기둥과 엇각기둥이 아닌[1] 반정다면체[2]를 포함하는 다면체들. 준정다면체 2종과 반정다면체 11종으로, 점추이[3]이나 면추이[4]는 아니다. 볼록 정다면체와 마찬가지로 고른 다면체에 포함된다.
2. 상세
유클리드 공간에 존재하는 모든 볼록 다면체들은 한 꼭짓점에서 만나는 다각형들의 내각의 합이 360º를 넘지 않아야 하므로 통상적인 정다면체는 정육각형(120º*3=360º)부터는 사용할 수 없으나, 아르키메데스 다면체는 서로 다른 정다각형을 이어붙일 수 있으므로 정육각형은 물론, 정팔각형(135º)이나 정십각형(144º)까지도 사용할 수 있다.[5][6]또한 이를 확장하여 정규 타일링이나 하이퍼볼릭 타일링이라는 개념도 만들 수 있으며, 정규 타일링에서는 내각이 150°인 정십이각형도 사용된다. 이는 한 꼭짓점에 모이는 모든 정다각형의 내각의 합이 360°이고, 면이 최소한 3개가 모인다. 이것의 쌍대인 카탈랑 타일링이란 개념도 만들 수 있다.
{2,2}이나 {2,n}이나 {n,2}같은 도형은 현실에서 만들 수 없지만 이것을 아르키메데스 다면체 식으로 응용한 도형은 만들 수 있는 경우도 있다. 주로 이각형 사이의 틈을 삼각형이나 사각형들의 조합으로 확장시킬 수 있는 경우이다.[7] n각기둥, 2n각기둥, 엇n각기둥이 여기에 해당한다.
정규 타일링이나 hyperbolic tiling 도 아르키메데스 다면체로 확장이 가능하며 심지어 이들도 이면각을 추론할 수 있다. 이는 이들의 쌍대인 카탈랑의 다면체들도 마찬가지로 이렇게 확장시킬 수 있으며, 4차원 이상에서도 이런 식으로 확장할 수 있다.
한편 4차원 이상에서도 이러한 방식으로 uniform polychoron(uniform 4-polytope)을 만들 수 있다. 4차원에서도 정십각형까지 사용 가능하며 5차원 이상에서도 정팔각형까지 사용 가능하다. 자세한 내용은 아르키메데스 다포체 참조.
3. 종류[8]
- 준정다면체
- 반정다면체
| 깎은 정도 | 정다면체 | ||||
| parent | 정사면체(3,3,3) | 정육면체(4,4,4) | 정팔면체(3,3,3,3) | 정십이면체(5,5,5) | 정이십면체(3,3,3,3,3) |
| recified | 사사면체=정팔면체(3,3,3,3) | 육팔면체(3,4,3,4) | 십이이십면체(3,5,3,5) | ||
| truncated | 깎은 정사면체(3,6,6) | 깎은 정육면체(3,8,8) | 깎은 정팔면체(4,6,6) | 깎은 정십이면체(3,10,10) | 깎은 정이십면체(5,6,6) |
| cantellated | 깎은 사사면체=육팔면체(3,4,3,4) | 마름모육팔면체(3,4,4,4) | 마름모십이이십면체(3,4,5,4) | ||
| omnitruncated | 깎은 사사면체=깎은 정팔면체(4,6,6) | 깎은 육팔면체(4,6,8) | 깎은 십이이십면체(4,6,10) | ||
| snub | 다듬은 사사면체=정이십면체(3,3,3,3,3) | 다듬은 육팔면체(3,3,3,3,4) | 다듬은 십이이십면체(3,3,3,3,5) | ||
정사면체의 대칭 차수는 24, 정육면체와 정팔면체는 48, 정십이면체와 정이십면체는 120이다. 다만 쌍대가 같은 경우 구면 상에서 대칭 차수보다 2분할을 더 할 수 있는데 정사면체의 최대 분할 개수는 48이다.
4. 측정
다듬은 육팔면체와 다듬은 십이이십면체는 3차방정식을 구해야 해서 매우 복잡하게 나온다.| 아르키메데스 다면체 | 배열 방식 | 부피 | 근삿값 | 외접구의 반지름 | 근삿값 |
| 깎은 정사면체 | 3,6,6 | [math(\dfrac{23\sqrt{2}}{12}a^3)] | 2.71058 | [math(\dfrac{\sqrt{22}}{4}a)] | 1.17260 |
| 깎은 정육면체 | 3,8,8 | [math(\dfrac{7}{3}(3+2\sqrt2)a^3)] | 13.59966 | [math(\dfrac{\sqrt{7+4\sqrt{2}}}{2}a)] | 1.77882 |
| 깎은 정십이면체 | 3,10,10 | [math(\dfrac{5}{12}(99+47\sqrt5)a^3)] | 85.03966 | [math(\dfrac{\sqrt{74+30\sqrt5}}{4}a)] | 2.96945 |
| 깎은 정팔면체 | 4,6,6 | [math(8\sqrt{2}a^3)] | 11.31371 | [math(\dfrac{\sqrt{10}}{2}a)] | 1.58114 |
| 깎은 정이십면체 | 5,6,6 | [math(\dfrac{125+43\sqrt{5}}{4}a^3)] | 55.28773 | [math(\dfrac{\sqrt{58+18\sqrt{5}}}{4}a)] | 2.47802 |
| 육팔면체 | 3,4,3,4 | [math(\dfrac{5\sqrt{2}}{3}a^3)] | 2.35702 | [math(a)] | 1 |
| 십이이십면체 | 3,5,3,5 | [math(\dfrac{45+17\sqrt{5}}{6}a^3)] | 13.83553 | [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)] | 1.61803 |
| 마름모육팔면체 | 3,4,4,4 | [math(\dfrac{2}{3}(6+5\sqrt{2})a^3)] | 8.71405 | [math(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}{2}a)] | 1.39897 |
| 마름모십이이십면체 | 3,4,5,4 | [math(\dfrac{60+29\sqrt{5}}{3}a^3)] | 41.61532 | [math(\dfrac{\sqrt{11+4\sqrt{5}}}{2}a)] | 2.23295 |
| 깎은 육팔면체 | 4,6,8 | [math(22+14\sqrt{2}a^3)] | 41.79899 | [math(\dfrac{\sqrt{13+6\sqrt{2}}}{2}a)] | 2.31761 |
| 깎은 십이이십면체 | 4,6,10 | [math(95+50\sqrt{5}a^3)] | 206.80340 | [math(\dfrac{\sqrt{31+12\sqrt{5}}}{2}a)] | 3.80239 |
| 다듬은 육팔면체 | 3,3,3,3,4 | ||||
| 다듬은 십이이십면체 | 3,3,3,3,5 |
[1]
각기둥과 엇각기둥은 한 꼭짓점에 모이는 면들의 조합이 무수히 많으므로 포함하지 않는다.
[2]
좌우대칭이 아닌 두 다면체인
다듬은 육팔면체와
다듬은 십이이십면체의 경우, 거울상은 중복 처리하여 포함하지 않으므로 11종류이다.
[3]
임의의 꼭짓점에 모이는 면의 구성이 모두 같음
[4]
임의의 한 면과 인접하는 면들의 구성이 모두 같음
[5]
단, 정십이각형은
타일링이 되어 버리며 정십이각형보다도 작은
정칠각형과
정구각형과 정십일각형은 사용할 경우 정확히 면끼리 맞아떨어지도록 만들 수 없으므로 제외된다. 마찬가지로 모든 정n각형은 한 내각의 크기가 180º를 넘지 않으므로 한 내각의 크기가 60º인 정삼각형 두 개, 또는 정삼각형과 정사각형, 또는 정삼각형과 정오각형을 조합하여 어떤 모양이든지 점추이 다면체로 만들 수 있을 것 같지만, 실제로는 그렇지 않다.
[6]
이들 중 정n각형과 정삼각형 두 개가 한 꼭짓점에 모이게 만든 것은 다각뿔이 되며(단, 3≤n<6), 정n각형과 정사각형 두 개가 한 꼭짓점에 모이게 만든 것은 각기둥이 되고, 정n각형과 정삼각형 세 개를 모으면 엇각기둥(Antiprism)이 된다.
[7]
단 {2,2}인 경우엔 정육면체(사각기둥), 정사면체(엇이각기둥)이렇게 2개만 결정된다. 이각기둥은 못만들기 때문.
[8]
()안의 숫자들은 한 꼭짓점에 모이는 정다각형의 구성이다.
[9]
정다면체의 꼭짓점을 깎아서 만들 수 있다.
[10]
정다면체의 면과 면 사이를 띄우고 모서리에 생긴 간격을 정사각형으로 메우며, 꼭짓점은 꼭짓점 형태의 정다면체로 메우는 과정. 영어 명칭은 Rhombi-라는 접두사가 들어가므로 마름모육팔면체, 마름모십이이십면체라고 한다. 서로 쌍대인 정다면체를 사용하면 같은 다면체를 얻을 수 있다.
[11]
만드는 과정은 부풀리기와 비슷하나, 면과 면 사이를 띄우고 모서리에 생긴 간격을 정사각형이 아닌 정삼각형 두 개로 메운다는 점에서 차이가 있다. 이 과정에서 정삼각형 면이 비틀린 방향이 서로 반대가 될 수도 있으므로 다듬은 준정다면체들은 좌우대칭이 아니다. 따라서 거울상이 자기자신과 겹쳐지지 않는다. 서로 쌍대인 정다면체를 사용하면 같은 다면체를 얻을 수 있다.
[유의사항]
실제로는 아무리 잘 깎아도 깎은 면이 정다각형으로 나오지 않는다. 육팔면체의 경우 꼭짓점 형태가 3.4.3.4로 다각형들이 서로 같지 않기 때문에 단면이 정사각형이 아닌, 인접한 두 변의 길이의 비가 1:√2인
직사각형이 나오며, 십이이십면체의 경에도 꼭짓점 형태가 3.5.3.5이므로 꼭짓점의 단면은
1:(1+√5)/2인 직사각형이 나온다.